2025届湖南省郴州市高三下学期综合性模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省郴州市2025届高三下学期综合性模拟考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.马拉松爱好者小丽月份每个月的跑步里程（单位：公里）如下表所示，则小丽7月份每个月的跑步里程的分位数为（）月份7月8月9月10月11月12月跑步里程310254220210248300A.210公里 B.251公里 C.254公里 D.248公里【答案】C【解析】将小丽月份每个月的跑步里程从小到大排列：.因为6，所以小丽月份每个月的跑步里程的分位数为254公里.故选：C.2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，所以.故选：B.3.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据题意可得，所以所求切线的斜率，所以所求切线的方程为，即.故选：B.4.定义：，其中为向量的夹角.若，则（）A.8 B.16 C. D.【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.5.给定一个数列，记，则把数列称为的一阶差数列.若数列的一阶差数列的通项公式为，则（）A.556 B.557 C.292 D.291【答案】C【解析】根据题意，，则，即，又因为，故.故选：C.6.已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线相切于点.若，则圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】过点作垂直于直线，垂足为，则.因为，所以，得.因为是抛物线上一点，所以，得，则，故圆的标准方程为.故选：A.7已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，由，得，则，.故选：C.8.已知函数与其导函数的部分图象如图所示.设函数，则（）A.B.C.在上单调递减D.在处取得极大值【答案】B【解析】由图可知、的分布如图所示.易得当时，，所以在上单调递减，则，A错误；由，得.当时，，所以，所以在上单调递减，所以，即，所以，B正确；当时，，则，所以，在上单调递增，C错误；当时，，所以，因为在上单调递减，在上单调递增，所以，在处取得极小值，D错误.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列结论正确的是（）A.是奇函数B.是增函数C.不等式的解集为D.若函数恰有两个零点，则的取值范围为【答案】CD【解析】的大致图象如图所示：由图象可知：的图象不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误；在定义域内不单调，故B错误；若，则或，即不等式的解集为，故C正确；令，则，原题意等价于与有2个交点，则，所以的取值范围为，故D正确；故选：CD.10.已知某平面图形由如图所示的四个全等的等腰拼成，其中线段的中点均为点，且.若将该平面图形绕着直线旋转半周围成的几何体记为，将该平面图形绕着直线旋转半周围成的几何体记为，直线直线，则（）A.的体积为B.的表面积为C.经过两次旋转后，点所有的运动轨迹总长为D.经过两次旋转后，点所有的运动轨迹为两个半圆【答案】AD【解析】过点作直线，垂足为，过点作直线，垂足为.由题意易得，所以，所以该平面图形绕着直线旋转半周，点的运动轨迹是半径为3的半圆，其长度为，该平面图形绕着直线旋转半周，点的运动轨迹是半径为的半圆，其长度为，所以经过两次旋转后，点的运动轨迹总长为，C错误，D正确.为两个圆台挖去两个圆锥，的体积为，A正确.为两个大圆锥挖去两个小圆锥，表面积为，B错误.故选：AD11.设正实数满足，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于选项A：因为正实数满足，设，则，因为，即，整理可得得，将其看为关于的一元二次方程，则，解得，即，故A正确；对于选项D：因为，且，，则，当且仅当时，等号成立，所以，故D正确；对于选项B：因为，则，当且仅当时，等号成立，则，得，当且仅当时，等号成立，故B错误；对于选项C：因为，因为，则，，可得，当且仅当时，等号成立，即，可得，即，当且仅当时，等号成立所以，故C正确；故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数是关于的方程的一个根，则__________.【答案】【解析】由题意得，则，所以，所以.故答案为：.13.如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1､区域2､区域3､区域4､区域5､区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有__________种不同的涂色方案．【答案】96【解析】若仅用三种颜色涂色，则区域1，6同色，区域2，4同色，区域3，5同色，共有种涂法；若用四种颜色涂色，则区域1，6，区域2，4，区域3，5中有一组不同色，则有3种情况，先从四种颜色中取两种涂同色区，有种涂法，剩余两种涂在不同区域，有2种涂法，共有种涂法；故总的涂色方案有种，故答案为：96．14.双曲线的左､右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为是面积为的直角三角形，则双曲线的实半轴长为__________.【答案】【解析】由题可知，点在第四象限，.设.由，求得.因为，所以，求得，即.由正弦定理可得：.设，得.由，得，则，，又，所以.故答案：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，内角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）若，求的长.解：（1）依题意可得，得.因为，所以，则，因为，所以，所以（2）由题意得，解得（负根已舍去）.因为，所以，所以由余弦定理可得.16.某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时.（1）根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？