苏教版高一下册数学必修第二册-11.3 余弦定理、正弦定理的应用-同步练习【含答案】

苏教版高一下册数学必修第二册-11.3余弦定理、正弦定理的应用同步练习[A基础达标]1．某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30°方向上，灯塔B在观察站C的正西方向上，则两灯塔A，B间的距离为()A．500米 B．600米C．700米 D．800米2．若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80m到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)()A．110m B．112mC．220m D．224m3．有一坡面长为10m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，要通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长()A．5m B．10mC．10eq\r(2)m D．10eq\r(3)m4．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10nmile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的速度是()A．5eq\r(2)nmile/h B．5nmile/hC．10eq\r(2)nmile/h D．10nmile/h5．(2021·无锡检测)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20000m，速度为900km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过80s后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔为()A．5000(eq\r(3)＋1)m B．5000(eq\r(3)－1)mC．5000(3－eq\r(3))m D．5000(5－eq\r(3))m6．如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3mm，BC＝2eq\r(2)mm，AB＝eq\r(29)mm，则∠ACB＝________．7．湖中有一小岛，沿湖有一条南北方向的公路，在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西15°方向，汽车向南行驶1km后，又测得小岛在南偏西75°方向，则小岛到公路的距离是________km.8.如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个点C和D，测得CD＝200m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，则塔高AB＝________m．9.如图，在△ABC中，B＝30°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3.(1)求△ADC的面积；(2)求边AB的长．10．空中有一气球D，在它正西方向的地面上有一点A，在此处测得气球的仰角为45°，同时在气球的南偏东60°方向的地面上有一点B，在此处测得气球的仰角为30°，两观察点A，B相距266m，计算气球的高度．[B能力提升]11.如图，A，B两船相距10nmile，B船在A船南偏西45°方向上，B船向正南方向行驶，A船以B船速度的eq\r(2)倍追赶B船，A船若用最短的时间追上B船，A船行驶的角度为()A．南偏西30°B．南偏西15°C．南偏东30°D．南偏东15°12.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为()A．80eq\r(3) B．80C．160 D．80eq\r(5)13．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．14．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为________平方千米．[C拓展探究]15．如图，在海岛A上有一座海拔1km的山，山顶设有一个观察站P(观察站高度忽略不计)，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°方向，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°方向，俯角为60°的C处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？参考答案[A基础达标]1．解析：选C．由题意，在△ABC中，AC＝300米，BC＝500米，∠ACB＝120°.利用余弦定理可得AB2＝3002＋5002－2×300×500×cos120°，所以AB＝700米．故选C．2．解析：选A．如图，设CD为金字塔，AB＝80m．设CD＝h，则由已知得(80＋h)×eq\f(\r(3),3)＝h，h＝40(eq\r(3)＋1)≈109.从选项来看110最接近，故选A．3．解析：选C．如图，∠BDA＝75°，∠ACB＝30°，∠DBC＝45°，BD＝10m．由正弦定理，得eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠DBC)，所以CD＝eq\f(BDsin∠DBC,sin∠BCD)＝eq\f(10×sin45°,sin30°)＝10eq\r(2)(m).4．解析：选D．如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10nmile，在直角三角形ABC中，由正弦定理可得AB＝5nmile，所以这艘船的速度是10nmile/h.故选D．5．解析：选C．如图，过点C作CD⊥AB于点D.由题意知∠A＝30°，∠CBD＝75°，则∠ACB＝45°，AB＝900×80×eq\f(1,3600)＝20(km).所以在△ABC中，由正弦定理，得BC＝10eq\r(2)km.因为CD⊥AD，所以CD＝BCsin∠CBD＝BC×sin75°＝10eq\r(2)sin75°＝5＋5eq\r(3)(km).山顶的海拔为[20－(5＋5eq\r(3))]km＝5000(3－eq\r(3))m.故选C．6．解析：在△ABC中，由余弦定理得cos∠ACB＝eq\f(32＋（2\r(2)）2－（\r(29)）2,2×3×2\r(2))＝－eq\f(\r(2),2).因为∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝eq\f(3π,4).答案：eq\f(3π,4)7．