2025届河南省焦作市普通高中高三下学期第三次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省焦作市普通高中2025届高三下学期第三次模拟考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知等差数列的公差为3，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为等差数列的公差为，所以.故选：C.2.已知且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得A项中的和C项中的的值无法确定，对于B，，对于D，．故选：D3.若为方程的两个不同的根，则（）A.－2i B.2i C.－2 D.2【答案】A【解析】因为，所以．故选：A4.若双曲线上的点到点的距离为4，则点到点的距离为（）A.14 B.12 C.10 D.8【答案】B【解析】由题意可知，，则，则双曲线的左、右焦点分别为，因或，且，故．故选：B5.已知，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以.故选：D.6.已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为的图象关于轴对称，所以为偶函数，排除B，又，排除A，当时，，排除D.故选：C．7.若，且，则的最大值为（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】因为，所以，当且仅当，即时取等号.故选：B.8.与曲线和圆都相切的直线有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】C【解析】设直线与曲线相切于点，则的方程为，即．圆C：，因为与圆相切，所以，所以，令，则，令，得或，进一步得到上单调递增，在上单调递减，所以，又当时，，所以在区间上分别有1个零点，所以这样的切线有3条．故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在中，若，点在边上，点在边上，且，，则（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】对于，，故正确；对于，因为，所以，故错误；对于，因为，所以为边上的高，的面积为，所以，故错误；对于，因为，所以平分，即，又，所以，所以，故正确．故选：.10.在三棱锥中，已知为的中点，则下列说法正确的是（）A.长度的取值范围是B.直线与平面所成的角为C.若，则，所成的角为D.若，则三棱锥外接球的表面积为【答案】BD【解析】对于A，因为，为的中点，所以，所以，所以，故A错误；对于B，由题，易得，又平面，所以平面，所以与平面所成的角为，故B正确；对于C，因为，所以，所以，又因为平面，所以平面，所以，故C错误；对于D，如图，取的中点为F，连接，则，由图形的对称性得，三棱锥外接球的球心必在的延长线上，设，由，分别由勾股定理得，所以，所以外接球的半径为，所以外接球的表面积为，故D正确．故选：BD.11.如图，一个圆形仓鼠笼被分为A，B，C，D四个区域，相邻区域之间用通道相连，开始时将一只仓鼠放入区域，仓鼠每次随机选择一个通道进入相邻的区域，设经过次随机选择后仓鼠在区域的概率为，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】对于A，因为仓鼠一开始在区域，经过1次选择后不可能在区域，所以，故A正确；对于B，记仓鼠经过次随机选择后在B，C，D区域的概率分别为，，则有所以，进一步得，因为，所以，所以，所以不成等比数列，故B错误；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，因为，所以，故D正确．故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合，非空集合，若，则的取值范围是______．【答案】【解析】由题意得，又因，所以，解得．故答案为：.13.我们把几何体的表面积与体积之比称为“相对积”．已知三棱锥中，分别在棱上，且截面与底面平行，，则三棱锥与三棱锥的相对积之比为______．【答案】【解析】设三棱锥、三棱锥的体积分别为，表面积分别为，高分别为，因为，所以，，，则，，则三棱锥与三棱锥的相对积之比为．故答案为：14.若过点的直线与抛物线交于B，C两点，以B，C为切点分别作的两条切线，则两条切线的交点的轨迹方程为______．【答案】【解析】设的方程为，代入中，整理得，设，则，由题意过点的切线斜率存在且不为0，设为，联立，得，由可得，即，所以切线方程为，同理可得过点的切线方程为.联立解得消去，得，所以两条切线交点的轨迹方程为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.小王参加某机构的招聘面试，要从6道简答题和4道论述题中任意抽取3道进行回答．（1）求小王抽取的3道题中两种题型都有的概率；（2）每道简答题答对得10分，每道论述题答对得20分，假设小王每道题都能答对，记小王答完3道题的总得分为，求的分布列和数学期望．解：（1）所求概率为.（2）的所有可能取值为，，，，．所以的分布列为X30405060P的数学期望.16.如图，在圆锥中，平面是轴截面，为底面圆周上一点（与不重合），为的中点．（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面的夹角的大小．（1）证明：在圆锥中，平面，平面,所以，因为为的中点，，所以，因为，平面，所以平面．（2）解：在平面内，过作交于点，分别以直线为轴建立空间直角坐标系，如图．因为，所以，由（1）知平面的一个法向量为．又，所以．设平面的法向量为，则取，则．所以，所以平面与平面的夹角为．17.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点，，且，记．（1）证明：；（2）证明：；（3）记，若，求的值．（1）证明：设，则．由余弦定理得，所以，所以．（2）证明：在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，由（1）知，又，所以．（3）解：若，则≌，得，与已知矛盾．若，则，所以化为，即，整理得，即，解得．18.已知椭圆的长轴长为，左、右焦点分别为，直线与交于P，Q两点，且满足（为坐标原点），当变化时，面积的最大值为．（1）求的方程；（2）证明：；（3）过点和线段PQ的中点作一条直线与交于R，S两点，求四边形PRQS面积的取值范围．（1）解：设的半焦距为．依题意得，所以，解得，所以的方程为．（2）证明：设，由消去得，则，，因为，所以，化简得，此时成立，证毕．（3）解：设PQ的中点为，因为直线RS经过点和点，所以不妨设，则．．由，得点的坐标为，又，所以代入的方程得，化简得，则．