2025届河北省保定市高三第二次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省保定市2025届高三第二次模拟考试数学试题一、单选题1．已知x，y是非零实数，则y2x2A．6 B．12 C．2 D．4【答案】A【解析】y2当且仅当y2即y=所以y2x2故选：A2．若cos2α=sin2α，则A．33 B．±33 C．2【答案】B【解析】因为cos2α=sin2α，所以故选：B3．若非零复数z满足(2-i)z=|z|2，则A．1-2i B．1+2i C．2-i【答案】C【解析】由题意(2-i)z=|z|2=z⋅故选：C.4．现有一组数据1，4，5，6，4，5，4，若删除一个数后，所得数据的中位数不变，则被删除的数为（

）A．1 B．6 C．5或6 D．1或6【答案】C【解析】将数据1，4，5，6，4，5，4按照从小到大的顺序排列为1，4，4，4，5，5，6，则原数据的中位数为4，若删除一个数后，所得数据的中位数不变，则被删除的数为5或6.故选：C.5．若函数f(x)=2x-m在[1,2]上单调，则mA．(0,2] B．[4,+C．(-∞,2]∪[4,+∞【答案】C【解析】当x∈[1,2]时，根据指数函数y=2x在R上单调递增，可知当m∈-∞,2时，2x-m≥0，所以f(x)=当m∈2,4时，f(x)=2x-m=当m∈4,+∞时，2x-m≤0，所以f(x)=2x综上，m∈-故选：C.6．已知集合A={(x,y)∣y=(x-1)(x-5)},B=(x,y)∣y2=4x，则A．3 B．4 C．7 D．15【答案】D【解析】因为y=(x-1)(x-5)的对称轴为x=3，顶点为N3,-4，且过点M当x=3时，y2=4x上的点为作y=(x-1)(x-5)，y2由图可知，y=(x-1)(x-5)的图象与抛物线y2=4x有则A∩B有4个元素，从而A∩B的真子集的个数为24故选：D7．刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，则其各个顶点的曲率均为2π-3×π3=π．若正四棱锥S-ABCD的侧面与底面的夹角的正切值为A．π2 B．π C．3π4 D【答案】D【解析】如图，连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接SO，则SO⊥平面ABCD，取BC的中点M，连接OM，SM，则由正四棱锥的结构特征可知OM⊥BC,SM⊥BC，所以∠SMO为侧面与底面所成的角，设AB=BC=a，则OM=a在Rt△SOM中，tan所以SO=2OM=22a所以正四棱锥S-ABCD的每个侧面均为正三角形，所以顶点S的每个面角均为π3故正四棱锥S-ABCD在顶点S处的曲率为2π故选：D.8．若(x-1)nn∈N*的展开式各项系数的绝对值之和为512，则(x+1)8A．-56 B．56 C．-70 D．70【答案】A【解析】(x-1)n的展开式各项系数的绝对值之和等于(x+1)则1+1n=512，得n=9，则因为x2-18所以x+18x-1n的展开式中x11的系数为即C8故选：A二、多选题9．若函数f(x)=lg1xA．f(x)为减函数 B．f(x)=1⇔x=5C．f(x)的值域为R D．f(x)<2⇔x<50【答案】BC【解析】因为f(x)=lg1x所以f(x)为增函数，f(x)的值域为R，故选项A错误，选项C正确；f(x)=1⇔lg(2x)=1⇔2x=10⇔x=5，故选项f(x)<2⇔lg(2x)<2⇔0<2x<100⇔0<x<50，故选项D故选：BC.10．若0<p<1，随机变量X∼B6,p，Y∼N6,pA．P(Y>8)=P(Y<4) B．当D(X)=43C．当D(Y)=19时，D(X)=43 D．当p【答案】ACD【解析】因为Y~N6,p2，4+82=6，所以由正态分布的性质可知当D(X)=43时，即6p1-p=43，即9p2-9p+2=3p-13p-2=0，解得p=1当D(Y)=19时，即p2=19，因为0<p<1，所以因为X~B(6,p)，所以PX=1设函数f(p)=6p1-p5则f'当0<p<16时，f'(p)>0，当所以f(p)=6p1-p5在0,1所以当p=16时，最大值为f(p)max=f(1故选：ACD.11．已知曲线C:x2y+y3A．当P为C上的动点时，PF1B．当P为C上的动点时，PF1C．存在直线l:y=mx-3(m>3)，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列D．