高考数学（理科课标A版）一轮复习习题第十一章概率与统计6变量间的相关关系统计案例

§11.6变量间的相关关系、统计案例考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度变量的相关性、统计案例(1)①会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系;②了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.(2)了解下列一些常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题.①独立性检验:了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用;②回归分析:了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用了解2017山东,5;2016课标全国Ⅲ,18;2015课标Ⅰ,19;2015福建,4;2014课标Ⅱ,19;2014重庆,3选择题解答题★★☆分析解读1.理解用回归分析处理变量相关关系的数学方法,理解最小二乘法.2.了解独立性检验的基本思想,认识统计方法在决策中的作用.3.了解回归的基本思想方法及其简单应用.4.回归分析与独立性检验在今后的高考中分值可能会提高.本节在高考中主要以选择题、解答题的形式呈现,分值约为5分或12分,小题为容易题,解答题属中档题.五年高考考点变量的相关性、统计案例1.(2017山东,5,5分)为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为=x+.已知xi=225,yi=1600,=4.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为()A.160 B.163 C.166 D.170答案C2.(2015福建,4,5分)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程=x+,其中=0.76,=.据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元答案B3.(2014湖北,4,5分)根据如下样本数据x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的回归方程为=bx+a,则()A.a>0,b>0 B.a>0,b<0C.a<0,b>0 D.a<0,b<0答案B4.(2015课标Ⅰ,19,12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(xi)2(wi)2(xi)(yi)(wi)(yi)46.65636.8289.81.61469108.8(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题:(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为=,=.解析(1)由散点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2分)(2)令w=,先建立y关于w的线性回归方程.由于===68,==56368×6.8=100.6,所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为=100.6+68.(6分)(3)(i)由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值=100.6+68=576.6,年利润z的预报值=576.6×0.249=66.32.(9分)(ii)根据(2)的结果知,年利润z的预报值=0.2(100.6+68)x=x+13.6+20.12.所以当==6.8,即x=46.24时,取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.(12分)教师用书专用(5—6)5.(2014重庆,3,5分)已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.=0.4x+2.3 B.=2x2.4C.=2x+9.5 D.=0.3x+4.4答案A6.(2014课标Ⅱ,19,12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程;(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:=,=.解析(1)由所给数据计算得=×(1+2+3+4+5+6+7)=4,=×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,(ti)2=9+4+1+0+1+4+9=28,(ti)(yi)=(3)×(1.4)+(2)×(1)+(1)×(0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,===0.5,==4.30.5×4=2.3,所求回归方程为=0.5t+2.3.(2)由(1)知,=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程,得=0.5×9+2.3=6.8,故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点变量的相关性、统计案例1.(2018云南昆明一中第一次摸底,2)当变量x的取值为3,4,5,6,7时,变量y对应的值依次为4.0,2.5,0.5,1,2;当变量u的取值为1,2,3,4时,变量v对应的值依次为2,3,4,6,则变量x和y,变量u和v的相关关系是()A.变量x和y是正相关,变量u和v是正相关B.变量x和y是正相关,变量u和v是负相关C.变量x和y是负相关,变量u和v是负相关D.变量x和y是负相关,变量u和v是正相关答案D2.(2017湖南邵阳二模,3)假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表:y1y2总计x1a10a+10x2c30c+30总计6040100对同一样本,以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为()A.a=45,c=15 B.a=40,c=20C.a=35,c=25 D.a=30,c=30答案A3.(2017湖南益阳调研,4)某公司2010~2015年的年利润(单位:百万元)与年广告支出y(单位:百万元)的统计资料如下表所示:年份201020112012201320142015利润x(百万元)12.214.6161820.422.3支出y(百万元)0.620.740.810.891.001.11根据统计资料,则()A.年利润中位数是16,y与x具有正的线性相关关系B.年利润中位数是17,y与x具有正的线性相关关系C.年利润中位数是17,y与x具有负的线性相关关系D.年利润中位数是18,y与x具有负的线性相关关系答案B4.(2016江西鹰潭一模,3)以下四个命题:①从匀速传送的产品生产流水线上,质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样.②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1.③在回归直线方程=0.2x+12中,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量平均增加0.2个单位.④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说,k越小,“X与Y有关系”的把握程度越大其中正确的是()A.①④ B.②③C.①③ D.②④答案B5.(2017广东惠州第三次调研,14)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验.根据收集到的数据(如下表):零件数x(个)1020304050加工时间y(分钟)6268758189由最小二乘法求得回归方程为=0.67x+,则的值为.

