2025届湖北省部分高中协作体高三下学期联考（三模）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省部分高中协作体2025届高三下学期联考（三模）数学试题一、单选题1．设fx为偶函数，当x∈0,+∞时，fx=x-1，则使fA．xx>1 B．C．xx<-1或x>1 D．x1<x<0【答案】C【解析】因为x∈0,+∞时，又因为fx为偶函数，故可以做出f由图像可知，若fx>0，则x<-1或故选：C2．若sin(α+β)=3sin(πA．2 B．12 C．3 D．【答案】A【解析】因为sinα+β=3所以sinαcosβ=2所以tanα故选：A3．若fα=cosα+isinA．fα B．f2α C．2fα【答案】B【解析】f=故选：B4．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则线段A．1 B．22 C．64 D【答案】D【解析】如图建立空间直角坐标系，则A1设Px,0,1-x,0≤x≤1，则∴动点P到直线A1d==32x即线段AD1上的动点P到直线A1故选：D.5．已知公差不为0的等差数列an中，a2+a4=aA．52 B．5 C．10 D．【答案】A【解析】设数列公差为d，则由已知得a1+d+a1+3d=所以a10故选：A．6．已知x0是方程2x2e2xA．x0≥lnC．2x0+【答案】C【解析】设gx=2x2e2x+且当x→0时，函数gx→-∞可得方程2x2e2x+又由2x2e2x+构造新函数fx=xe所以fx在0,+可得f2x因为实数x0是方程2x2e2x其中x0∈0,1，所以2x0=ln1令hx=2x+lnx,x∈0,1由h1e=所以1e<x0<1e，又由ln2>lne故选：C.7．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．8 B．24 C．48 D．120【答案】C【解析】解：由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有A2其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48（个）．故选：C．8．如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程y=bx+a+e（单位：亿元），其中，b=0.8，a=2，e≤0.5A．9亿元 B．9.5亿元 C．10亿元 D．10.5亿元【答案】D【解析】因为y=bx+a+e=0.8x+2+ey=8+2+e=10+e≤10+0.5=10.5．故选：D．二、多选题9．如图，已知正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面BCC1B1内运动（包含边界），且AP与平面BCCA．正三棱台ABC-A1B．点P的轨迹长度为3C．高为463，底面半径为D．过点A，B，Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为3【答案】CD【解析】延长正三棱台侧棱相交于点O，由题意可知：OA=OB=OC，在等腰梯形BCC1B1中，因为BC=6，B1即△OBC为等边三角形，可知三棱锥O-ABC为正四面体，且O对于选项A：设H为等边△OBC的中心，由正四面体的性质可知：AH⊥侧面OBC，且AH=6即O点到底面ABC的距离为26又因为OB1=2，BB1=4，所以正三棱台故A错误；对于选项B：因为AP与平面BCC1B即tan∠APH=AHHP且等边△OBC的内切圆半径r=3可知点P的轨迹为等边△OBC的内切圆，所以点P的轨迹长度为23π，故对于选项C：因为正三棱台ABC-A1B1C1的高所以高为463，底面圆的半径为36对于选项D：设正四面体O-ABC的内切球半径r，由等体积法可得：13S△ABC因为2r<463，则该棱台内最大的球即为正四面体又因为CQ=3QC1，则Q为OC的中点，过点A,B,Q的平面正好过该内切球的球心，所以截面面积为622π=故选：CD.10．已知F1,F2是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过A．∠B．E的离心率等于3C．△PF1D．若A,B为E上的两点且关于原点对称，则PA,PB的斜率存在时其乘积为2【答案】ABD【解析】如图所示，因为M,O分别是PF1,F1F2A选项中，因为直线PF1的倾斜角为π6，所以∠B选项中，Rt△PF1所以PF1-PF2C选项中，△PF1F2的周长为(2+3)c，设内切圆为r，根据三角形的等面积法，有(2+3D选项中，A,B关于原点对称，可设A(m,n),B(-m,-n)，P(c,233c)，根据e=kPA=n-2am-3a，kPB=-n-2a-m-3a所以kPA⋅k故选：ABD11．