2025届湖北省鄂东南联盟高三下学期5月模拟数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省鄂东南联盟2025届高三下学期5月模拟数学试卷一、单选题1．已知复数z满足iz=3+i，其中i为虚数单位，则z的共轭复数A．-1+3i B．1+3i C．【答案】B【解析】复数z满足iz=3+i，则故选：B.2．设集合A=x∣x2-4x+3<0,B=A．-3,-32 B．-3,32 C．【答案】D【解析】由22x-3<1⇒2x-3<0⇒x<3又A=x∣x2故选：D.3．已知函数fx=sinωx-3π4的图像向左平移π12个单位后，得到的图像关于A．3 B．-3 C．15 D．2【答案】A【解析】由题设，函数y=sin所以ωπ12-要ω最小，取k=-1，得ω=3，故选：A.4．已知点P2,0，Q3,2，向量a=1,-2，则向量PQ在A．35,65 B．-35【答案】C【解析】因为P2,0，Q3,2，所以又a=1,-2，所以a=所以向量PQ在a方向上的投影向量为PQ⋅故选：C.5．反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差Xn∼N0,2n，则为使Xn≥110的概率控制在0.0455A．200 B．400 C．800 D．1000【答案】C【解析】由PX而μ=0，则P-2σ<Xn故选：C6．“3<r<6”是“圆C:(x+1)2+(y-2)2=r2r>0A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】如图所示：设与直线l平行且与直线l之间的距离为1的直线方程为3x+4y+c=0，则c-1542+(-3)2圆心C1-1,2到直线3x+4y+10=0的距离为圆C1-1,2到直线3x+4y+20=0的距离为由图可知，圆C1与直线3x+4y+10=0相交，与直线3x+4y+20=0所以d1<r<d故“3<r<6”是“圆C:(x+1)2+l:3x+4y+15=0的距离为1”的必要不充分条件.故选：B.7．已知边长为2的菱形ABCD,∠ABC=2π3，对角线AC,BD交于点O，现将△ACD沿对角线AC翻折，得到三棱锥D'-ABC.记线段AA．BB．三棱锥D'-ABCC．平面EFG截三棱锥D'D．当折成的二面角D'-AC-B为2π3【答案】C【解析】对于A，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，故AC⊥BO,AC⊥OD又BO∩OD'=O，BO，OD'⊂平面因为BD'⊂平面D'OB对于B，由A得AC⊥平面D'OB，因为AC⊂平面ABC，所以平面D'当D'到平面ABC的距离最大时，即D'O⊥平面ABC由题意得，△ABD为等边三角形，O为BD中点，所以D'所以三棱锥D'-ABC体积的最大值为V=1对于C，取D'C中点H，连接因为线段AD',AB,BC所以GH//D'所以截面图形为平行四边形EFGH.由A可知AC⊥D'B，所以EF⊥FG由题意得，AC=23,BD=2，所以所以EF≠FG，即四边形EFGH不可能为正方形，故C错误；对于D，当二面角D'-AC-B为2π3时，由所以D'到平面ABC距离为OD'⋅sinπ3=3因为DA=DB=DC，所以D为△ABC外接圆圆心，所以三棱锥D'-ABC外接球的球心O'在过D设三棱锥D'-ABC外接球的半径为R，则R2=4+h2R2=14+故选：C.8．已知定义域为实数集R的函数fx,gx，导数均存在，且记为f'x,g'xA．fB．fC．fD．f【答案】A【解析】f'令hx=f故h'x>0⇒又h2=0，所以即f3所以f1+g3另外，f3>g3,f1故C，D无法判断.故选：A.二、多选题9．已知点P在抛物线y2=12x上运动，F为抛物线的焦点，点M4,1，则PMA．9 B．8 C．7 D．6【答案】ABC【解析】抛物线y2=12x的焦点F(3,0)，准线如图，过点P作PA⊥l于A，过点M作MB⊥l于B，连接PM,PF，由抛物线的定义知PF=PA，则PM+PF=又MB=4+3=7，所以PM+故选：ABC10．已知单位圆O的内接正n边形A1A2A3A．an=2cosC．SnS2n【答案】BCD【解析】对于A，单位圆O的内接正n边形A1A2如图设∠A1OA2=2πnan=A对于B，由A的结论，an=2sin则LnL2n对于C，Sn则S2n=2n2sin对于D，由上分析，an=2sin故Ln2-a=2nsinπn⋅2故选：BCD11．