单位：人每周的锻炼时间短跑成绩合计短跑成绩合格短跑成绩不合格每周的锻炼时间超过5小时每周的锻炼时间不超过5小时合计（2）正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率.参考公式与数据：，其中.0.010.0050.0016.6357.87910.828解：（1）表格如下：单位：人每周的锻炼时间短跑成绩合计短跑成绩合格短跑成绩不合格每周的锻炼时间超过5小时351045每周的锻炼时间不超过5小时253055合计6040100零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立.根据表中的数据，可得根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关.（2）由（1）的列联表可知，短跑成绩不合格的学生共有40名，其每周锻炼时间超过5小时的有10人，不超过5小时的有30人.从短跑成绩不合格的40名学生中随机抽取一名学生，记为甲，设事件“甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”，事件“甲每周的锻炼时间超过5小时”，“甲每周的锻炼时间不超过5小时”，用连列表中的数据计算频率并替代概率后得又已知，由全概率公式可得，所以学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格的概率为.17.已知椭圆过点为椭圆的左顶点，为坐标原点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设为椭圆上的点，线段交轴于点，线段交轴于点，且，求.解：（1）由题意得，将点及代入椭圆的方程得，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）从作轴的垂线，垂足分别为，由相似三角形可得，整理得，解得.方法一：因为，所以，即，即，所以，解得或.当时，；当时，.故或.方法二：设，由得，,化简得，令，则，所以，得或（舍去），即.因为，所以解得或，所以或当时，；当时，故或.18.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，求在上的最小值；（3）当时，讨论的零点个数.解：（1）当时，，定义域为，则，当时，，当时，，故的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）当时，，令，则，所以在上单调递增，所以当时，，所以在上单调递减，所以当时，.（3）令，得，即，所以.令，则，即①，当时，由，得在上恒成立，所以在上单调递减，故方程①的解的个数即为的零点个数.令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，当时，，且当时，.因为，所以.当，即时，方程①有两个不同的解，的零点个数为2；当或，即或时，方程①只有一个解，的零点个数为，即时，方程①无解，的零点个数为0.综上，当时，的零点个数为2；当或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为0.19.空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中均为常数，），为该平面的一个法向量.已知球的半径为4，点均在球的球面上，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.平面内的点在球面上，点在轴上的投影在轴的正半轴上，，过直线作球的截面，使得平面平面，设截面与球球面的交线为圆（为线段的中点）.（1）求点的坐标.（2）若平面，证明：平面平面.（3）已知点在平面内，设线段在平面内绕着点逆时针旋转弧度至，点在圆上，且，过作平面，垂足为点.①用表示点的坐标；②若，求点到平面距离的最大值；③若，当直线与平面所成的角最小时，求的值.（1）解：连接，过作，交于点.根据题意易得为等边三角形，所以，则，所以.（2）证明：连接，根据球的性质可得平面，则即为平面的一个法向量.因为，所以.平面的一个法向量为，因为，所以，故平面⊥平面.（3）解：①当时，过点作交于，过点作交于，过点作交于，过点作交于，过点作交于，则，，则，同理可得当时，.②因为点在平面内，所以，则平面的一个法向量为.，点到平面的距离，当，即时，取得最大值，最大值为.③易得平面的一个法向量为.因为，所以.设直线与平面所成的角为，则，令，则，则，当，即时，最小，即直线与平面所成的角最小.湖南省郴州市2025届高三下学期综合性模拟考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.马拉松爱好者小丽月份每个月的跑步里程（单位：公里）如下表所示，则小丽7月份每个月的跑步里程的分位数为（）月份7月8月9月10月11月12月跑步里程310254220210248300A.210公里 B.251公里 C.254公里 D.248公里【答案】C【解析】将小丽月份每个月的跑步里程从小到大排列：.因为6，所以小丽月份每个月的跑步里程的分位数为254公里.故选：C.2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，所以.故选：B.3.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据题意可得，所以所求切线的斜率，所以所求切线的方程为，即.故选：B.4.定义：，其中为向量的夹角.若，则（）A.8 B.16 C. D.【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.5.给定一个数列，记，则把数列称为的一阶差数列.若数列的一阶差数列的通项公式为，则（）A.556 B.557 C.292 D.291【答案】C【解析】根据题意，，则，即，又因为，故.故选：C.6.已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线相切于点.若，则圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】过点作垂直于直线，垂足为，则.因为，所以，得.因为是抛物线上一点，所以，得，则，故圆的标准方程为.故选：A.7已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，由，得，则，.故选：C.8.