清华大学2022年强基校测数学试题

2022年清华大学强基计划测试数学试题考试时间2022年6月28日1.x&y2.a2+b3.已知复数z满足z=1,求4.在复平面内,复数z1终点在1+i和1+ai表示两点连成的线段上移动,z2=5.已知一个空间几何体三视图如下,都为中点最大边长为2,求这个几何体可能的体积A.23B.13C.3D.46.对于x∈R,fx满足fx+f7.用蓝色和红色给一排10个方格染色,则不超过(忘记是不超过还是不少于)三个相邻块颜色相同的方法种数为A.504B.505C.506D.5078.对于三个正整数a,b,c,有a+9.已知a2+ab+b10.limn→∞11.曲线CA.曲线C仅过0,B.曲线C上的点距原点最大距离为2C.曲线C围成的图形面积大于4πD.曲线C为轴对称图形12.任意四边形ABCD,AC=a,BD=13.已知ax+by=12022年清华大学强基计划校测数学试题答案1.若x&y【解析】新定义题型由于变量的任意性,不妨带入x2000即2000再代入x2000即2000由1.1,2000因此,2000&2.a2+b【解析】不等式问题袁逸凡解答对于a−b≤a+b,其取等条件为a当以上不等式都取等时,则有a令a≥a因为a+2因此,a−b+3.已知复数z=1,求【解析】复数的性质已知z1z设T令z+z≤=当且仅当t=4.在复平面内,复数z1终点在1+i和1z=z1+z2在复平面上表示的点围成的面积为【解析】复数的轨迹设z1=z因此有x如下图所示,则z在复平面上围成的面积即为粉色区域,即S解得a=同理当a<1时,则有6.对于x∈R,fx有fx1≤f【解析】复合函数的性质由条件知:f设0≤x02f当x0=0时,则有∴当1因此f17.用蓝色和红色给一排10个方格涂色,则至多2个蓝色相邻的方法数为__504_.【解析】揷空法+㨄郁法8.对于三个正整数a,b,c,有a+【解析】数论不妨设a>b>c,令a9.已知a2+ab【解析】不等式a110.lim【解析】定积分放缩求极限,单调有界性准侧利用定积分定义求和式的极限公式lim11.曲线C:A.曲线C仅过0,B.曲线C上的点距原点最大距离为2C.曲线C围成的图形面积大于4πD.曲线C为轴对称图形【解析】四叶玫瑰线设曲线C:fxx2x故B正确,C错误;联立x2+y23=1612.任意四边形ABCD,AC=a,结果用a,【解析】向量的回路恒等式AB证明:AB+因此:AD或者AC13.已知ax+by答案:163解:由题意可知x联立上述两式可得x此时x将(1)代入(2)可得a2023年清华大学强基计划数学试题有六面旗，两面蓝，两面红，两面黄，除颜色外完全相同，从这些旗子中去除若干面（至少一面），从上到下悬挂在同一个旗杆上，可以组成一个信号序列，则不同的信号序列共有多少种？已知a，x，k∈3、11个黑球，9个红球，依次取出，剩下全是一种颜色就结束，求最后只剩下红球的概率。4、三个复数的模分别为1，5，52，且这三个复数实部虚部均为整数，则这三个复数的积有多少个可能值。椭圆x24+y23=1，F为左焦点，A数列an满足a1=32，a4x+1已知点M8，1，过点N1，0的直线L上有一个动点P，则PN+2PM两个人甲和乙，数字为2∼30之间的共29个自然数，现找出两个不同的数，把其和告诉甲，把其和告诉乙。甲说：“虽然我不知道是哪两个数，但是肯定乙也不知道”，再问乙，乙说：“本来我不知道，但是听到甲说这句话，现在为我知道了”，甲听到乙说他知道了，然后就说：“现在我也知道了”，那么这两个数是多