已知函数fx=xA．0是函数fxB．函数fx仅有一个极小值C．若1<x1<3<xD．若关于x的方程[fx]2-2af【答案】AC【解析】对于选项A，f0=0，所以A对于选项B，当x<1时，f'x=x+1e当-1<x<1时，fx单调递增，所以当0<x<1时，0<f当x>1时，f'x=exx-3x4，当y=fx所以，函数fx的极小值为-1e和e对于选项C，设ht=t-3lnt-9t+3所以ht若1<x1<3<因为x2,9x1>3，fx在3,+∞对于选项D，关于x的方程[fx⇔关于x的方程fx⇔关于x的方程fx⇔函数y=fx与y=2a图象有一个公共点，且x≠0由图象易知2a=-1e，或0<2a<e从而a的取值集合为-12e∪故选：AC.三、填空题12．1与2025的等比中项为.【答案】±45.【解析】设1与2025的等比中项为为x，所以x2=1×2025，所以故答案为：±45.13．已知定义域为R的函数fx是奇函数，且在0,+∞上严格单调递增，若对△ABC的某个内角θ，不等式fsinθ+cos【答案】9【解析】依题意，fx是奇函数，且在0,+∞上严格单调递增，所以fx由fsinθ+cos1-m<sin设t=sinθ+cosθ=2所以-22<则sinθ+cosθ+21-sinθ+cos由不等关系：fsinθ+cosθ+2sin故答案为：9414．在4×4方格表的16个小方格中选取8个，使得每行每列都恰有两个小方格被选中，则不同的选取方法数为.（请用数字作答）【答案】90【解析】第一行选2个方格有C42=6（1）若第二行选的方格均与第一行同列，则后两行选的方格只能与前两行不同列，有1种方法；（2）若第二行选的方格均与第一行不同列，则前两行选取的4个方格中每列1个，第三行选的方格有C42=6（3）若第二行选的方格恰有1个与第一行同列，第二行选取方法有2×4-2此时，前两行选的4个方格中有2个在同一列（该列后两行不选），有1列前两行都未选（该列后两行必选），另两列前两行各选一个（后两行也要各选一个，2种方法）.综上，共6×1+6+4×2=90故答案为：90.四、解答题15．已知函数fx（1）若函数fx的图像在点1,f1处的切线与直线x+6y-3=0垂直，求实数（2）若t=-1，求函数fx的单调区间解：（1）由题意知fx=ln由题设知函数fx的图象在点1,f1处的切线斜率为6，即所以t=2；（2）由于t=-1,fx=ln当x∈0,1时，f'x故函数fx的单调增区间为0,1，单调减区间为1,+16．2025年4月25日，中国人形机器人生态大会在上海汽车会展中心举办.其中，人形机器人拳王争霸赛让人大开眼界：在4米乘以4米的拳台上，可以看到各家公司在多模态融合算法、运动控制、视觉、感知等技术上的突破.比赛前，某科技公司机器人甲队和乙队进行练习赛，两队均由两台机器人组成.比赛要求每轮两局，每局比赛两队都需派不同机器人参赛，每局比赛获胜得1分，否则得0分（每局比赛都分胜负，没有平局）.设每轮比赛中各局结果互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲队机器人H1，机器人G1每局比赛获胜的概率分别为（1）设前两轮比赛中甲队得3分为事件A，前两轮比赛中机器人H1得2分为事件B，求P（2）机器人续航时间有限，规定本次比赛最多进行6轮，规定当一队得分比另一队得分多2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了X轮，求X的分布列及数学期望.解：（1）设前两轮比赛中H1得i分为事件Ci,G∴PC1=由题意A=C1D2+∴PA∴PB∣A（2）由题意，X=1,2,⋯⋯,6，设第k轮两队比分为1:1为事件E∵各局比赛互不影响，∴PE由题意，k=1时，PX=1=PE1=1∵各轮比赛互不影响，∴PX=k=PE所以X的分布列为：X123456P111111∴EX17．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面四边形ABCD为直角梯形，DC//AB,∠DAB=∠ADC=∠PBA=90∘,PB⊥AD,PB=AB=AD=12DC=1，平面（1）求线段PM的长度；（2）线段BC上是否存在点E，使得平面PAD⊥平面PDE？若存在，求直线PE与平面PCD所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.