函数y=kx2A． B．C． D．【答案】ABC【解析】f(x)=k当k=0时,f(x)=exf'Δ=4kf'(x)=k>1时,f'(x)=kx2+2kx+1x1<0,x2<0,当k<0时,f'(x)=kx2+2kx+1x1<0,x2>0故选：ABC．三、填空题12．已知奇函数f(x)在x≥0的图像如图所示，则不等式x⋅f(x)<0的解集是.【答案】(1,2)∪(-2,-1)【解析】∵x⋅f(x)<0则当x>0时，f(x)<0，结合函数的图象可得：1<x<2当x<0时，f(x)>0，根据奇函数的图象关于原点对称可得：-2<x<-1∴不等式x⋅f(x)<0的解集为(13．已知圆O:x2+y2=4与圆C:x2【答案】15【解析】解：因为圆O:x2+y2=4与圆所以直线AB的方程为：x2+y所以圆心O0,0到弦AB的距离为d=所以弦AB=2所以在△AOB中，OA=OB=2所以sin∠AOB=故答案为：1514．在x-1xn的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x【答案】70【解析】由只有第5项的二项式系数最大可得：n=8.∴通项公式Tr+1令8-32r=2∴展开式中含x2项的系数为(-1)故答案为：70.四、解答题15．环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速80km/h（不含80km/h）经多次测试得到，该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：M(v)=140v3+b（1）当0≤v<80时，请选出符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）现有一辆同型号汽车从A地驶到B地，前一段是200km的国道，后一段是100km的高速路．若已知高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度的关系是：解：（1）对于Mv=500log对于M(v)=80023v故选择M(v)=1根据提供的数据，有140×20当0≤v<80时，M(v)=1（2）国道路段长为200km，所用时间为200所耗电量为f(v)=因为0≤v<80，当v=40时，f(v)高速路段长为100km，所用时间为100所耗电量为g(v)==200×v因为g'(v)=2001-100v所以g(v)在80,120上单调递增，所以g(v)故当这辆车在国道上的行驶速度为40km/h，在高速路上的行驶速度为80km/h时，该车从A地到B地的总耗电量最少，最少为16．如图，四棱锥P－ABCD的底面为菱形，∠ABC=π3，AB＝AP＝2，PA⊥底面ABCD，E是线段PB的中点，G，H分别是线段PC上靠近P，（1）求证：平面AEG∥平面BDH；（2）求点A到平面BDH的距离．（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接OH，△PBH中，E，G分别为PB，PH的中点，所以EG∥BH，又因为EG⊂平面BDH，BH⊂平面BDH所以EG∥平面BDH，同理：AG∥平面BDH，因为AG，EG⊂平面AEG，AG∩EG=G，所以平面AEG∥平面BDH．（2）解：记点A，H到平面BDH，平面ABD的距离分别为hA，hH，因为PA⊥平面ABCD，PA＝2，CH=13CP在△PBC中，cos∠PCB=在△BCH中，BH同理，DH=423，又因为O为BD中点，所以OH在△BDH中，BD=23，S因为VA-BDH=V17．已知以点P为圆心的圆经过点A（－1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程.解：（1）由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为（1，2）.所以kCD则直线CD的方程为y－2＝－（x－1），所以直线CD的方程为x＋y－3＝0.（2）设圆心P（a，b），则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①又因为直径|CD|＝410，所以|PA|＝210，所以（a＋1）2＋b2＝40.②由①②解得a=-3b=6或所以圆心P（－3，6）或P（5，－2）.所以圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40.18．