湖北省随州市部分高中联考协作体2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题（解析版）

2024年秋季湖北省随州市部分高中联考协作体12月月考高三数学试题本试卷共4页，全卷满分150分，考试用时120分钟.考试时间：2024年12月21日8:00——10:00★祝考试顺利★考试范围：高中全部高考内容注意事项：1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置.2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4、考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则不等式的解集为（）A.B.或C.或D.【答案】D【解析】【分析】解二次不等式，由取值范围得到两根大小关系，然后得到不等式解集.【详解】当时，，所以不等式的解集为.故选：D.2.（）AB.C.D.1【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式计算可得.【详解】解：.故选：C3.已知，，均为锐角，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由同角三角函数平方关系可得，由，利用两角和差余弦公式可求得，由此可得.【详解】均为锐角，即，，，又，，又，.故选：C.4.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，若绕点逆时针旋转得到向量，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由坐标可确定其与轴夹角，进而得到与轴夹角，根据模长相等可得到坐标.【详解】与轴夹角为与轴夹角为又故选：【点睛】本题考查向量旋转后坐标的求解问题，关键是能够确定向量与轴的夹角的大小，进而根据模长不变求得向量.5.如图，已知边长为2的正方体，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值为A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】连接交于,连接,由于,所以平面,所以角为所求线面角,其正切值为.故选.6.已知椭圆，则下列结论正确的是（）A.长轴长为B.焦距为C.短轴长为D.离心率为【答案】D【解析】【分析】将椭圆方程写出标准方程后得到的值，从而知道长轴长、短轴长、焦距和离心率的值，从而得出答案.【详解】把椭圆方程化为标准方程可得=1，所以，，，则长轴长，焦距，短轴长，离心率.故选：D.7.10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将数据从小到大重新排列（也可以是从大到小），计算出的值即可比较大小.【详解】解：重新排列得：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17.则有：．所以故选：D.8.甲、乙两羽毛球运动员之间的训练，要进行三场比赛，且这三场比赛可看做三次伯努利试验，若甲至少取胜一次的概率为，则甲恰好取胜一次的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设每次甲胜的概率为p，根据甲至少取胜一次的概率为，结合对立事件的概率计算求出p的值，继而利用二项分布的概率公式，即可求得答案.【详解】假设甲取胜为事件A，设每次甲胜的概率为p，由题意得，事件A发生的次数，则有，得，则事件A恰好发生一次的概率为，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数有两个零点，，且，则下列说法正确的是A.B.C.D.有极小值点，且【答案】ABD【解析】【分析】求得函数的导数，得到函数的单调区间，利用函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数，则，当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意；当时，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，因为函数有两个零点且，则，且，所以，解得，所以A项正确；又由，取，则，所以，所以，所以B正确；由，则，但不能确定，所以C不正确；由函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值点为，且，所以D正确；故选ABD.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性与极值，以及研究函数的零点问题，其中解答中熟记导数在函数的应用，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.10.已知向量满足，且，则（）A.B.C.与的夹角为D.与的夹角为【答案】AC【解析】【分析】由两边平方，可得，再由垂直和向量夹角公式逐项判断.【详解】因为，且|，所以，则，则，故A正确；因为，所以与不垂直，故B错误；，又向量夹角，所以a与b的夹角为，故C正确，D错误.故选：AC.11.下列说法正确的有（）A.在经验回归方程中，当解释变量x每增加1时，响应变量y平均减少2.3B.在经验回归方程中，相对于样本点的残差为–0.25C.在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好D.若两个变量的决定系数R²越大，表示残差平方和越小，即拟合效果越好【答案】BCD【解析】【分析】根据经验回归方程的解析式即可判断A；根据回归方程计算，由残差定义即可求得结果可判断B；根据残差图的分布情况分析可判断C；根据决定系数的意义即可判断D.