2025届江西省新八校高三下学期第二次联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省新八校2025届高三下学期第二次联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，，而，则，又，所以.故选：B2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，则，所以.故选：C3.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】因为，，所以，，又，所以，解得.故选：B4.已知为等差数列，其前项和为，若，则下列各式的值不能确定的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于A，，则，A不是；对于B，设等差数列的公差为，，B不是；对于D，，则，D不是；对于C，，而值不确定，因此不确定，C是.故选：C5.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以为奇函数，由恒成立，即恒成立，所以对于任意恒成立，当时；当时，又，当且仅当，即时取等号，所以，所以；综上可得实数的取值范围为.故选：A6.甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有数据一定都不小于20的同学人数是（）甲同学：中位数为22，众数为20乙同学：中位数为25，平均数为22丙同学：第40百分位数为22，极差为2丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】甲同学的5个数据的中位数为22，众数为20，则数据中必有20，20，22，余下两个数据都大于22，且不相等，所有数据一定都不小于20；乙同学的5个数据的中位数为25，平均数为22，当5个数据为17，18，25，25，25时，符合题意，而有小于20的数，不满足所有数据一定都不小于20；丙同学的5个数据的第40百分位数为22，极差为2，则5个数据由小到大排列后第二和第三个数只可能是22，22或21，23，由极差为2知，所有数据一定都不小于20；丁同学的5个数据中有一个数据为30，平均数为24，设其余4个数据依次为，则方差，若中有小于20的数，，不符合题意，因此均不小于20，5个数21，21，24，24，30可满足条件，所以可以判断所有数据一定都不小于20的同学为甲、丙、丁三位同学.故选：C7.过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为，连接、，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，由，则，不妨设在双曲线的右支上，设，，又，由双曲线的定义可得，在中由余弦定理可得，，即，解得，所以.故选：D8.已知正方体的棱长为1，点在正方体内（包含表面）运动，若，则动点的轨迹所形成区域的面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在棱长为1的正方体中，，则，而，由数量积的几何意义知，在上投影的数量为，因此点在与垂直的平面内，且点到该平面的距离为，在正方体中易证平面，点到平面的距离为，取的中点，易得平面平面，则平面，且点到平面的距离为，所以点的轨迹所形成区域为等边，面积为.故选：B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数（，为常数），且函数为奇函数，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期为B.C.与的图象有相同的对称轴D.当时，方程有且仅有4个实根【答案】ACD【解析】对于B，由函数为奇函数，得函数图象的一个对称中心为，则，解得，B错误；对于A，，的最小正周期为，A正确；对于C，，与的图象有相同的对称轴，C正确；对于D，方程在上的实根个数即为与图象交点个数，在同一坐标系内作出函数与的图象，如图，观察图象知，函数与在上的图象恰有4个交点，D正确.故选：ACD10.已知函数的定义域为，，且，，则下列结论一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】因，所以，所以，即，所以，则，故A正确；设，，则，，，，所以，，，，由，所以，即，由，则，即，所以，所以，故B错误；，故C正确；，无法判断是否大于，故D不一定正确；故选：AC.11.某同学在平面直角坐标系中画出了一朵四叶草图案，图案的边界线条可看作曲线，已知曲线上的点到坐标原点的距离的立方等于该点到两坐标轴的距离乘积，对于曲线，以下结论正确的是（）A.曲线是中心对称图形B曲线有且只有两条对称轴C.曲线上两点之间的最大距离为1D.曲线上的点的纵坐标的范围为【答案】ACD【解析】设曲线上任意一点，依题意，，即，对于A，由，得点在曲线上，则曲线是中心对称图形，A正确；对于B，由，得曲线关于轴对称，同理曲线关于对称，用换，且换，方程不变，则曲线关于轴对称，B错误；对于C，曲线上点到原点距离，由，解得，当且仅当时取等号，则，由对称性得曲线上两点之间的最大距离为1，C正确；对于D，由，得，令，则关于的方程有非负实根，若，则；若，则,令，求导得，当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，于是，解得，即，且，综上，又曲线是连续的，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边关于轴对称，若，则___________.【答案】【解析】因为角、的终边关于轴对称，所以，所以.故答案为：13.某公司举行抽奖活动，在箱子里装有个红球和4个黑球，这些小球除颜色外完全相同.在一次抽奖过程中，某员工从中一次性抽取两个小球，抽出两个小球颜色均为红色视为中奖，其余情况均未中奖.假设在有放回地连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率为，则当取到最大值时的值为_________.【答案】【解析】依题意，单次抽奖中奖的概率，则连续次抽奖中恰好中奖一次的概率，令，则，当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，因此当取最大值时，，而，解得，所以当取到最大值时的值为.故答案为：14.已知数列满足：，.