已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，且a1（1）求数列an的前n项和S（2）若n≥2，1S2-1解：（1）设等差数列an的公差为d因为a1,a2,a5化简得2a1d=d2,又因为因为a2⋅a3=a解得a1=0当a1=0时,d=2当a1=1时,d=2a1=2（2）因为1当n≥2时,1S2-1+1由题得1232-即9n2解得n≤4,又因为n≥2,所以2≤n≤4n∈所以n∈19．某技术部门招工需经过四项考核，已知能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9，0.65，各项考核是相互独立的，每个应聘者都要经过四项考核，只要有一项考核不通过即被淘汰.（1）求该部门招工的淘汰率;（2）求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率.解：（1）设B表示最终通过考核，A1,因为各项考核是相互独立的，所以该部门招工的通过率为P(B)=0.6×0.8×0.9×0.65=0.2808，因此该部门招工的淘汰率为P(B（2）在通过第一、三项考核的情况下考核全部通过的概率为P(B|A1A3)=湖北省部分高中协作体2025届高三下学期联考（三模）数学试题一、单选题1．设fx为偶函数，当x∈0,+∞时，fx=x-1，则使fA．xx>1 B．C．xx<-1或x>1 D．x1<x<0【答案】C【解析】因为x∈0,+∞时，又因为fx为偶函数，故可以做出f由图像可知，若fx>0，则x<-1或故选：C2．若sin(α+β)=3sin(πA．2 B．12 C．3 D．【答案】A【解析】因为sinα+β=3所以sinαcosβ=2所以tanα故选：A3．若fα=cosα+isinA．fα B．f2α C．2fα【答案】B【解析】f=故选：B4．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则线段A．1 B．22 C．64 D【答案】D【解析】如图建立空间直角坐标系，则A1设Px,0,1-x,0≤x≤1，则∴动点P到直线A1d==32x即线段AD1上的动点P到直线A1故选：D.5．已知公差不为0的等差数列an中，a2+a4=aA．52 B．5 C．10 D．【答案】A【解析】设数列公差为d，则由已知得a1+d+a1+3d=所以a10故选：A．6．已知x0是方程2x2e2xA．x0≥lnC．2x0+【答案】C【解析】设gx=2x2e2x+且当x→0时，函数gx→-∞可得方程2x2e2x+又由2x2e2x+构造新函数fx=xe所以fx在0,+可得f2x因为实数x0是方程2x2e2x其中x0∈0,1，所以2x0=ln1令hx=2x+lnx,x∈0,1由h1e=所以1e<x0<1e，又由ln2>lne故选：C.7．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．8 B．24 C．48 D．120【答案】C【解析】解：由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有A2其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48（个）．故选：C．8．如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程y=bx+a+e（单位：亿元），其中，b=0.8，a=2，e≤0.5A．9亿元 B．9.5亿元 C．10亿元 D．10.5亿元【答案】D【解析】因为y=bx+a+e=0.8x+2+ey=8+2+e=10+e≤10+0.5=10.5．故选：D．二、多选题9．如图，已知正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面BCC1B1内运动（包含边界），且AP与平面BCCA．正三棱台ABC-A1B．点P的轨迹长度为3C．高为463，底面半径为D．过点A，B，Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为3【答案】CD【解析】延长正三棱台侧棱相交于点O，由题意可知：OA=OB=OC，在等腰梯形BCC1B1中，因为BC=6，B1即△OBC为等边三角形，可知三棱锥O-ABC为正四面体，且O对于选项A：设H为等边△OBC的中心，由正四面体的性质可知：AH⊥侧面OBC，且AH=6即O点到底面ABC的距离为26又因为OB1=2，BB1=4，所以正三棱台故A错误；对于选项B：因为AP与平面BCC1B即tan∠APH=AHHP且等边△OBC的内切圆半径r=3可知点P的轨迹为等边△OBC的内切圆，所以点P的轨迹长度为23π，故对于选项C：因为正三棱台ABC-A1B1C1的高所以高为463，底面圆的半径为36对于选项D：设正四面体O-ABC的内切球半径r，由等体积法可得：13S△ABC因为2r<463，则该棱台内最大的球即为正四面体又因为CQ=3QC1，则Q为OC的中点，过点A,B,Q的平面正好过该内切球的球心，所以截面面积为622π=故选：CD.10．