解：（1）由题设，直线AD,BC不平行，延长DA,CB必相交，记交点为N，则N∈AD，N∈BC，从而N∈平面PAD,N∈平面PBC，即点N为平面PAD与平面PBC的一个公共点，又点P也为平面PAD与平面PBC的一个公共点，根据基本事实3，知直线PN即为直线l，且点N即为点M，由题设，PB⊥BA,PB⊥AD,BA∩AD=A，所以PB⊥平面ABCD，所以PB⊥MB，且易知PB=1,MB=2，所以PM=（2）如图，以D为原点，DC方向､DA方向､BP方向分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，如图，由PB=AB=AD=1，则CD=2.则各点坐标为：D0,0,0假设存在点E，设BE=λBC0≤λ≤1，则点E设n1=x1,y1,∵DA=0,1,0令x1=1，得∴n2⋅令x2=1，得：∵平面PAD⊥平面PDE,∴n18．已知椭圆C:x2a2+y2b（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C交于M,N两点，且坐标原点O到直线l的距离为2217，则∠MON（3）在（2）的条件下，试求三角形△MON的面积S的取值范围.解：（1）已知椭圆的2c=2，则c=1，两焦点为(-1,0)，(1,0).因为点P(1,32)在椭圆C即(-2)2+(又因为c=1，根据b2=a2-所以椭圆C的方程为x2（2）当直线l的斜率不存在时：直线l的方程为x=±2217，由对称性，不妨令直线l联立x=2217x24(即x=2217y=±2217当直线l的斜率存在时：设直线l的方程为y=kx+m，M(x1,由点到直线的距离公式，可得|m|k2+1联立y=kx+mx24+y则Δ=64k2m由韦达定理可得x1+x所以OM⋅==将m2=所以OM⊥ON，即综上，∠MON的大小为定值，该定值为π2（3）当直线l的斜率不存在时：|MN|=437当直线l的斜率存在时：|MN|=将m2=所以三角形△MON的面积S=1当k=0时，S=12当k≠0时，S=12由基本不等式16k2+9k2则16k2+9k2+24≥48，0<116综上，S∈[1219．设n为正整数，且n≥2，定义A数列为满足以下条件的正整数数列：①1=a1≤a2≤⋯≤ak≤n；②对每个i∈2,⋯,k,ai≥2ai-1.定义B数列为满足以下条件的正整数数列：①b1≤b2≤⋯≤bk=n；②对每个i∈（1）求A3（2）求A25（3）证明：An（1）解：由题设A3=1,4;1,2,4A5中满足要求的数列分别为1,6；1,2,6；1,3,6，故AA7中满足要求的数列分别为1,8；1,2,8；1,3,8；1,4,8；1,2,4,8；故A从而A3=2,A（2）解：A1中满足要求的数列为1,2，A2中满足要求的数列为故A1我们首先证明对于t∈N*，均有若数列1,a2,⋯,反之，若1,a2,⋯,am所以1,a2,⋯,对于集合A2t+1中的任意一个数列1,用A'2t+1来表示am=t+1的所有当am<t+1时，该数列属于对于A2t+1\A因为am<t+1，故2a而当1,a2,⋯,所以A2t+1故A2t+1又A1所以A5A9A13A17A21故A(25)=i=1（3）证明：若数列b1,b2,⋯,bk则bt+1≥i=1则数列1,b满足n≥i=1tb所以它是A数列，并且我们有当b1,b2,⋯,bk同样的，若数列1,a1,a2,⋯,ak事实上，因为ai+1≥2a又a1-1+a而a1故a1-1,a2所以A数列和B数列是一一对应关系，故An湖北省鄂东南联盟2025届高三下学期5月模拟数学试卷一、单选题1．已知复数z满足iz=3+i，其中i为虚数单位，则z的共轭复数A．-1+3i B．1+3i C．【答案】B【解析】复数z满足iz=3+i，则故选：B.2．设集合A=x∣x2-4x+3<0,B=A．-3,-32 B．-3,32 C．【答案】D【解析】由22x-3<1⇒2x-3<0⇒x<3又A=x∣x2故选：D.3．已知函数fx=sinωx-3π4的图像向左平移π12个单位后，得到的图像关于A．3 B．-3 C．15 D．2【答案】A【解析】由题设，函数y=sin所以ωπ12-要ω最小，取k=-1，得ω=3，故选：A.4．已知点P2,0，Q3,2，向量a=1,-2，则向量PQ在A．35,65 B．-35【答案】C【解析】因为P2,0，Q3,2，所以又a=1,-2，所以a=所以向量PQ在a方向上的投影向量为PQ⋅故选：C.5．