现依次写出的前若干项，若在第项恰好第三次出现，则所有可能的取值集合为___________.【答案】【解析】依题意可得，只要第一次出现，则后面必进入循环圈，若第项恰好第三次出现，则第项第二次出现，第项恰好第一次出现，若，由，解得；当时，由，解得，当时，由，解得或（舍去），当时，由，解得，当时，由，解得或，当时，由，解得，当时，由，解得，当时，由，解得或，当时，由，解得或，综上可得所有可能的取值集合为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，.（1）求角；（2）若边上的中线长为5，求的面积.解：（1）在中，由及余弦定理，得，整理得，因此，而，所以.（2）令边上的中线为，则，又，则，由（1）知，于是，所以的面积.16.如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，且.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：因为是平行四边形，所以，又，，，所以，解得（负值已舍去），所以，即，所以，又，即，又，平面，所以平面，又是平行四边形，所以，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：因为，设，则为的中点，连接，则，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，在平面中，作交于点，而平面，平面，所以，又，平面，所以平面，作，交于点，连接，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以即为平面与平面夹角，又，在中，由等面积法可得，所以，则，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.已知椭圆经过点和点.（1）求椭圆的方程；（2）设点，若在椭圆上存在不关于长轴对称的两点，满足，求实数的取值范围.解：（1）依题意，，解得，所以椭圆的方程为.（2）依题意设，且，由，得，则(*)，因，，则，代入(*)式，可得：，化简得，因，得，即得，故实数的取值范围是.18.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：时，；（3）判断函数的零点个数.（1）解：函数，求导得，则，而，所以所求切线方程为，即.（2）证明：不等式，令函数，即，而，求导得，则函数在上单调递增，，所以.（3）解：函数的零点个数，即方程根的个数，而时，方程不成立，则原函数零点个数即为方程根的个数，令，原函数零点个数即为函数的零点个数，当时，，而，则，因此函数在时无零点；当时，，函数在上单调递增，，因此函数在时只有一个零点0；当时，令，求导得，显然函数在上单调递增，而，，则存在使得，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，又，则存在，使得，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，而，因此函数在上只有一个零点；当时，，即，因此函数在时无零点，所以函数有2个零点，即函数的零点个数为2.19.通过抛掷质地均匀的硬币产生随机数列，具体产生方式为：若第次抛掷的结果为反面朝上，则；结果为正面朝上，则.所有总项数为项的数列组成集合.（1）已知，且所有项的和为，求的概率；（2）可用软件产生类似的随机数列，也满足.若“”的概率为，“”的概率为，“且”的概率为，求“且”的概率；（3）在集合中任取两个不同元素、.记.均值为，证明：.（1）解：由题意满足的数列有个，其中满足，即中满足有2项为1，10项为0的数列有个，所以.（2）解：记事件“”，“”，由题意得，求＂且＂概率即求的值，法一：，又，，所以＂且＂的概率为；法二:，所以＂且＂的概率为.（3）证明：因为数列是从集合中任意取出的两个不同数列，所以的可能取值为：对应的取值为：，当时，数列对应位置的项中有项取值不同，有项取值相同；从项中选择取值不同的项位置，有种情况，和在这项的任一位置数字不同，每个位置都有2种情况，比如第个位置可以是，也可以是，共有种情况；其余项，两者均在同一位置数字相同，每个位置都有两种情况，共有种情况，由于，所以此问题为组合问题，故所有的情况会重复1次，故共有种情况，又因为集合中元素的个数共有个，所以，所以，的分布列为：，同理，，时，，当时，该式也成立，，.江西省新八校2025届高三下学期第二次联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，，而，则，又，所以.故选：B2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，则，所以.故选：C3.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】因为，，所以，，又，所以，解得.故选：B4.已知为等差数列，其前项和为，若，则下列各式的值不能确定的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于A，，则，A不是；对于B，设等差数列的公差为，，B不是；对于D，，则，D不是；对于C，，而值不确定，因此不确定，C是.故选：C5.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以为奇函数，由恒成立，即恒成立，所以对于任意恒成立，当时；当时，又，当且仅当，即时取等号，所以，所以；综上可得实数的取值范围为.故选：A6.甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有数据一定都不小于20的同学人数是（）甲同学：中位数为22，众数为20乙同学：中位数为25，平均数为22丙同学：第40百分位数为22，极差为2丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】甲同学的5个数据的中位数为22，众数为20，则数据中必有20，20，22，余下两个数据都大于22，且不相等，所有数据一定都不小于20；乙同学的5个数据的中位数为25，平均数为22，当5个数据为17，18，25，25，25时，符合题意，而有小于20的数，不满足所有数据一定都不小于20；丙同学的5个数据的第40百分位数为22，极差为2，则5个数据由小到大排列后第二和第三个数只可能是22，22或21，23，由极差为2知，所有数据一定都不小于20；丁同学的5个数据中有一个数据为30，平均数为24，设其余4个数据依次为，则方差，若中有小于20的数，，不符合题意，因此均不小于20，5个数21，21，24，24，30可满足条件，所以可以判断所有数据一定都不小于20的同学为甲、丙、丁三位同学.