2025届江西省部分高中（上进联考）高三下学期4月联考检测（二模）数学试题 （解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省部分高中（上进联考）2025届高三下学期4月联考检测（二模）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】因为，所以所以故选：B.2.已知若直线AB经过点C，则t=（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】A【解析】因为直线经过点，所以，所以，解得.故选：A3.已知集合则（）A.{2} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}【答案】C【解析】因为且，所以或或或，解得或或或，所以，由，得所以，所以.故选：C.4.若函数在区间上单调递增，则a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据函数

在区间上单调递增，且单调递增，可得在区间上单调递增，所以.故选:D.5.“椭圆的焦点在y轴”的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若椭圆的焦点在y轴，则，解得.对于A，由能推出，反之不成立，符合题意；对于B，由不能推出，不符合题意；对于C，显然为充要条件，不符合题意；对于D，由不能推出，不符合题意；故选：A6.定义上进函数，其函数值为n的正约数的个数，例如，.若，已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，则必是的一个约数，若有其它约数必会成对出现，则为正奇数，所以.故选：B7.在三棱锥中，平面平面，，，，若点、、、均在球的表面上，则球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，，、平面，所以平面，因为平面，所以，取线段的中点，连接、，则，故为球的直径，故球的半径，所以球的体积为.故选：C8.已知函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令f(x)=0，得即令则(1-e)t-1=0，令则令在区间(ln(e-1)，+∞)上单调递增；令在区间上单调递减，又1，h(0)=h（1）=0，则h(x)=0有且只有两个根，分别为0，1.当a≥0时，函数f(x)恰有2个零点等价于的图象与直线y=0和y=1共有2个交点.令p(x)=lnx+ax，则则p(x)在区间(0，+∞)上单调递增，又x→0，p(x)→-∞，x→+∞，p(x)→+∞，即p(x)∈R，则y=ax+lnx的图象与直线y=0和y=1各有1个交点，符合题意.当a<0时，函数f(x)恰有2个零点，等价于函数y=lnx的图象与直线y=-ax，y=1-ax的图象共有2个交点，临界情况为两条直线分别与y=lnx的图象相切.如图1，当y=-ax与y=lnx相切，设对应切点为，因为则相应切线方程为如图2，当y=1-ax与y=lnx相切，设对应切点为，则相应切线方程为则综上故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品.现从某基地采摘的所有脐橙中随机抽取了100个脐橙，测量这些脐橙的果径(单位：mm)，并将所得果径数据分成以下几组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，所得数据如频率分布直方图所示(同组数据用该组区间的中点值作代表)，则（）A.a的值为0.030B.这100个脐橙果径的平均数为75C.这100个脐橙果径的第60百分位数为80D.这100个脐橙中果径不小于80mm的个数为40【答案】ACD【解析】由，得，故A正确；由频率分布直方图知，每组的频率依次为0.10，0.15，0.35，0.30，0.10，故这100个脐橙果径的平均数，故B错误；前三组的频率和为，因此这100个脐橙果径的第60百分位数为80，故C正确；果径不小于80mm的频率为，故这100个脐橙中果径不小于80mm的个数为，故D正确.故选：ACD.10.在平面直角坐标系中，曲线C由函数和的图象构成，则（）A.C关于直线对称B.C关于点对称C.直线被C截得的线段长的最大值为D.C围成的图形的面积大于【答案】AC【解析】画出C的图象，由图可知A正确，B错误；直线被C截的弦长为故C正确；当时，如图，4个阴影部分面积相等，区域②的面积小于区域①的面积，区域③的面积小于区域④的面积.利用割补法知曲线C在上围成的图形的面积小于以为宽、2为高的矩形ABCD的面积，即曲线C围成的图形的面积小于，故D错误.故选：AC.11.记为数列前项和，且现定义，()，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由得即又也满足上式，所以当时，由得故即所以数列为等比数列，首项公比故故故A错误；由，，所以故B正确；下面利用数学归纳法证明：成立.①当时，②假设当时，命题成立，即成立，那么当时，由，可得，即，∴，，，，将上式相加可得，又则，∴即当时命题也成立，故所以故C正确；当时，由易得成立，当时，由C选项知，∴，，，上式相加得：，又由上知，则，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则不等式的解集是________.