13.3.1 第1课时 三角形的内角和 课件 人教版八年级数学上册

第1课时

三角形的内角和13.3.1三角形的内角第十三章

三角形1.探索并证明三角形的内角和定理.(重、难点)2.三角形内角和定理及其运用.(重点)3.学会解决与求角度有关的实际问题.4.体会转化的数学思想.通过拼图发现了三角形内角和定理.泰勒斯毕达哥拉斯学派测量推测出内角和为180°，后通过过顶点作平行线的方法完成了证明.欧几里得更严谨的通过一组同位角和一组内错角对三角形内角和定理进行了证明.三角形内角和定理证明发展简轴公元前6世纪约公元前560-480年约公元前330-270年

我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.

如图，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的.48°72°60°60°＋48°＋72°＝180°度量法剪拼法思考：通过剪拼法拼成了一个什么角？如何用推理的方法去验证呢？探究点：

三角形内角和定理的证明探究：通过活动一的启发，我们在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角.从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？BBCCA问题1：想一想，直线

l

与△ABC

的边BC

有什么关系？45BBCCA231探究点：

三角形内角和定理的证明依据平角定义，得到180°证明思路:过点A作直线l，使得l∥BC利用平行线的性质，将∠B和∠C进行转移证明：过点

A作直线

l，使

l∥BC.∵l∥BC，∴∠2

=∠4(两直线平行，内错角相等).同理∠3

=∠5.∵∠1，∠4，∠5组成平角，∵∠1+∠4+∠5

=180°(平角的定义).∴∠1

+∠2

+∠3

=180°(等量代换).23451求证：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.探究点：

三角形内角和定理的证明三角形三个内角的和等于

180°.探究点：

三角形内角和定理的证明在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.几何语言：三角形内角和定理CBA探究点：

三角形内角和定理的证明问题2：观察下图拼图方法，模仿前面的证明过程，还可以怎样证明三角形内角和定理？证法2：延长

BC到

D，过点

C作

CE∥BA，则∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)，∠B=∠2(两直线平行，同位角相等).又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12CBAEDF证法3：过

D作

DE∥AC，DF∥AB.∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC(两直线平行，同位角相等)，∠A+∠AED=180°，∠EDF+∠AED=180°(两直线平行，同旁内角相补).∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠C

+∠A

+∠B=180°.探究点：

三角形内角和定理的证明依据平角定义，得到180°添加平行线（辅助线）利用平行线的性质，转移角思考

以上多种方法的证明思路是什么？CAB12lACB12345lP6m45231探究点：

三角形内角和定理的证明除了构造平角得到180°外，还有其他方式吗？ABCF1423DEABC思路②有其他添加辅助线的方案吗？l用下列方法证明三角形内角和定理.依据平角定义，得到180°添加平行线（辅助线）利用平行线的性质，转移角两直线平行，同旁内角互补．探究点：

三角形内角和定理的证明ABCl21ABCF1423DE证明：过点A作线段

l，使

l∥BC.∵

l∥BC∴∠2

=∠C，∠1+∠2+∠B

=180°.∴∠1+∠C+∠B

=180°.证明:过点B任意作一条直线BD，分别过点A、C作B的平行线AE、CF，

则

CF∥AE∥BD.∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠DBC+∠BCF=180°，即∠1+∠ABC+∠ACB+∠4=180°.∴∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°.探究点：

三角形内角和定理的证明依据平角定义，得到180°添加平行线（辅助线）利用平行线的性质，转移角两直线平行，同旁内角互补．辅助线：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫作辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.思路转化:思路①思路②探究点：

三角形内角和定理的证明【归纳总结】例1

如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.∠BAC=40°∠DAB=20°∠ADB=85°在△ABD中，∠ADB=180°-

∠B

-

∠BAD=180°-

75°-

20°=85°.解：由∠BAC=40°，

AD是△ABC的角平分线，得分析：∠BAD=∠BAC=20°.探究点：

三角形内角和定理的证明例2

如图，C岛在

A岛的北偏东

50°方向，B岛在

A岛的北偏东

80°方向，C岛在

B岛的北偏西

40°方向.从

B岛看

A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从

C岛看

A，B两岛的视角∠ACB呢？北AD北CB.E..分析：求

∠ACB，需先求

∠CAB、∠CBA.探究点：

三角形内角和定理的证明解：由题意得∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°

-

50°=30°.由

AD∥BE，得∠BAD+∠ABE=180°，所以∠ABE=180°

-∠BAD=180°-

80°=100°，

∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°-

∠ABC-∠CAB

=180°-60°-30°

=90°.答：从

B岛看

A，C两岛的视角∠ABC是60°，从

C岛看

A，B

两岛的视角∠ACB是90°.北AD北CB.E..探究点：

三角形内角和定理的证明你还能给出其他解法吗？解：过点C作CF∥AD，则CF∥BE.∠1＝∠3，∠2＝∠4，（两直线平行，内错角相等）∴∠ACB

＝

∠1

＋∠2

＝

∠3＋∠4

（等量代换）＝50°＋40°＝90°∠CAB＝∠BAD

－

∠3＝80

°－50°＝30°.∠ABC＝180°－∠ACB－∠CAB＝180°－90°－30°＝60°.答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°..北AD北CB.E.F1234探究点：

三角形内角和定理的证明【练一练】1.如图，在

△ABC

中，CD

平分∠ACB

交

AB

于点

D，过点

D

作

DE∥BC

交

AC

于点

E.若∠A

=

54°，∠B

=

48°，则

∠CDE

的大小为

(

)A.44°

B.40°

C.39°

D.38C∠A=54°，∠B

=48°∠ACB

=78°

∠DCB=39°∠CDE

=∠DCB=39°

分析：

DE∥BC探究点：

三角形内角和定理的证明1.[串题进阶]在△

ABC

中，(1)已知∠

A

＝87°，∠

B

＝25°，则∠

C

的度数为

.70°(2)∠

C

＝30°，∠

A

与∠

B

的度数比是1∶2，则∠

A

的度数是

；50°(3)已知∠A－∠B＝20°，∠C＝2∠B，求∠A，∠B，∠C

的度数；解：(3)∵∠A－∠B＝20°，∠C＝2∠B，∴∠A＝∠B＋20°.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＋20°＋∠B＋2∠B＝180°.∴∠B＝40°.∴∠A＝60°，∠C＝80°.(4)[补图作答]若

AD

是△ABC的角平分线，已知∠BAC＝68°，∠B＝36°，求∠ADB

的度数.(4)∵AD

是△ABC

的角平分线，

∵∠B＝36°，∴∠ADB＝180°－34°－36°＝110°.2.小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整.在△ABC

边

BC

上任取一点

E，作

DE∥AC

交

AB于点D，作EF∥AB

交

AC

于点

F.∵DE∥AC，AB∥EF，∴∠1＝

，∠3＝

.∵AB∥EF，∴∠4＝

().∠C∠B∠A两直线平行，同位角相等∵DE∥AC，∴∠4＝

(