故选：C7.过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为，连接、，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，由，则，不妨设在双曲线的右支上，设，，又，由双曲线的定义可得，在中由余弦定理可得，，即，解得，所以.故选：D8.已知正方体的棱长为1，点在正方体内（包含表面）运动，若，则动点的轨迹所形成区域的面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在棱长为1的正方体中，，则，而，由数量积的几何意义知，在上投影的数量为，因此点在与垂直的平面内，且点到该平面的距离为，在正方体中易证平面，点到平面的距离为，取的中点，易得平面平面，则平面，且点到平面的距离为，所以点的轨迹所形成区域为等边，面积为.故选：B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数（，为常数），且函数为奇函数，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期为B.C.与的图象有相同的对称轴D.当时，方程有且仅有4个实根【答案】ACD【解析】对于B，由函数为奇函数，得函数图象的一个对称中心为，则，解得，B错误；对于A，，的最小正周期为，A正确；对于C，，与的图象有相同的对称轴，C正确；对于D，方程在上的实根个数即为与图象交点个数，在同一坐标系内作出函数与的图象，如图，观察图象知，函数与在上的图象恰有4个交点，D正确.故选：ACD10.已知函数的定义域为，，且，，则下列结论一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】因，所以，所以，即，所以，则，故A正确；设，，则，，，，所以，，，，由，所以，即，由，则，即，所以，所以，故B错误；，故C正确；，无法判断是否大于，故D不一定正确；故选：AC.11.某同学在平面直角坐标系中画出了一朵四叶草图案，图案的边界线条可看作曲线，已知曲线上的点到坐标原点的距离的立方等于该点到两坐标轴的距离乘积，对于曲线，以下结论正确的是（）A.曲线是中心对称图形B曲线有且只有两条对称轴C.曲线上两点之间的最大距离为1D.曲线上的点的纵坐标的范围为【答案】ACD【解析】设曲线上任意一点，依题意，，即，对于A，由，得点在曲线上，则曲线是中心对称图形，A正确；对于B，由，得曲线关于轴对称，同理曲线关于对称，用换，且换，方程不变，则曲线关于轴对称，B错误；对于C，曲线上点到原点距离，由，解得，当且仅当时取等号，则，由对称性得曲线上两点之间的最大距离为1，C正确；对于D，由，得，令，则关于的方程有非负实根，若，则；若，则,令，求导得，当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，于是，解得，即，且，综上，又曲线是连续的，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边关于轴对称，若，则___________.【答案】【解析】因为角、的终边关于轴对称，所以，所以.故答案为：13.某公司举行抽奖活动，在箱子里装有个红球和4个黑球，这些小球除颜色外完全相同.在一次抽奖过程中，某员工从中一次性抽取两个小球，抽出两个小球颜色均为红色视为中奖，其余情况均未中奖.假设在有放回地连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率为，则当取到最大值时的值为_________.【答案】【解析】依题意，单次抽奖中奖的概率，则连续次抽奖中恰好中奖一次的概率，令，则，当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，因此当取最大值时，，而，解得，所以当取到最大值时的值为.故答案为：14.已知数列满足：，.现依次写出的前若干项，若在第项恰好第三次出现，则所有可能的取值集合为___________.【答案】【解析】依题意可得，只要第一次出现，则后面必进入循环圈，若第项恰好第三次出现，则第项第二次出现，第项恰好第一次出现，若，由，解得；当时，由，解得，当时，由，解得或（舍去），当时，由，解得，当时，由，解得或，当时，由，解得，当时，由，解得，当时，由，解得或，当时，由，解得或，综上可得所有可能的取值集合为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，.（1）求角；（2）若边上的中线长为5，求的面积.解：（1）在中，由及余弦定理，得，整理得，因此，而，所以.（2）令边上的中线为，则，又，则，由（1）知，于是，所以的面积.16.如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，且.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：因为是平行四边形，所以，又，，，所以，解得（负值已舍去），所以，即，所以，又，即，又，平面，所以平面，又是平行四边形，所以，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：因为，设，则为的中点，连接，则，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，在平面中，作交于点，而平面，平面，所以，又，平面，所以平面，作，交于点，连接，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以即为平面与平面夹角，又，在中，由等面积法可得，所以，则，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.已知椭圆经过点和点.（1）求椭圆的方程；（2）设点，若在椭圆上存在不关于长轴对称的两点，满足，求实数的取值范围.解：（1）依题意，，解得，所以椭圆的方程为.（2）依题意设，且，由，得，则(*)，因，，则，代入(*)式，可得：，化简得，因，得，即得，故实数的取值范围是.18.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方