所以，即四边形PRQS面积的取值范围为．19.已知函数．（1）当时，，求实数的取值范围．（2）若，设的正零点从小到大依次为．①证明：；②判断数列的单调性，并证明．附：当时，．解：（1）由题意，即对任意恒成立．设，则，当时，，则，所以在上单调递增，，所以，即的取值范围是．（2）（ⅰ）若，则在定义域内恒成立，所以对任意在区间上单调递增，又，当时，，所以在区间内有唯一零点，所以．所以和都在区间内，又，所以，即．（ⅱ）数列是递减数列．证明如下：记，要证明数列递减数列，即证明：当时，，即，又因为，所以只需证明当时，．由（ⅰ）知，所以，且．所以，所以．，设函数，则，因为在区间上单调递增，所以当时，，所以在时单调递增，所以，即，所以．因为在上单调递增，且，所以，综上，数列是递减数列．河南省焦作市普通高中2025届高三下学期第三次模拟考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知等差数列的公差为3，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为等差数列的公差为，所以.故选：C.2.已知且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得A项中的和C项中的的值无法确定，对于B，，对于D，．故选：D3.若为方程的两个不同的根，则（）A.－2i B.2i C.－2 D.2【答案】A【解析】因为，所以．故选：A4.若双曲线上的点到点的距离为4，则点到点的距离为（）A.14 B.12 C.10 D.8【答案】B【解析】由题意可知，，则，则双曲线的左、右焦点分别为，因或，且，故．故选：B5.已知，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以.故选：D.6.已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为的图象关于轴对称，所以为偶函数，排除B，又，排除A，当时，，排除D.故选：C．7.若，且，则的最大值为（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】因为，所以，当且仅当，即时取等号.故选：B.8.与曲线和圆都相切的直线有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】C【解析】设直线与曲线相切于点，则的方程为，即．圆C：，因为与圆相切，所以，所以，令，则，令，得或，进一步得到上单调递增，在上单调递减，所以，又当时，，所以在区间上分别有1个零点，所以这样的切线有3条．故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在中，若，点在边上，点在边上，且，，则（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】对于，，故正确；对于，因为，所以，故错误；对于，因为，所以为边上的高，的面积为，所以，故错误；对于，因为，所以平分，即，又，所以，所以，故正确．故选：.10.在三棱锥中，已知为的中点，则下列说法正确的是（）A.长度的取值范围是B.直线与平面所成的角为C.若，则，所成的角为D.若，则三棱锥外接球的表面积为【答案】BD【解析】对于A，因为，为的中点，所以，所以，所以，故A错误；对于B，由题，易得，又平面，所以平面，所以与平面所成的角为，故B正确；对于C，因为，所以，所以，又因为平面，所以平面，所以，故C错误；对于D，如图，取的中点为F，连接，则，由图形的对称性得，三棱锥外接球的球心必在的延长线上，设，由，分别由勾股定理得，所以，所以外接球的半径为，所以外接球的表面积为，故D正确．故选：BD.11.如图，一个圆形仓鼠笼被分为A，B，C，D四个区域，相邻区域之间用通道相连，开始时将一只仓鼠放入区域，仓鼠每次随机选择一个通道进入相邻的区域，设经过次随机选择后仓鼠在区域的概率为，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】对于A，因为仓鼠一开始在区域，经过1次选择后不可能在区域，所以，故A正确；对于B，记仓鼠经过次随机选择后在B，C，D区域的概率分别为，，则有所以，进一步得，因为，所以，所以，所以不成等比数列，故B错误；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，因为，所以，故D正确．故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合，非空集合，若，则的取值范围是______．【答案】【解析】由题意得，又因，所以，解得．故答案为：.13.我们把几何体的表面积与体积之比称为“相对积”．已知三棱锥中，分别在棱上，且截面与底面平行，，则三棱锥与三棱锥的相对积之比为______．【答案】【解析】设三棱锥、三棱锥的体积分别为，表面积分别为，高分别为，因为，所以，，，则，，则三棱锥与三棱锥的相对积之比为．故答案为：14.若过点的直线与抛物线交于B，C两点，以B，C为切点分别作的两条切线，则两条切线的交点的轨迹方程为______．【答案】【解析】设的方程为，代入中，整理得，设，则，由题意过点的切线斜率存在且不为0，设为，联立，得，由可得，即，所以切线方程为，同理可得过点的切线方程为.联立解得消去，得，所以两条切线交点的轨迹方程为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.小王参加某机构的招聘面试，要从6道简答题和4道论述题中任意抽取3道进行回答．（1）求小王抽取的3道题中两种题型都有的概率；（2）每道简答题答对得10分，每道论述题答对得20分，假设小王每道题都能答对，记小王答完3道题的总得分为，求的分布列和数学期望．解：（1）所求概率为.（2）的所有可能取值为，，，，．所以的分布列为X30405060P的数学期望.16.如图，在圆锥中，平面是轴截面，为底面圆周上一点（与不重合），为的中点．（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面的夹角的大小．（1）证明：在圆锥中，平面，平面,所以，因为为的中点，，所以，因为，平面，所以平面．（2）解：在平面内，过作交于点，分别以直线为轴建立空间直角坐标系，如图．因为，所以，由（1）知平面的一个法向量为．又，所以．设平面的法向量为，则取，则．所以，所以平面与平面的夹角为．17.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点，，且，记．（1）证明：；（2）证明：；（3）记，若，求的值．（1）证明：设，则．由余弦定理得，所以，所以．（2）证明：在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，由（1）知，又，所以．（3）解：若，则≌