存在直线l:y=mx-3(m>2)，使得l与C的所有交点的横坐标之和为7【答案】ABD【解析】由x2y+y35=y，得x2+y易知F10,-2,F2若点P在椭圆上时，PF若点P是原点时，PF曲线C上的其他点，则PF所以PF1+PF当点P在直线y=0上时，PF当点P在椭圆x2+y由PF2∈a-c,a+c=5将y=mx-3代入x2+y设该方程的两个根为x1，x2，则Δ=20m2-80>0，即m由y=mx-3=0，得x=3m，假设存在直线l:y=mx-3，使得l与C的所有交点的横坐标之和为则6mm2+5+3m=7m，解得当m>3时，3m介于x1，x2之间，假设存在直线l:y=mx-3，使得l与C则x1x2=3m2，即4m故选：ABD三、填空题12．若函数f(x)=tan2x的最小正周期为T，且f(x)的图象关于点(m,0)(0<m<T)对称，则m=【答案】π【解析】T=π2，由0<m<T，得0<2m<π，则2m=故答案为：π413．已知直线y=x+m(m>0)是圆C:(x+1)2+y2=2【答案】7【解析】因为直线y=x+m(m>0)与圆C:(x+1)所以|m-1|设函数fx=1得x=1，则f解得：a=4，故a+m=7，故答案为：714．某艺术展览馆的一座雕塑底座是正四棱台，记为ABCD-A1B1C1D1,AB=2米，A1B1=4米，A【答案】970【解析】如图1，设灯带经过侧棱BB1上的E如图2，连接A1B，将侧面ABB则A1E+CE≥A1C即当灯带的长度取得最小值时，交点即为点E.因为四边形BCC1B由余弦定理可得A1B=42则A1B>A1B1因为∠A1B即线段A1C与线段Bcos∠A1BB1=（3而cos∠B1BC=cos所以cos∠由余弦定理可得A1C=（3则所需灯带的长度的最小值为9705米故答案为：970四、解答题15．已知双曲线C:x2a2-（1）求C的方程；（2）若A是C的左顶点，直线l:y=3x-3与C交于P，Q两点，求△APQ的面积．解：（1）依题意，双曲线C的半焦距c=5，由离心率e=ca=5所以双曲线C的方程为x2（2）由（1）知双曲线C的左顶点A(-1,0)，点A到直线l:3x-y-3=0的距离d=6由y=3x-34x2-y2=4消去y得则PQ=1+32|16．如图，在直五棱柱ABCDE-A1B1C1D

（1）求该五棱柱的体积．（2）证明：平面ABC1⊥（3）求直线B1D与平面（1）解：因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE=2，所以AB⊥AE，且BE=2，因为四边形BCDE为正方形，所以AA在直五棱柱ABCDE-A1B1C所以该五棱柱的体积V=1（2）证明：在直五棱柱ABCDE-A1B1C因为AB⊂底面ABCDE，则BB因为∠ABD=∠ABE+∠EBD=π4×2=π因为BB1∩BD=B且BB1,BD⊂平面BD又AB⊂平面ABC1，所以平面AB（3）解：由题意可得EB，ED，EE1两两垂直，以E则B2,0,0,BA1=-1,-1,2，设平面A1BE1的法向量为即-x-y+2z=0-x+y=0，取x=1，则cosm,故直线B1D与平面A1

17．某零件厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱零件的定价为500元，低于200箱按原价销售，不低于200箱有两种优惠方案．方案一：以200箱为基准，每多100箱免12箱的金额．方案二：通过双方议价，买方能以每箱优惠8%的价格成交的概率为0.3，以每箱优惠6%的价格成交的概率为0.4，以每箱优惠5%（1）买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于9.5万元的金额购买这200箱零件的概率．（2）买方乙要在该厂购买400箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案更划算？请说明你的理由．（3）买方丙要在该厂购买960箱这种零件，由于购买的箱数超过500，该厂的销售部让丙综合使用这两种方案作为第三种方案，即一部分用方案一（箱数必须是100的正整数倍），另一部分使用方案二（箱数不限），试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由．