已知函数与其导函数的部分图象如图所示.设函数，则（）A.B.C.在上单调递减D.在处取得极大值【答案】B【解析】由图可知、的分布如图所示.易得当时，，所以在上单调递减，则，A错误；由，得.当时，，所以，所以在上单调递减，所以，即，所以，B正确；当时，，则，所以，在上单调递增，C错误；当时，，所以，因为在上单调递减，在上单调递增，所以，在处取得极小值，D错误.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列结论正确的是（）A.是奇函数B.是增函数C.不等式的解集为D.若函数恰有两个零点，则的取值范围为【答案】CD【解析】的大致图象如图所示：由图象可知：的图象不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误；在定义域内不单调，故B错误；若，则或，即不等式的解集为，故C正确；令，则，原题意等价于与有2个交点，则，所以的取值范围为，故D正确；故选：CD.10.已知某平面图形由如图所示的四个全等的等腰拼成，其中线段的中点均为点，且.若将该平面图形绕着直线旋转半周围成的几何体记为，将该平面图形绕着直线旋转半周围成的几何体记为，直线直线，则（）A.的体积为B.的表面积为C.经过两次旋转后，点所有的运动轨迹总长为D.经过两次旋转后，点所有的运动轨迹为两个半圆【答案】AD【解析】过点作直线，垂足为，过点作直线，垂足为.由题意易得，所以，所以该平面图形绕着直线旋转半周，点的运动轨迹是半径为3的半圆，其长度为，该平面图形绕着直线旋转半周，点的运动轨迹是半径为的半圆，其长度为，所以经过两次旋转后，点的运动轨迹总长为，C错误，D正确.为两个圆台挖去两个圆锥，的体积为，A正确.为两个大圆锥挖去两个小圆锥，表面积为，B错误.故选：AD11.设正实数满足，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于选项A：因为正实数满足，设，则，因为，即，整理可得得，将其看为关于的一元二次方程，则，解得，即，故A正确；对于选项D：因为，且，，则，当且仅当时，等号成立，所以，故D正确；对于选项B：因为，则，当且仅当时，等号成立，则，得，当且仅当时，等号成立，故B错误；对于选项C：因为，因为，则，，可得，当且仅当时，等号成立，即，可得，即，当且仅当时，等号成立所以，故C正确；故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数是关于的方程的一个根，则__________.【答案】【解析】由题意得，则，所以，所以.故答案为：.13.如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1､区域2､区域3､区域4､区域5､区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有__________种不同的涂色方案．【答案】96【解析】若仅用三种颜色涂色，则区域1，6同色，区域2，4同色，区域3，5同色，共有种涂法；若用四种颜色涂色，则区域1，6，区域2，4，区域3，5中有一组不同色，则有3种情况，先从四种颜色中取两种涂同色区，有种涂法，剩余两种涂在不同区域，有2种涂法，共有种涂法；故总的涂色方案有种，故答案为：96．14.双曲线的左､右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为是面积为的直角三角形，则双曲线的实半轴长为__________.【答案】【解析】由题可知，点在第四象限，.设.由，求得.因为，所以，求得，即.由正弦定理可得：.设，得.由，得，则，，又，所以.故答案：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，内角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）若，求的长.解：（1）依题意可得，得.因为，所以，则，因为，所以，所以（2）由题意得，解得（负根已舍去）.因为，所以，所以由余弦定理可得.16.某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时.（1）根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？单位：人每周的锻炼时间短跑成绩合计短跑成绩合格短跑成绩不合格每周的锻炼时间超过5小时每周的锻炼时间不超过5小时合计（2）正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率.参考公式与数据：，其中.0.010.0050.0016.6357.87910.828解：（1）表格如下：单位：人每周的锻炼时间短跑成绩合计短跑成绩合格短跑成绩不合格每周的锻炼时间超过5小时351045每周的锻炼时间不超过5小时253055合计6040100零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立.根据表中的数据，可得根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关.（2）由（1）的列联表可知，短跑成绩不合格的学生共有40名，其每周锻炼时间超过5小时的有10人，不超过5小时的有30人.从短跑成绩不合格的40名学生中随机抽取一名学生，记为甲，设事件“甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”，事件“甲每周的锻炼时间超过5小时”，“甲每周的锻炼时间不超过5小时”，用连列表中的数据计算频率并替代概率后得又已知，由全概率公式可得，所以学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格的概率为.17.已知椭圆过点为椭圆的左顶点，为坐标原点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设为椭圆上的点，线段交轴于点，线段交轴于点，且，求.解：（1）由题意得，将点及代入椭圆的方程得，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）从作轴的垂线，垂足分别为，由相似三角形可得，整理得，解得.方法一：因为，所以，即，即，所以，解得或.当时，；当时，.故或.方法二：设，由得，,化简得，令，则，所以，得或（舍去），即.因为，所以解得或，所以或当时，；当时，故