专题13 等边三角形（原卷版）

数学七年级升八年级暑假预习专题训练专题十三等边三角形【专题导航】目录【考点一等边三角形性质】...........................................1【考点二等边三角形判定】...........................................4【考点三等边三角形判定性质综合应用】..............................6【聚焦考点1】等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．【典例剖析1】【典例1-1】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，若∠BEC＝90°，则∠ACE的度数（）A．60° B．45° C．30° D．15°【典例1-2】如图，在等边三角形中，是边上的高，延长至点，使，则的长为．【典例1-3】如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．针对训练1【变式1-1】如图，点在等边的边的延长线上，点在线段上，连接，，若，且，那么的度数为A． B． C． D．【变式1-2】如图，是等边三角形，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，且，若，则的长为A．3 B．4 C．5 D．6【变式1-3】如图，△ABC中，∠A＜60°，AB＝AC，D是△ABC外一点，∠ACD＝∠ABD＝60°，用等式表示线段BD、CD、AC的数量关系，并证明．【能力提升1】【提升1-1】如图，是等边三角形，两个锐角都是的三角尺的一条直角边在上，则的度数为（） B． C． D．【提升1-2】如图，等边中，，点是边上一点，则的最小值是A．3 B．4 C．5 D．【提升1-3】如图．已知等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CD＝CE，M是BE的中点．（1）求∠E的度数；（2）求证：DM⊥BC．【聚焦考点2】等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．【典例剖析2】【典例2-1】下列对三角形的判断，错误的是A．若，则是直角三角形 B．若，，则是等边三角形 C．若，，则是等腰三角形 D．若，，则【典例2-2】如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（）．A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形 D．不等边三角形【典例2-3】小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”并进行了证明．（1）请根据以上命题和图形写出已知和求证：已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC中点，求证：△ABC是等腰三角形．（2）请证明以上命题．针对训练2【变式2-1】下列推理中，不能判断是等边三角形的是A． B．， C．， D．，且【变式2-2】如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形．【变式2-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．【能力提升2】【提升2-1】如图，在中，是边上的高，平分交边于，两线相交于点．（1）若，，求的大小；（2）若是的中点，，求证：是等边三角形．【提升2-2】．如图，已知和均为等边三角形，且点、、在同一条直线上，连接、，交和分别于、点，连接．（1）请说出的理由；（2）试说出的理由；（3）试猜想：是什么特殊的三角形，并加以说明．【提升2-2】如图，△ABC≌△ADE，∠BAD＝60°．求证：△ACE是等边三角形．【聚焦考点3】等边三角形的判定与性质等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．【典例剖析3】【典例3-1】如图所示，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BA边向点A以5cm/s的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为1s．（1）你能用含的式子表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒后，△PBQ第一次为等边三角形？（3）若P，Q两点分别从C，B两点同时出发，并且按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【典例3-2】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BE＝AF．【典例3-3】小明遇到这样一个问题：△ABC是等边三角形，点D在射线BC上，且满足∠ADE＝60°，DE交等边△ABC外角平分线CE于点E，试探究AD与DE的数量关系．（1）（初步探究）小明发现，当点D为BC的中点时，如图①，过点D作DF∥AC，交AB于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够得到线段AD与DE的数量关系，请直接写出结论；（2）（类比探究）当点D是线段BC上（不与点B，C重合）任意一点时，其他条件不变，如图②，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）（拓展应用）当点D在BC的延长线上时，满足CD＝BC，其他条件不变，连接AE，请在图③中补全图形，并直接写出∠AED的大小．针对训练3【变式3-1】如图，、、三点在同一直线上，分别以、为边，在直线的同侧作等边和等边，连接交于点，连接交于点，连接得．（1）求证：．（2）试判断的形状，并说明理由．【变式3-2】如图，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿线段BC方向，在线段BC上运动．在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在线段BC上方，作等边△AMN，连结CN．（1）当∠BAM＝°时，AB＝2BM；（2）请添加一个条件：▲，使得△ABC为等边三角形；当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM＝AC．【变式3-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，BD平分∠ABC．（1）求∠A、∠ABC的度数；（2）连接CE，且CE=12AB，求证：△【能力提升3】【提升3-1】在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC边所在的直线上，点E在射线AC上，且始终保持∠ADE＝∠AED．（1）如图1，若∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；（2）如图2，若∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，求∠BAD的度数；（3）如图3，当点D在BC边的延长线上时，猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【提升3-2】如图，点是等边内一点，，．将绕点按顺时针方向旋转得，连接．（1）求证：是等边三角形；（2）探究：当为多少度时，是等腰三角形？【提升3-3】如图，在Rt△ABC中，