【答案】【解析】由，在R上都单调递减，且都是奇函数，所以是单调递减的奇函数，故，则，即，所以不等式的解集为.故答案为：13.为吸引顾客，某大型超市开业期间租了含甲、乙在内的五个迎宾机器人，现将这五个机器人分别分配到一、二、三楼担任迎宾工作，若要求每个楼层至少分配一个机器人，一个机器人只能去一个楼层，且机器人甲、乙不在同一个楼层，则不同的分配方法种数为________.(用数字作答)【答案】114【解析】所有可能的分配方法数为：若一个楼层分配三个机器人，其余两个楼层分配一个，则总数为种，若一个楼层分配一个机器人，其它两个楼层每层分配两个机器人，则分配方法的总数为种，两者相加可得所有分配方法总数为种.甲、乙在同一个楼层的分配方法可计算如下：先从三个楼层中选一个楼层安排机器人甲、乙，有种分法，若剩下三个机器人分配到其余两个楼层，可以先在三个机器人中选择两个一组，再在两个楼层中选择一层楼分配这两个机器人，有种分法，若剩下的三个机器人分配到三个楼层，有种分法，故甲、乙在同一个楼层的不同的分配方法种数为种，所以甲、乙不在同一个楼层的不同分配方法数为种.故答案为：.14.已知点F为双曲线左焦点，C上A，B两点关于原点O对称(点A在第一象限)，且设△AFB的面积为S，若则C的离心率为________.【答案】【解析】解法一：设的右焦点为，如图，由条件知.由对称性知，设由条件得，解得，所以，所以C的离心率为解法二：设C的右焦点为F'，如图，由，得，所以，由对称性可知四边形为矩形，所以△AFB与的面积相等，且点A，B均在以为直径的圆O上，所以圆O的半径为c，设点A(x₁，y₁)，则，联立化简可得整理得，解得；由得到，即所以，可得，因为为圆O的直径，所以即整理得所以离心率故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知钝角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求B；（2）若，证明：是等腰三角形.（1）解：由和正弦定理，可得因为，所以，即得，即.又因是钝角三角形，，故，因，即.（2）证明：由，及余弦定理得：解得，又，解得，所以是等腰三角形.16.如图，在四棱台中，平面，底面是梯形，，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：在中，由余弦定理得所以所以,即，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面；（2）解：以D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，则，由得所以，设平面的法向量为，，令，得，所以，设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为17.DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024年末DeepSeek-R1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAIGPT-4.为提升工作效率，M公司引入DeepSeek，并对员工进行了DeepSeek培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训.（1）若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率；（2）为了激发员工的培训积极性，提升员工使用DeepSeek的能力，M公司在培训过后举办了一次DeepSeek知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩Z近似服从正态分布N(90，9)，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位)（3）参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为X元，求X的分布列与数学期望E(X).参考数据：若Z~N(μ，σ²)，则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973.解：（1）分别记甲、乙、丙培训合格为事件A，B，C，则甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率（2）由已知得μ的近似值为90，σ的近似值为3，所以而，所以估计这些员工中成绩超过93分的人数为317.（3）X的所有可能取值为0，800，1600，2400，所以X的分布列为x080016002400P18.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若，，求的取值范围；（3）证明：.（1）解：函数的定义域为，又当时，恒成立，所以在单调递减；当时，令，得，所以在上单调递增；令，得，所以在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在区间上单调递增.