已知F1,F2是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过A．∠B．E的离心率等于3C．△PF1D．若A,B为E上的两点且关于原点对称，则PA,PB的斜率存在时其乘积为2【答案】ABD【解析】如图所示，因为M,O分别是PF1,F1F2A选项中，因为直线PF1的倾斜角为π6，所以∠B选项中，Rt△PF1所以PF1-PF2C选项中，△PF1F2的周长为(2+3)c，设内切圆为r，根据三角形的等面积法，有(2+3D选项中，A,B关于原点对称，可设A(m,n),B(-m,-n)，P(c,233c)，根据e=kPA=n-2am-3a，kPB=-n-2a-m-3a所以kPA⋅k故选：ABD11．函数y=kx2A． B．C． D．【答案】ABC【解析】f(x)=k当k=0时,f(x)=exf'Δ=4kf'(x)=k>1时,f'(x)=kx2+2kx+1x1<0,x2<0,当k<0时,f'(x)=kx2+2kx+1x1<0,x2>0故选：ABC．三、填空题12．已知奇函数f(x)在x≥0的图像如图所示，则不等式x⋅f(x)<0的解集是.【答案】(1,2)∪(-2,-1)【解析】∵x⋅f(x)<0则当x>0时，f(x)<0，结合函数的图象可得：1<x<2当x<0时，f(x)>0，根据奇函数的图象关于原点对称可得：-2<x<-1∴不等式x⋅f(x)<0的解集为(13．已知圆O:x2+y2=4与圆C:x2【答案】15【解析】解：因为圆O:x2+y2=4与圆所以直线AB的方程为：x2+y所以圆心O0,0到弦AB的距离为d=所以弦AB=2所以在△AOB中，OA=OB=2所以sin∠AOB=故答案为：1514．在x-1xn的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x【答案】70【解析】由只有第5项的二项式系数最大可得：n=8.∴通项公式Tr+1令8-32r=2∴展开式中含x2项的系数为(-1)故答案为：70.四、解答题15．环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速80km/h（不含80km/h）经多次测试得到，该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：M(v)=140v3+b（1）当0≤v<80时，请选出符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）现有一辆同型号汽车从A地驶到B地，前一段是200km的国道，后一段是100km的高速路．若已知高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度的关系是：解：（1）对于Mv=500log对于M(v)=80023v故选择M(v)=1根据提供的数据，有140×20当0≤v<80时，M(v)=1（2）国道路段长为200km，所用时间为200所耗电量为f(v)=因为0≤v<80，当v=40时，f(v)高速路段长为100km，所用时间为100所耗电量为g(v)==200×v因为g'(v)=2001-100v所以g(v)在80,120上单调递增，所以g(v)故当这辆车在国道上的行驶速度为40km/h，在高速路上的行驶速度为80km/h时，该车从A地到B地的总耗电量最少，最少为16．如图，四棱锥P－ABCD的底面为菱形，∠ABC=π3，AB＝AP＝2，PA⊥底面ABCD，E是线段PB的中点，G，H分别是线段PC上靠近P，（1）求证：平面AEG∥平面BDH；（2）求点A到平面BDH的距离．（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接OH，△PBH中，E，G分别为PB，PH的中点，所以EG∥BH，又因为EG⊂平面BDH，BH⊂平面BDH所以EG∥平面BDH，同理：AG∥平面BDH，因为AG，EG⊂平面AEG，AG∩EG=G，所以平面AEG∥平面BDH．（2）解：记点A，H到平面BDH，平面ABD的距离分别为hA，hH，因为PA⊥平面ABCD，PA＝2，CH=13CP在△PBC中，cos∠PCB=在△BCH中，BH同