【详解】对于A，因为，当解释变量x每增加1时，响应变量y平均减少，故A错误；对于B，因为，，所以相对于样本点的残差为，故B正确；对于C，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故C正确；对于D，由决定系数的意义可知，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分12.函数单调减区间为__________.【答案】【解析】【分析】先求出函数的定义域，分离常数后利用“同增异减”可得函数的单调区间.【详解】的定义域为，又，令.当时，为增函数，而为减函数，故在为减函数.当x∈−1,+∞时，为增函数，而为减函数，故在为减函数.综上，的单调减区间为.故答案为：.【点睛】本题考查复合函数的单调区间，可先令，利用这两个函数的单调性结合“同增异减”的原则来判断的单调性，本题为基础题.13.数列满足：，，则__________.【答案】【解析】【分析】由题意，把转化为，可判断出为等比数列，求出的通项公式，即可得到.【详解】因为，所以，所以，又因为，所以为首项为1，公比为3的等比数列，所以，所以.故答案为：.【点睛】数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由Sn求an；④累加（乘）法；⑤由递推公式求通项公式；14.设为直线上的任一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点_____________.【答案】【解析】【分析】设点坐标，由切线的性质得到点，，在以线段为直径的圆上，然后写出圆方程，由两个圆公共弦的求法求得直线方程，再由直线方程得到定点的坐标.【详解】因为为直线上的任一点，所以设，由于圆的两条切线，，切点分别为切，，所以，，则点，在以线段为直径的圆上，即线段是圆和圆的公共弦，则圆心的坐标是，且半径的平方是，所以圆的方程是，又，两式相减，得，即公共弦所在的直线方程是，即，由，解得，所以直线AB恒过定点.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用圆的切线的性质分析得点，在以线段为直径的圆上，从而得解.四、解答题：本题共5小题，共77分15.对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”；设函数的不动点集合为A，稳定点集合为B，（1）求证:;（2）若函数单调递增，则.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由新定义验证“不动点”一定是“稳定点”即可；（2）由新定义验证当函数单调递增时，“稳定点”一定是“不动点”，再结合（1）中结论得到两个集合相等.【小问1详解】不妨设，则由题知，则，故，所以.【小问2详解】设，则，因为函数单调递增，所以存在唯一，使，，若，则，得到，与矛盾;若，则，得到，与矛盾，故必有，所以，即，即又由（1）知，所以，即当函数单调递增时，.16.已知函数.（1）若函数为增函数，求实数的取值范围；（2）求证：当时，.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意恒成立，参变分离可得在R上恒成立，再根据余弦函数的性质计算可得；（2）由（1）可知当时恒成立，所以即证在上恒成立，令，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得证；【小问1详解】解：因为，所以，由函数为增函数，则恒成立，即在R上恒成立，，即实数的取值范围是【小问2详解】证明：由（1）知当时，为增函数，当时，，要证当时，，只需证当时，，即证在上恒成立，设，则，令解得，在上单调递减，在上单调递增，，成立，故当时，.17.已知正项数列，其前n项和满足.（1）求证：数列是等差数列，并求出的表达式；（2）数列中是否存在连续三项，，，使得，，构成等差数列？请说明理由.【答案】（1）证明见解析，；（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据给定递推公式，结合“当时，”建立与的关系即可推理作答.（2）由（1）求出，利用反证法导出矛盾，推理作答.【小问1详解】依题意，正项数列中，，即，当时，，即，整理得，又，因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则，因为是正项数列，即，所以.【小问2详解】不存在，当时，，又，即，都有，则，假设存在满足要求的连续三项，使得构成等差数列，则，即，两边同时平方，得，即，整理得：，即，显然不成立，因此假设是错误的，所以数列中不存在满足要求的连续三项.18.如图，在长方体中，，为的中点.（1）求证：.（2）在棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的长；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，证明即可；（2）设，求出平面的一个法向量，满足即可求出，即可得出.【详解】（1）证明：以为原点，，，方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）.设，则，，，，，故，，，.因为，所以.（2）假设棱上存在一点，使得平面，此时.又设平面的法向量，所以，得，取，得平面的一个法向量.要使平面，只要，有，解得.又平面，所以存在点，满足平面，此时.【点睛】利用向量解决位置关系的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19.为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）（1）求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；（2）求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；（3）若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析