高中数学选修4-11.2平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定与性质

平行线分线段成比例定理6/26/2025复习1、平行线等分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.6/26/2025l2l3l1l3ll

2、推论平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.ABCDEl2ABCDEl1ll

6/26/2025例1如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2,BC=8.求BF和CF的长.FACB分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分别列出比例式求解.解∵DE//BC∵DF//ACDE6/26/2025例2如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD.

求证:AD是AB和AF的比例中项.FEBACD分析:分别在△ABC及△ADC中运用平行线分线段成比例定理的推论证明∴AD2=AB

AF,即AD是AB和AF的比例中项6/26/2025如图，有一块形状为直角梯形的草地，周边均为水泥直道，两个拐角A、B处均为直角，草地中间另有一条水泥直道EF垂直于AB，垂足为E.已知AE长a米，EB长b米，DF长c米.求CF.ABCDabc?EF6/26/2025例3、用平行于三角形一边且和其它两边相交的直线截三角形,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.FEBACD已知:如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、EDE//BCEF//ABDE=BF6/26/2025练习:三角形内角平分线分对边成两线段,这两线段和相邻的两边成比例.ECBDA3421已知：AD是△ABC中∠A的平分线，求证：证明：作CE//DA交BA的延长线于E.由平行线分线段成比例定理知∵CE//DA，∴∠１＝∠４，∠２＝∠３．又∵∠１＝∠２（已知），∴∠３＝∠４，∴AC=AE.F6/26/2025如图,直线l1,l2被三个平行平面,,所截,直线l1与它们的交点分别为A,B,C,直线l2分别为D,E,F探究6/26/2025一、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.（核心要能纯熟地找出对应线段）小结二、要熟悉该定理的几个基本图形ABCDEFABCDEF6/26/2025三、注意该定理在三角形中的应用6/26/2025作业1、已知AB、CD为梯形ABCD的底，对角线AC、BD的交点为O，且AB=8，CD=6,BD=15，求OB、OD的长。2、如图，在△ABC中，作平行于BC的直线交AB于D，交AC于E，如果BE和CD相交于O，AO和DE相交于F，AO的延长线和BC交于G。证明：（1）（2）BG=GC6/26/20254、如图，梯形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，EF∥AD，假设EF作上下平行移动，3、如图，A、B两点间隔一个湖泊，因而A、B两点间的距离无法直接测量，请你设计一个间接测量AB长度的方案，并说明所设计方案的合理性。6/26/20251.3相似三角形的鉴定及性质第一讲相似三角形的鉴定及有关性质相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似的系数).复习回想BACA

C

B

6/26/2025鉴定两个三角形相似的简朴办法(1)两角对应相等,两三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;(3)三边对应成比例,两三角形相似.BACA

C

B

如何

证明？6/26/2025EBACD∠A=∠A△ADE∽△ABCDE//BC∠ADE=∠B∠AED=∠C在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且DE∥BC，则在△ABC中有：6/26/2025∠EAD=∠CAB∠ADE=∠ABC∠AED=∠ACBEF//DBED//BCFBDE为

ED=FBAECBDF作EF//DB交CB延长线于F△ADE∽△ABC6/26/2025预备定理平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.AECBDEBACD6/26/2025鉴定定理1对于任意两个三角形,如果一种三角形的两个角与另一种三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述:两角对应相等,两三角形相似6/26/2025CBA已知,如图,在△ABC和△A

B

C

中,∠A=∠A,

∠B=∠B,求证:△ABC∽△A

B

C

A

B

C

DE6/26/2025证明:在△ABC的边AB(或AB的延长线)上,截取AD=A’B’,过点D作DE//BC,交AC于点E.由预备定理得:△ADE∽△ABC∵∠ADE=∠B,∠B=∠B

∴∠ADE=∠B∵∠A=∠A,AD=A

B

∴△ADE≌△A

B

C

∴△A

B

C∽△ABCA

B

C

CBADE6/26/2025例1如图,在△ABC,AB=AC,D是AC边上一点,BD=BC.求证:BC2=AC

CD分析:碰到线段的比例问题能够考虑三角形的相似证明:∵△ABC是等腰三角形∴∠A=180-2∠C∵△BCD是等腰三角形∴∠DBC=180-2∠C∴∠DBC=∠A又∵∠C为公共角∴△ABC∽△BDC即BC2=AC

CDBCDA6/26/2025如图,圆内接△ABC角平分线CD延长后交圆于一点E.分析:碰到线段的比例问题能够考虑三角形的相似根据线段所在三角形考虑证△EBD∽△ECB练一练DEABC证明：由已知条件，可得∠ACE=∠BCE。∵∠ACE与∠ABE是同弧上的圆周角，∴∠ACE=∠ABE∴∠BCE=∠ABE。又∵∠BED=∠CEB。∴△EBD∽△ECB∴6/26/2025鉴定定理2对于任意两个三角形,如果一种三角形的两边和另一种三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似6/26/2025A

B

C

CBADE已知:如图,在△ABC和△A

B

C中,∠A=∠A,求证:△ABC∽△A

B

C

△ADE≌△A

B

C

?DE//BC△ABC∽△ADE6/26/2025CBADE已知:如图△ABC中,点D、E分别在AB、AC上，且求证：DE//BCE

证明:作DE//BC,交AC于E∴AE=AE

因此E与点E重叠即DE与DE重叠,因此DE//BC采用了“同一法”的间接证明引理

如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.6/26/2025当一种命题的条件和结论所指的概念唯一存在时，若直接证明有困难，就不妨改为去证它的逆否命题，然后根据唯一性的原理断言命题为真，这种解题办法叫做同一法用同一法解题普通有三个环节①先作出一种符合结论的图形，然后推证出所作的图形符合已知条件；②根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重叠的；

③从而阐明已知图形符合结论．6/26/2025例如图,在△ABC内任取一点D,连接AD和BD.点E在△ABC外,∠EBC=∠ABD,∠ECB=∠DAB.

求证:△DBE∽△ABC.BACDE分析:好容易得出∠ABC=∠DBE只需要再证明即证只要证明△ABD∽△CBE6/26/2025鉴定定理3对于任意两个三角形,如果一种三角形的三条边和另一种三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述:三边对应成比例,两三角形相似6/26/2025A

B

C

CBA已知:如图,在△ABC和△A

B

C中求证:△ABC∽△A’B’C’证明:

在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A

B,过点D作DE//BC,交AC于点E.DE△ADE∽△ABC∵AD=A

B

∴△ADE≌△A

B

C

∴△ABC∽△A

B

C

6/26/2025例如图,已知D、E、F分别是△ABC三边、BC、CA、AB的中点.求证：△DEF∽△ABCFDEBAC证明:∵线段EF、FD、DE都是△ABC的中位线∴△DEF∽△ABC6/26/2025直角三角形相似的鉴定定理如果一种直角三角形的斜边和一条直角边与另一种三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.(1)如果两个直角三角形有一种锐角对应相等,那么它们相似;(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似.6/26/2025例如图，已知AD、BE分别是△