解：（1）买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，若甲以每箱优惠8%的价格成交，则成交的金额为500×(1-8%若甲以每箱优惠6%的价格成交，则成交的金额为500×(1-6%若甲以每箱优惠5%的价格成交，则成交的金额为500×(1-5故甲以低于9.5万元的金额购买这200箱零件的概率为0.3+0.4=0.7；（2）买方乙要在该厂购买400箱这种零件，若乙选择方案一，则成交的金额为500×400-400-200若乙选择方案二，设成交的金额为X万元，则PX=PP所以买方乙按方案二在该厂购买400箱这种零件的成交金额的数学期望为E(X)=18.4×0.3+18.8×0.4+19×0.3=18.74万元因为18.74<18.8，所以方案二更优惠；（3）设丙用方案一购买100n（则丙用方案一需要支付的金额为100n×500-100n-200100方案二需要支付的金额的期望为960-100n所以丙购买的金额的期望为4.4n+1.2+44.976-4.685n=(46.176-0.285n)万元因为y=46.176-0.285n（3≤n≤9，n∈N故应该选择900箱使用方案一，60箱使用方案二，这样才能获得最多的优惠.18．（1）在数列an中，若an=A⋅αn+B⋅βn，其中（2）若数列an满足an+2=ban+1+canbc≠0,b2+4c>0,an+2①求an②若数列dn满足n(n+1)dn+2=7n(n+2)dn+1+8(n+1)(n+2)dn（1）证明：因为α,β是方程x2=bx+c，即所以α+β=b,αβ=-c，则b=Aα得证；（2）①解:由题意知an+2=7a解得x1=8,根据题意，不妨取α=8,β=-1，设an因为a1所以8A-解得A=1，故an②解:由n(n+1)d得dn+2因为d11=7，所以由①知an=则dn=n设Tn则8Tn则-7T所以Tn=当n为偶数时，Sn=Tn当n为奇数时，Sn=Tn+19．若函数φ(x)的图象关于直线x=1对称，且φ(x)存在唯一的极值点，则称φ(x)为“金字塔函数”．（1）请判断函数h(x)=14x4-（2）证明：当n∈N*时，函数g(x)=1x2（3）已知函数f(x)=ex+e2-x+ax（1）解：h(2-x)====1显然h(x)不关于x=1对称，故不是金字塔函数；（2）证明：因为g(x)=1[(x-1)所以g(x)的图象关于直线x=1对称，g'因为n∈N*，(x-1)2+1>0，所以g'(x)>0得所以g(x)在(-∞,1)上单调递增，在则g(x)存在唯一的极值点1，故g(x)为“金字塔函数”.（3）解：因为f(x)为“金字塔函数”，所以f(2-x)=f(x)，所以e2-x整理得(2a+b)x=2a+b对x∈R恒成立，则2a+b=0，得b=-2a所以f(x)=ex+令k(x)=f'(x)，则k当a≥-e时，k'(x)≥0，则k(x)=当x∈(-∞,1)时，f'(x)<0，当x∈(1,+∞)时，f'(x)>0，则f(x)存在唯一的极值点1当a<-e时，令φ(x)=k'当x∈(-∞,1)时，φ'(x)<0，当x∈(1,+∞)时，φ'(x)>0，所以k'对于y=ex-x-1且x>0，则y'=当x∈(-∞,1)时，k'(x)=e当x∈(1,+∞)时，k'(x)=e所以k'(x)存在两个零点当x∈(-∞,x1)时k'(x)>0，当x∈(所以k(x)=f'(x)在(-∞,由x1<1<x2且当x→-∞时f'(x)→-∞，当则必存在唯一的x3∈(-∞,x1)，使得所以f(x)在(-∞,x3)、(1,x4)上单调递减，在综上，a的取值范围是[-e河北省保定市2025届高三第二次模拟考试数学试题一、单选题1．已知x，y是非零实数，则y2x2A．6 B．12 C．2 D．4【答案】A【解析】y2当且仅当y2即y=所以y2x2故选：A2．若cos2α=sin2α，则A．33 B．±33 C．2【答案】B【解析】因为cos2α=sin2α，所以故选：B3．若非零复数z满足(2-i)z=|z|2，则A．1-2i B．1+2i C．2-i【答案】C【解析】由题意(2-i)z=|z|2=z⋅故选：C.4．现有一组数据1，4，5，6，4，5，4，若删除一个数后，所得数据的中位数不变，则被删除的数为（