反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差Xn∼N0,2n，则为使Xn≥110的概率控制在0.0455A．200 B．400 C．800 D．1000【答案】C【解析】由PX而μ=0，则P-2σ<Xn故选：C6．“3<r<6”是“圆C:(x+1)2+(y-2)2=r2r>0A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】如图所示：设与直线l平行且与直线l之间的距离为1的直线方程为3x+4y+c=0，则c-1542+(-3)2圆心C1-1,2到直线3x+4y+10=0的距离为圆C1-1,2到直线3x+4y+20=0的距离为由图可知，圆C1与直线3x+4y+10=0相交，与直线3x+4y+20=0所以d1<r<d故“3<r<6”是“圆C:(x+1)2+l:3x+4y+15=0的距离为1”的必要不充分条件.故选：B.7．已知边长为2的菱形ABCD,∠ABC=2π3，对角线AC,BD交于点O，现将△ACD沿对角线AC翻折，得到三棱锥D'-ABC.记线段AA．BB．三棱锥D'-ABCC．平面EFG截三棱锥D'D．当折成的二面角D'-AC-B为2π3【答案】C【解析】对于A，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，故AC⊥BO,AC⊥OD又BO∩OD'=O，BO，OD'⊂平面因为BD'⊂平面D'OB对于B，由A得AC⊥平面D'OB，因为AC⊂平面ABC，所以平面D'当D'到平面ABC的距离最大时，即D'O⊥平面ABC由题意得，△ABD为等边三角形，O为BD中点，所以D'所以三棱锥D'-ABC体积的最大值为V=1对于C，取D'C中点H，连接因为线段AD',AB,BC所以GH//D'所以截面图形为平行四边形EFGH.由A可知AC⊥D'B，所以EF⊥FG由题意得，AC=23,BD=2，所以所以EF≠FG，即四边形EFGH不可能为正方形，故C错误；对于D，当二面角D'-AC-B为2π3时，由所以D'到平面ABC距离为OD'⋅sinπ3=3因为DA=DB=DC，所以D为△ABC外接圆圆心，所以三棱锥D'-ABC外接球的球心O'在过D设三棱锥D'-ABC外接球的半径为R，则R2=4+h2R2=14+故选：C.8．已知定义域为实数集R的函数fx,gx，导数均存在，且记为f'x,g'xA．fB．fC．fD．f【答案】A【解析】f'令hx=f故h'x>0⇒又h2=0，所以即f3所以f1+g3另外，f3>g3,f1故C，D无法判断.故选：A.二、多选题9．已知点P在抛物线y2=12x上运动，F为抛物线的焦点，点M4,1，则PMA．9 B．8 C．7 D．6【答案】ABC【解析】抛物线y2=12x的焦点F(3,0)，准线如图，过点P作PA⊥l于A，过点M作MB⊥l于B，连接PM,PF，由抛物线的定义知PF=PA，则PM+PF=又MB=4+3=7，所以PM+故选：ABC10．已知单位圆O的内接正n边形A1A2A3A．an=2cosC．SnS2n【答案】BCD【解析】对于A，单位圆O的内接正n边形A1A2如图设∠A1OA2=2πnan=A对于B，由A的结论，an=2sin则LnL2n对于C，Sn则S2n=2n2sin对于D，由上分析，an=2sin故Ln2-a=2nsinπn⋅2故选：BCD11．已知函数fx=xA．0是函数fxB．函数fx仅有一个极小值C．若1<x1<3<xD．若关于x的方程[fx]2-2af【答案】AC【解析】对于选项A，f0=0，所以A对于选项B，当x<1时，f'x=x+1e当-1<x<1时，fx单调递增，所以当0<x<1时，0<f当x>1时，f'x=exx-3x4，当y=fx所以，函数fx的极小值为-1e和e对于选项C，设ht=t-3lnt-9t+3所以ht若1<x1<3<因为x2,9x1>3，fx在3,+∞对于选项D，关于x的方程[fx⇔关于x的方程fx⇔关于x的方程fx⇔函数y=fx与y=2a图象有一个公共点，且x≠0由图象易知2a=-1e，或0<2a<e从而a的取值集合为-12e∪故选：AC.三、填空题12．1与2025的等比中项为.【答案】±45.【解析】设1与2025的等比中项为为x，所以x2=1×2025，所以故答案为：±45.13．