解析：如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1km.由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，BC＝eq\f(sin15°,sin60°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))(km).设C到直线AB的距离为d，则d＝BCsin75°＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\f(\r(3),6)(km).答案：eq\f(\r(3),6)8.解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝45°.设AB＝h，则BC＝h，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，所以BD＝eq\r(3)h.在△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝200m，由余弦定理可得40000＝h2＋3h2－2h·eq\r(3)h·eq\f(\r(3),2)，解得h＝200(负值舍去)，所以塔高AB＝200m.答案：2009.解：(1)在△ADC中，由余弦定理得cos∠ADC＝eq\f(AD2＋DC2－AC2,2AD·DC)＝eq\f(52＋32－72,2×5×3)＝－eq\f(1,2).因为∠ADC为三角形的内角，所以∠ADC＝120°，所以sin∠ADC＝eq\f(\r(3),2).所以S△ADC＝eq\f(1,2)AD·DC·sin∠ADC＝eq\f(1,2)×5×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4).(2)在△ABD中，∠ADB＝60°，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(AD,sinB)，所以AB＝eq\f(5,\f(1,2))×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3).10．解：如图，设CD＝xm，在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，所以AC＝CD＝xm.在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，所以CB＝eq\f(CD,tan30°)＝eq\r(3)x(m).在△ABC中，∠ACB＝90°＋60°＝150°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB，所以2662＝x2＋(eq\r(3)x)2－2·x·eq\r(3)x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2))).解得x＝38eq\r(7)(负值舍去).所以气球的高度为38eq\r(7)m．[B能力提升]11.解析：选B．设B船的速度为v，A船的速度为eq\r(2)v，经过t时，A船在C点追上B船，则BC＝tv，AC＝eq\r(2)tv，∠ABC＝135°，如图所示：在△ABC中，由正弦定理得，eq\f(AC,sin135°)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，所以sin∠BAC＝eq\f(BC·sin135°,AC)＝tv·eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,\r(2)tv)＝eq\f(1,2).因为0°<sin∠BAC<90°，所以∠BAC＝30°，则A船行驶的角度为南偏西45°－30°＝15°.故选B．12.解析：选D．在△ADC中，∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝135°＋15°＝150°，所以∠DAC＝180°－∠ACD－∠ADC＝15°，所以AD＝DC＝80，在△BDC中，∠DCB＝∠ACB＋∠ACD＝120°＋15°＝135°，所以∠DBC＝180°－∠BCD－∠BDC＝30°.所以eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(DC,sin∠DBC)，所以BD＝eq\f(80sin135°,sin30°)＝80eq\r(2).在△BDA中，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos135°＝802＋(80eq\r(2))2－2×80×80eq\r(2)×(－eq\f(\r(2),2))＝802×5，所以AB＝80eq\r(5)，故选D．13．解析：由2B＝A＋C，及A＋B＋C＝π知，B＝eq\f(π,3).在△ABD中，AB＝1，BD＝eq\f(BC,2)＝2，所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcoseq\f(π,3)＝3.因此AD＝eq\r(3).答案：eq\r(3)14．解析：设△ABC的对应边边长分别为a＝13里，b＝14里，c＝15里，cosC＝eq\f(132＋142－152,2×13×14)＝eq\f(5,13)，所以sinC＝eq\f(12,13)，所以S＝eq\f(1,2)×13×14×eq\f(12,13)×250000＝21×106平方米＝21平方千米．答案：21[C拓展探究]15．解：(1)在Rt△PAB中，∠APB＝60°，AP＝1km，所以AB＝APtan60°＝eq\r(3)(km).在Rt△PAC中，∠APC＝30°，所以AC＝APtan30°＝eq\f(\r(3),3)(km).在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°，所以BC＝eq\r(AC2＋AB2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2)＋（\r(3)）2)＝eq\f(\r(30),3)(km).则船的航行速度为eq\f(\r(30),3)÷eq\f(1,6)＝2eq\r(30)(km/h).(2)在△ACD中，∠DAC＝90°－60°＝30°，sin∠DCA＝sin(180°－∠ACB)＝sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(\r(3),\f(\r(30),3))＝eq\f(3\r(10),10)，sin∠CDA＝sin(∠ACB－30°)＝sin∠ACB·cos30°－cos∠ACB·sin30°＝eq\f(3\r(10),10)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)e