）A．1 B．6 C．5或6 D．1或6【答案】C【解析】将数据1，4，5，6，4，5，4按照从小到大的顺序排列为1，4，4，4，5，5，6，则原数据的中位数为4，若删除一个数后，所得数据的中位数不变，则被删除的数为5或6.故选：C.5．若函数f(x)=2x-m在[1,2]上单调，则mA．(0,2] B．[4,+C．(-∞,2]∪[4,+∞【答案】C【解析】当x∈[1,2]时，根据指数函数y=2x在R上单调递增，可知当m∈-∞,2时，2x-m≥0，所以f(x)=当m∈2,4时，f(x)=2x-m=当m∈4,+∞时，2x-m≤0，所以f(x)=2x综上，m∈-故选：C.6．已知集合A={(x,y)∣y=(x-1)(x-5)},B=(x,y)∣y2=4x，则A．3 B．4 C．7 D．15【答案】D【解析】因为y=(x-1)(x-5)的对称轴为x=3，顶点为N3,-4，且过点M当x=3时，y2=4x上的点为作y=(x-1)(x-5)，y2由图可知，y=(x-1)(x-5)的图象与抛物线y2=4x有则A∩B有4个元素，从而A∩B的真子集的个数为24故选：D7．刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，则其各个顶点的曲率均为2π-3×π3=π．若正四棱锥S-ABCD的侧面与底面的夹角的正切值为A．π2 B．π C．3π4 D【答案】D【解析】如图，连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接SO，则SO⊥平面ABCD，取BC的中点M，连接OM，SM，则由正四棱锥的结构特征可知OM⊥BC,SM⊥BC，所以∠SMO为侧面与底面所成的角，设AB=BC=a，则OM=a在Rt△SOM中，tan所以SO=2OM=22a所以正四棱锥S-ABCD的每个侧面均为正三角形，所以顶点S的每个面角均为π3故正四棱锥S-ABCD在顶点S处的曲率为2π故选：D.8．若(x-1)nn∈N*的展开式各项系数的绝对值之和为512，则(x+1)8A．-56 B．56 C．-70 D．70【答案】A【解析】(x-1)n的展开式各项系数的绝对值之和等于(x+1)则1+1n=512，得n=9，则因为x2-18所以x+18x-1n的展开式中x11的系数为即C8故选：A二、多选题9．若函数f(x)=lg1xA．f(x)为减函数 B．f(x)=1⇔x=5C．f(x)的值域为R D．f(x)<2⇔x<50【答案】BC【解析】因为f(x)=lg1x所以f(x)为增函数，f(x)的值域为R，故选项A错误，选项C正确；f(x)=1⇔lg(2x)=1⇔2x=10⇔x=5，故选项f(x)<2⇔lg(2x)<2⇔0<2x<100⇔0<x<50，故选项D故选：BC.10．若0<p<1，随机变量X∼B6,p，Y∼N6,pA．P(Y>8)=P(Y<4) B．当D(X)=43C．当D(Y)=19时，D(X)=43 D．当p【答案】ACD【解析】因为Y~N6,p2，4+82=6，所以由正态分布的性质可知当D(X)=43时，即6p1-p=43，即9p2-9p+2=3p-13p-2=0，解得p=1当D(Y)=19时，即p2=19，因为0<p<1，所以因为X~B(6,p)，所以PX=1设函数f(p)=6p1-p5则f'当0<p<16时，f'(p)>0，当所以f(p)=6p1-p5在0,1所以当p=16时，最大值为f(p)max=f(1故选：ACD.11．已知曲线C:x2y+y3A．当P为C上的动点时，PF1B．当P为C上的动点时，PF1C．存在直线l:y=mx-3(m>3)，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列D．存在直线l:y=mx-3(m>2)，使得l与C的所有交点的横坐标之和为7【答案】ABD【解析】由x2y+y35=y，得x2+y易知F10,-2,F2若点P在椭圆上时，PF若点P是原点时，PF曲线C上的其他点，则PF所以PF1+PF当点P在直线y=0上时，PF当点P在椭圆x2+y由PF2∈a-c,a+c=5将y=mx-3代入x2+y设该方程的两个根为x1，x2，则Δ=20m2-80>0，即m由y=mx-3=0，得x=3m，假设存在直线l:y=mx-3，使得l与C的所有交点的横坐标之和为则6mm2+5+3m=7m，解得当m>3时，3m介于x1，x2之间，假设存在直线l:y=mx-3，使得l与C则x1x2=3m2，即4m故选：ABD三、填空题12．若函数f(x)=tan2x的最小正周期为T，且f(x)的图象关于点(m,0)(0<m<T)对称，则m=【答案】π【解析】T=π2，由0<m<T，得0<2m<π，则2m=故答案为：π413．