已知定义域为R的函数fx是奇函数，且在0,+∞上严格单调递增，若对△ABC的某个内角θ，不等式fsinθ+cos【答案】9【解析】依题意，fx是奇函数，且在0,+∞上严格单调递增，所以fx由fsinθ+cos1-m<sin设t=sinθ+cosθ=2所以-22<则sinθ+cosθ+21-sinθ+cos由不等关系：fsinθ+cosθ+2sin故答案为：9414．在4×4方格表的16个小方格中选取8个，使得每行每列都恰有两个小方格被选中，则不同的选取方法数为.（请用数字作答）【答案】90【解析】第一行选2个方格有C42=6（1）若第二行选的方格均与第一行同列，则后两行选的方格只能与前两行不同列，有1种方法；（2）若第二行选的方格均与第一行不同列，则前两行选取的4个方格中每列1个，第三行选的方格有C42=6（3）若第二行选的方格恰有1个与第一行同列，第二行选取方法有2×4-2此时，前两行选的4个方格中有2个在同一列（该列后两行不选），有1列前两行都未选（该列后两行必选），另两列前两行各选一个（后两行也要各选一个，2种方法）.综上，共6×1+6+4×2=90故答案为：90.四、解答题15．已知函数fx（1）若函数fx的图像在点1,f1处的切线与直线x+6y-3=0垂直，求实数（2）若t=-1，求函数fx的单调区间解：（1）由题意知fx=ln由题设知函数fx的图象在点1,f1处的切线斜率为6，即所以t=2；（2）由于t=-1,fx=ln当x∈0,1时，f'x故函数fx的单调增区间为0,1，单调减区间为1,+16．2025年4月25日，中国人形机器人生态大会在上海汽车会展中心举办.其中，人形机器人拳王争霸赛让人大开眼界：在4米乘以4米的拳台上，可以看到各家公司在多模态融合算法、运动控制、视觉、感知等技术上的突破.比赛前，某科技公司机器人甲队和乙队进行练习赛，两队均由两台机器人组成.比赛要求每轮两局，每局比赛两队都需派不同机器人参赛，每局比赛获胜得1分，否则得0分（每局比赛都分胜负，没有平局）.设每轮比赛中各局结果互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲队机器人H1，机器人G1每局比赛获胜的概率分别为（1）设前两轮比赛中甲队得3分为事件A，前两轮比赛中机器人H1得2分为事件B，求P（2）机器人续航时间有限，规定本次比赛最多进行6轮，规定当一队得分比另一队得分多2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了X轮，求X的分布列及数学期望.解：（1）设前两轮比赛中H1得i分为事件Ci,G∴PC1=由题意A=C1D2+∴PA∴PB∣A（2）由题意，X=1,2,⋯⋯,6，设第k轮两队比分为1:1为事件E∵各局比赛互不影响，∴PE由题意，k=1时，PX=1=PE1=1∵各轮比赛互不影响，∴PX=k=PE所以X的分布列为：X123456P111111∴EX17．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面四边形ABCD为直角梯形，DC//AB,∠DAB=∠ADC=∠PBA=90∘,PB⊥AD,PB=AB=AD=12DC=1，平面（1）求线段PM的长度；（2）线段BC上是否存在点E，使得平面PAD⊥平面PDE？若存在，求直线PE与平面PCD所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.解：（1）由题设，直线AD,BC不平行，延长DA,CB必相交，记交点为N，则N∈AD，N∈BC，从而N∈平面PAD,N∈平面PBC，即点N为平面PAD与平面PBC的一个公共点，又点P也为平面PAD与平面PBC的一个公共点，根据基本事实3，知直线PN即为直线l，且点N即为点M，由题设，PB⊥BA,PB⊥AD,BA∩AD=A，所以PB⊥平面ABCD，所以PB⊥MB，且易知PB=1,MB=2，所以PM=（2）如图，以D为原点，DC方向､DA方向､BP方向分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，如图，由PB=AB=AD=1，则CD=2.则各点坐标为：D0,0,0假设存在点E，设BE=λBC0≤λ≤1，则点E设n1=x1,y1,∵DA=0,1,0令x1=1，得∴n2⋅令x2=1，得：∵平面PAD⊥平面PDE,∴n18．已知椭圆C:x2a2+y2b（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C交于M,N两点，且坐标原点O到直线l的距离为2217，则∠MON（3）在（