预习03直线与平面的夹角二面角（2知识点7题型思维导图过关检测）

预习03直线与平面的夹角、二面角内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型强知识：7大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1直线与平面所成的角（1）定义一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定（3）判断方法若直线与平面斜交，可在斜线上任取一点作平面的垂线，找出直线在平面内的射影，从而确定出直线和平面所成的角，一般转化到直角三角形、等边三角形中求解．（4）利用空间向量求解知识点2二面角（1）二面角的概念定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．画法记法二面角的平面角（2）用向量运算求平面与平面所成的角【题型1传统方法求直线与平面的夹角】【答案】A故选：AA． B． C． D．【答案】B故选：B【答案】【答案】(1)证明见解析【答案】(1)证明见详解(2)【题型2利用空间向量求直线与平面的夹角】【详解】解法一：如图所示，设是的中点，连接，建立空间直角坐标系，【答案】【详解】如图，以A为坐标原点，AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，故答案为：【点睛】方法点睛，在求线面角的的正弦值问题时，一般采用空间直角坐标系来完成，所以建系设线段长是本题的关键.关于动点问题，一般我们采用向量共线的方法设出动点坐标，然后借助空间向量的夹角求得线面角.【答案】(1)(2)【答案】(1)证明见解析【详解】（1）如图，取的中点，连接、，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，【题型3已知线面角求其他】【答案】C【详解】如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，故选：CA． B． C． D．【答案】B【详解】如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，故选：B.【答案】故答案为：.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量求解.【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，【答案】(1)证明见解析(2)（2）方法一：方法二：【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：连接BO，DO，以O为原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，【题型4传统方法求二面角】A． B． C． D．【答案】C故选：CA． B． C． D．【答案】A故选：A

【答案】故答案为：.【答案】(1)证明见解析【答案】(1)证明见解析(2)如图1，连接，【题型5利用空间向量求二面角】【答案】A故选：A

【答案】D以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

故选：D.

【答案】BC【详解】根据题意作图：

故选：BC.【详解】连接交于，故答案为：.(2)求平面ADE与平面BCF所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：取棱CD的中点G，连接EG，（2）取棱BC的中点M，AD的中点O，连接OM，则OA，OM，OE两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设平面ADE与平面BCF所成的角为，【答案】(1)证明见解析；(3).以O为坐标原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，【题型6已知二面角求其他】【答案】A所以线段AQ长度的最小值是.故选：A.【答案】D所以的值可能为和.故选：D.【答案】故答案为：.【答案】1故答案为：1【答案】(1)证明见解析(2)（2）【答案】(1)证明见解析【详解】（1）（1）连接CO．（2）延长CO交AB于点F，则F为AB的中点，以O为原点，OD，OF，OP所在直线分别为x，y，z:轴建立如图所示的空间直角坐标系，设平面AOR与平面AOB的夹角为，【答案】(1)证明见解析(2)1或3【题型7夹角的探索性问题】【答案】(1)选条件②，证明见解析；【点睛】关键点睛：解决第（2）问的关键是正确建立适当的空间直角坐标系，正确表示点P的坐标.【答案】(1)；【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【详解】（1）连接，交于点，又因为为的中点，(1)试在上确定点的位置，使、、、四点共面，并证明；【答案】(1)为中点，证明见解析(2)【详解】（1）取中点，连接、，（2）取中点，连接、，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，（3）假设在棱上存在点满足题设条件，(1)求线段的长；故AD、AB、PA两两垂直，一、单选题【答案】A连接、、，如下图所示：解法二：分别取线段、的中点、，连接、、，如下图所示：故选：A.2．已知圆台的上､下底面半径分别是1和2，且该圆台的表面积为，则圆台的母线与底面所成的角的正切值是（

）A． B． C． D．【答案】D根据线面角定义求出母线与底面所成角，所以圆台的母线与底面所成的角的正切值为．故选：D．A． B． C． D．【答案】D从而直线与直线夹角的余弦值为，故选：D．故所求两直线夹角的余弦值为，故选：D．

【答案】D【详解】由题意知CA，CB，两两垂直，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

故选：D.【答案】D【详解】以为坐标原点，建系如图，所以的轨迹是过点的一条直线，又因为Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），所以的轨迹是过点的一条线段，故选:D.二、多选题6．直线的方向向量为，平面的法向量，则下列命题为真命题的是（）【答案】ABD【详解】根据向量表示的线线，线面的位置关系可知，AB正确；故选：ABDA．点P在直线上运动时，直线与直线所成角的大小不变【答案】CD故选：CD三、填空题【答案】故答案为：①；②.【答案】故答案为：.【答案】/0.4故答案为：四、解答题【答案】∴所求二面角的正切值为.【答案】(1)证明见详解(2)【答案