已知直线y=x+m(m>0)是圆C:(x+1)2+y2=2【答案】7【解析】因为直线y=x+m(m>0)与圆C:(x+1)所以|m-1|设函数fx=1得x=1，则f解得：a=4，故a+m=7，故答案为：714．某艺术展览馆的一座雕塑底座是正四棱台，记为ABCD-A1B1C1D1,AB=2米，A1B1=4米，A【答案】970【解析】如图1，设灯带经过侧棱BB1上的E如图2，连接A1B，将侧面ABB则A1E+CE≥A1C即当灯带的长度取得最小值时，交点即为点E.因为四边形BCC1B由余弦定理可得A1B=42则A1B>A1B1因为∠A1B即线段A1C与线段Bcos∠A1BB1=（3而cos∠B1BC=cos所以cos∠由余弦定理可得A1C=（3则所需灯带的长度的最小值为9705米故答案为：970四、解答题15．已知双曲线C:x2a2-（1）求C的方程；（2）若A是C的左顶点，直线l:y=3x-3与C交于P，Q两点，求△APQ的面积．解：（1）依题意，双曲线C的半焦距c=5，由离心率e=ca=5所以双曲线C的方程为x2（2）由（1）知双曲线C的左顶点A(-1,0)，点A到直线l:3x-y-3=0的距离d=6由y=3x-34x2-y2=4消去y得则PQ=1+32|16．如图，在直五棱柱ABCDE-A1B1C1D

（1）求该五棱柱的体积．（2）证明：平面ABC1⊥（3）求直线B1D与平面（1）解：因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE=2，所以AB⊥AE，且BE=2，因为四边形BCDE为正方形，所以AA在直五棱柱ABCDE-A1B1C所以该五棱柱的体积V=1（2）证明：在直五棱柱ABCDE-A1B1C因为AB⊂底面ABCDE，则BB因为∠ABD=∠ABE+∠EBD=π4×2=π因为BB1∩BD=B且BB1,BD⊂平面BD又AB⊂平面ABC1，所以平面AB（3）解：由题意可得EB，ED，EE1两两垂直，以E则B2,0,0,BA1=-1,-1,2，设平面A1BE1的法向量为即-x-y+2z=0-x+y=0，取x=1，则cosm,故直线B1D与平面A1

17．某零件厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱零件的定价为500元，低于200箱按原价销售，不低于200箱有两种优惠方案．方案一：以200箱为基准，每多100箱免12箱的金额．方案二：通过双方议价，买方能以每箱优惠8%的价格成交的概率为0.3，以每箱优惠6%的价格成交的概率为0.4，以每箱优惠5%（1）买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于9.5万元的金额购买这200箱零件的概率．（2）买方乙要在该厂购买400箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案更划算？请说明你的理由．（3）买方丙要在该厂购买960箱这种零件，由于购买的箱数超过500，该厂的销售部让丙综合使用这两种方案作为第三种方案，即一部分用方案一（箱数必须是100的正整数倍），另一部分使用方案二（箱数不限），试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由．解：（1）买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，若甲以每箱优惠8%的价格成交，则成交的金额为500×(1-8%若甲以每箱优惠6%的价格成交，则成交的金额为500×(1-6%若甲以每箱优惠5%的价格成交，则成交的金额为500×(1-5故甲以低于9.5万元的金额购买这200箱零件的概率为0.3+0.4=0.7；（2）买方乙要在该厂购买400箱这种零件，若乙选择方案一，则成交的金额为500×400-400-200若乙选择方案二，设成交的金额为X万元，则PX=PP所以买方乙按方案二在该厂购买400箱这种零件的成交金额的数学期望为E(X)=18.4×0.3+18.8×0.4+19×0.3=18.74万元因为18.74<18.8，所以方案二更优惠；（3）设丙用方案一购买100n（则丙用方案一需要支付的金额为100n×500-100n-200100方案二需要支付的金额的期望为960-100n所以丙购买的金额的期望为4.4n+1.2+44.976-4.685n=(46.176-0.285n)万元因为y=46.176-0.285n（3≤n≤9，n∈N故应该选择900箱使用方案一，60箱使用方案