（2）解：不等式，等价于，等价于，解法一：设，，则，因为在区间上单调递减，且，所以当时，，即，当时，，即，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，所以，即的取值范围为；解法二：先证明两个不等式：和，由（1）知，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即；设，则，则当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增，故，故，由于，，且都是当且仅当时等号成立，则，所以，即的取值范围为.（3）证明：由（2）知时，，，即恒成立，所以，当且仅当时等号成立，令，，所以所以，所以.19.已知抛物线C：的焦点F关于直线对称的点为（1）求C的方程；（2）设原点为O，点P，Q均在C上.若直线PQ经过点，直线OP与直线相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）已知点，点G，H均在C上，若直线AG，AH的斜率互为相反数，且AG的斜率大于1，记点F到直线GH的距离为d，求的最大值.解：（1）由已知得，则线段的中点为，该中点在直线上，所以，解得，所以C的方程为（2）设直线PQ的方程为，且，联立方程组，整理得，可得，且，则又直线OP的方程为，令，得点M的纵坐标，又点Q在上的射影为R，所以点R的纵坐标，所以，所以为定值2.（3）设，与联立，得，所以用代替k可得，，因此直线的方程为，点到直线GH的距离为，因为，所以，令，由得，所以当且仅当，即时取等号.所以的最大值为江西省部分高中（上进联考）2025届高三下学期4月联考检测（二模）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】因为，所以所以故选：B.2.已知若直线AB经过点C，则t=（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】A【解析】因为直线经过点，所以，所以，解得.故选：A3.已知集合则（）A.{2} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}【答案】C【解析】因为且，所以或或或，解得或或或，所以，由，得所以，所以.故选：C.4.若函数在区间上单调递增，则a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据函数

在区间上单调递增，且单调递增，可得在区间上单调递增，所以.故选:D.5.“椭圆的焦点在y轴”的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若椭圆的焦点在y轴，则，解得.对于A，由能推出，反之不成立，符合题意；对于B，由不能推出，不符合题意；对于C，显然为充要条件，不符合题意；对于D，由不能推出，不符合题意；故选：A6.定义上进函数，其函数值为n的正约数的个数，例如，.若，已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，则必是的一个约数，若有其它约数必会成对出现，则为正奇数，所以.故选：B7.在三棱锥中，平面平面，，，，若点、、、均在球的表面上，则球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，，、平面，所以平面，因为平面，所以，取线段的中点，连接、，则，故为球的直径，故球的半径，所以球的体积为.故选：C8.已知函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令f(x)=0，得即令则(1-e)t-1=0，令则令在区间(ln(e-1)，+∞)上单调递增；令在区间上单调递减，又1，h(0)=h（1）=0，则h(x)=0有且只有两个根，分别为0，1.当a≥0时，函数f(x)恰有2个零点等价于的图象与直线y=0和y=1共有2个交点.令p(x)=lnx+ax，则则p(x)在区间(0，+∞)上单调递增，又x→0，p(x)→-∞，x→+∞，p(x)→+∞，即p(x)∈R，则y=ax+lnx的图象与直线y=0和y=1各有1个交点，符合题意.当a<0时，函数f(x)恰有2个零点，等价于函数y=lnx的图象与直线y=-ax，y=1-ax的图象共有2个交点，临界情况为两条直线分别与y=lnx的图象相切.如图1，当y=-ax与y=lnx相切，设对应切点为，因为则相应切线方程为如图2，当y=1-ax与y=lnx相切，设对应切点为，则相应切线方程为则综上故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品.现从某基地采摘的所有脐橙中随机抽取了100个脐橙，测量这些脐橙的果径(单位：mm)，并将所得果径数据分成以下几组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，所得数据如频率分布直方图所示(同组数据用该组区间的中点值作代表)，则（）A.a的值为0.030B.这100个脐橙果径的平均数为75C.这100个脐橙果径的第60百分位数为80D.这100个脐橙中果径不小于80mm的个数为40【答案】ACD【解析】由，得，故A正确；由频率分布直方图知，每组的频率依次为0.10，0.15，0.35，0.30，0.10，故这100个脐橙果径的平均数，故B错误；前三组的频率和为，因此这100个脐橙果径的第60百分位数为80，故C正确；果径不小于80mm的频率为，故这100个脐橙中果径不小于80mm的个数为，故D正确.