答案54.9B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:50分钟)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018山东实验中学上学期第二次诊断,11)某中学学生会为了调查爱好游泳运动与性别是否有关,通过随机询问110名性别不同的高中生是否爱好游泳运动得到如下列联表:男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2=并参照附表,得到的正确结论是()附表:P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“爱好游泳运动与性别有关”B.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“爱好游泳运动与性别无关”C.有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”D.有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别无关”答案A2.(2017江西南城一中、高安中学等九校3月联考,7)随着国家二孩政策的全面放开,为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿,某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女,结果如下表.非一线一线总计愿生452065不愿生132235总计5842100由K2=,得K2=≈9.616.参照下表,P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828正确的结论是()A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别无关”C.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”答案C3.(2017福建福州外国语学校适应性考试(一),5)如下表格所示的五个散点,原本数据完整,且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归方程为=0.8x155,后因某未知原因第5组数据的y值模糊不清,此位置数据记为m(如表所示),则利用回归方程可求得实数m的值为()x196197200203204y1367mA.8.3 B.8.2 C.8.1 D.8答案D二、解答题(共25分)4.(2018广东东莞模拟,19)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数AQI的监测数据,结果统计如下:AQI[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]>300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S(单位:元),空气质量指数AQI为ω.在区间[0,100]对企业没有造成经济损失;在区间(100,300]对企业造成经济损失成直线模型(当AQI为150时,造成的经济损失为500元,当AQI为200时,造成的经济损失为700元);当AQI大于300时,造成的经济损失为2000元.(1)试写出S(ω)的表达式;(2)试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率;(3)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有8天为重度污染,完成下面2×2列联表,并判断能否有95%的把握认为该城市本年空气重度污染与供暖有关.非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计100附:P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.322.072.703.848.026.637.8710.82K2=.解析(1)由已知可得S(ω)=(2)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A,由200<S≤600,得ω∈(100,300],由200<4ω100≤600得100<ω≤175,频数为33,∴P(A)=.(3)根据题中数据得到下表:非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100K2的观测值k0=≈4.575>3.84,所以有95%的把握认为该城市本年空气重度污染与供暖有关.5.(2017河南百校联盟4月模拟,18)国内某知名连锁店分店开张营业期间,在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可参加一次抽奖活动,随着抽奖活动的有效开展,参与抽奖活动的人数越来越多,该分店经理对开业前7天参加抽奖活动的人数进行统计,y表示开业第x天参加抽奖活动的人数,得到统计表格如下:x1234567y58810141517经过进一步统计分析,发现y与x具有线性相关关系.(1)根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+;(2)若该分店此次抽奖活动自开业起,持续10天,参加抽奖的每位顾客抽到一等奖(奖品价值200元)的概率为,抽到二等奖(奖品价值100元)的概率为,抽到三等奖(奖品价值10元)的概率为.试估计该分店在此次抽奖活动结束时共送出价值多少元的奖品.参考公式:=,=.解析(1)依题意知=×(1+2+3+4+5+6+7)=4,=×(5+8+8+10+14+15+17)=11,===2,==112×4=3,则y关于x的线性回归方程为=2x+3.(2)设一位参加抽奖的顾客获得的奖品价值X元,则X的分布列为X20010010PEX=200×+100×+10×=.由y关于x的线性回归方程为=2x+3,得x=8时,=19,x=9时,=21,x=10时,=23,则此次活动参加抽奖的人数约为5+8+8+10+14+15+17+19+21+23=140,又140×=8800,所以估计该分店在此次抽奖活动结束时共送出价值8800元的奖品.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1回归直线方程的求解1.(2017陕西汉中一模,3)已知两个随机变量x,y之间的相关关系如表所示:x42124y5310.51根据上述数据得到的回归方程为=x+,则大致可以判断()A.>0,>0 B.>0,<0C.<0,>0 D.<0,<0答案C2.(2016重庆南开二诊模拟,18)某品牌新款夏装即将上市,为了对夏装进行合理定价,在该地区的三家连锁店各进行了两天试销售,得到如下数据:连锁店A店B店C店售价x(元)808682888490销售量y(件)887885758266(1)以三家连锁店分别的平均售价和平均销量为样本数据,求出售价与销量的回归直线方程=x+;(2)在大量投入市场后,销售量与单价仍然服从(1)中的关系,且该夏装成本价为40元/件,为使该款夏装在销售上获得最大利润,该款夏装的单价应定为多少元?(保留整数)附:==.解析(1)A,B,C三家连锁店平均售价和销量分别为(83,83),(85,80),(87,74),∴=85,=79,∴==2.25,∴==270.25,∴=2.25x+270.25.(2)设该款夏装的单价为x元,利润为f(x)元,则f(x)=(x40)(2.25x+270.25)=2.25x2+360.25x10810,∴当x≈80时,f(x)取得最大值.故该款夏装的单价应定为80元.方法2独立性检验3.(2018湖南师大附中月考(三),14)在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快,这已经成为全球性的威胁,为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果,现随机抽取100只小鼠进行试验,得到如下列联表:感染未感染总计服用104050未服用203050总计3070100参照附表,在犯错误的概率不超过(填百分比)的前提下,可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果”.

参考公式:K2=.P(K2≥k0)0.