故选：ACD.10.在平面直角坐标系中，曲线C由函数和的图象构成，则（）A.C关于直线对称B.C关于点对称C.直线被C截得的线段长的最大值为D.C围成的图形的面积大于【答案】AC【解析】画出C的图象，由图可知A正确，B错误；直线被C截的弦长为故C正确；当时，如图，4个阴影部分面积相等，区域②的面积小于区域①的面积，区域③的面积小于区域④的面积.利用割补法知曲线C在上围成的图形的面积小于以为宽、2为高的矩形ABCD的面积，即曲线C围成的图形的面积小于，故D错误.故选：AC.11.记为数列前项和，且现定义，()，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由得即又也满足上式，所以当时，由得故即所以数列为等比数列，首项公比故故故A错误；由，，所以故B正确；下面利用数学归纳法证明：成立.①当时，②假设当时，命题成立，即成立，那么当时，由，可得，即，∴，，，，将上式相加可得，又则，∴即当时命题也成立，故所以故C正确；当时，由易得成立，当时，由C选项知，∴，，，上式相加得：，又由上知，则，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则不等式的解集是________.【答案】【解析】由，在R上都单调递减，且都是奇函数，所以是单调递减的奇函数，故，则，即，所以不等式的解集为.故答案为：13.为吸引顾客，某大型超市开业期间租了含甲、乙在内的五个迎宾机器人，现将这五个机器人分别分配到一、二、三楼担任迎宾工作，若要求每个楼层至少分配一个机器人，一个机器人只能去一个楼层，且机器人甲、乙不在同一个楼层，则不同的分配方法种数为________.(用数字作答)【答案】114【解析】所有可能的分配方法数为：若一个楼层分配三个机器人，其余两个楼层分配一个，则总数为种，若一个楼层分配一个机器人，其它两个楼层每层分配两个机器人，则分配方法的总数为种，两者相加可得所有分配方法总数为种.甲、乙在同一个楼层的分配方法可计算如下：先从三个楼层中选一个楼层安排机器人甲、乙，有种分法，若剩下三个机器人分配到其余两个楼层，可以先在三个机器人中选择两个一组，再在两个楼层中选择一层楼分配这两个机器人，有种分法，若剩下的三个机器人分配到三个楼层，有种分法，故甲、乙在同一个楼层的不同的分配方法种数为种，所以甲、乙不在同一个楼层的不同分配方法数为种.故答案为：.14.已知点F为双曲线左焦点，C上A，B两点关于原点O对称(点A在第一象限)，且设△AFB的面积为S，若则C的离心率为________.【答案】【解析】解法一：设的右焦点为，如图，由条件知.由对称性知，设由条件得，解得，所以，所以C的离心率为解法二：设C的右焦点为F'，如图，由，得，所以，由对称性可知四边形为矩形，所以△AFB与的面积相等，且点A，B均在以为直径的圆O上，所以圆O的半径为c，设点A(x₁，y₁)，则，联立化简可得整理得，解得；由得到，即所以，可得，因为为圆O的直径，所以即整理得所以离心率故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知钝角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求B；（2）若，证明：是等腰三角形.（1）解：由和正弦定理，可得因为，所以，即得，即.又因是钝角三角形，，故，因，即.（2）证明：由，及余弦定理得：解得，又，解得，所以是等腰三角形.16.如图，在四棱台中，平面，底面是梯形，，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：在中，由余弦定理得所以所以,即，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面；（2）解：以D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，则，由得所以，设平面的法向量为，，令，得，所以，设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为17.DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024年末DeepSeek-R1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAIGPT-4.为提升工作效率，M公司引入DeepSeek，并对员工进行了DeepSeek培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训.（1）若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率；（2）为了激发员工的培训积极性，提升员工使用DeepSeek的能力，M公司在培训过后举办了一次DeepSeek知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩Z近似服从正态分布N(90，9)，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位)（3）参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为X元，求X的分布列与数学期望E(X).参考数据：若Z~