福建省龙岩市非一级达标校2024-2025学年高二下学期4月半期考试数学试卷（含解析）

福建省龙岩市非一级达标校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（

）A．4米/秒 B．3米/秒 C．2米/秒 D．1米/秒2．随机变量的分布列是589则（

）A． B． C． D．3．下列求导正确的是（

）A． B．C． D．4．在三棱柱中，是的中点，则（

）A． B．C． D．5．已知函数，则的单调递增区间为（

）A． B． C． D．6．临近期末，某中学要对本校高中部一线科任教师进行评教评学调查.调查结果显示，高一年级50名一线科任教师的好评率为0.96，高二年级60名一线科任教师的好评率为0.95，高三年级80名一线科任教师的好评率为0.90.依此估计该中学高中部一线科任教师的好评率为（

）A．0.94 B．0.91 C．0.92 D．0.937．函数的极小值点为（

）A． B．1 C． D．28．如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知，，且事件与相互独立，则（

）A． B．C． D．10．若函数在定义域内给定区间上存在，使得，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的平均值点．若函数在上有两个不同的平均值点，则的取值可能是（

）A． B． C． D．11．某幼儿园周一至周五每天安排一项活动，如下表：时间周一周二周三周四周五活动项目篮球轮滑排球跳绳围棋要求每位家长结合孩子的兴趣选择其中的三项.若有四位家长都无特殊情况，分别任选三项，用表示四人中选择跳绳的人数之和，则（

）A．每位家长选择跳绳的概率为 B．的可能取值有4个C． D．三、填空题12．已知函数在处可导，若，则.13．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为.14．已知随机事件满足，则.四、解答题15．将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1～8.现从中任取4个球，以表示所取球的最大号码.(1)求的分布列；(2)求的概率.16．已知函数的图象在点处的切线方程为.(1)求；(2)求在上的值域.17．如图，在四棱锥中，，，，．

(1)证明：平面平面．(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．18．数据显示，中国大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国大模型用户的年龄分布情况，某公司调查了500名中国大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照分组，得到如下的频率分布直方图.(1)估计中国大模型用户年龄的第60百分位数.(2)为了进一步了解用户在工作中使用.模型辅助工作的需求，现采用分层抽样的方式，从年龄在内的用户中随机选取7名用户进行座谈，为了感谢这7名用户，公司在座谈后随机赠送每名用户1个礼盒，其中有3个礼盒中设置了幸运大礼.①求至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率；②记年龄在内的用户中获得幸运大礼的人数为，求的分布列.19．已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数.(1)若函数是上的凸函数，求实数的取值范围.(2)已知函数.①若是上的凹函数，求实数的取值范围；②若在内有两个不同的零点，证明：.

福建省龙岩市非一级达标校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题参考答案题号12345678910答案ABDCADBCBCBC题号11答案AD1．A【详解】由，得，则物体在秒时的瞬时速度米／秒．故选：A.2．B【详解】由，解得.故选：B3．D【详解】对于A，因为是常数，所以，所以A错误，对于B，因为，所以B错误，对于C，因为，所以C错误，对于D，因为，所以D正确，故选：D.4．C【详解】因为，所以.故选：C5．A【详解】易知函数定义域为，因为，所以，令，得，所以，即，所以的单调递增区间为，故选：A.6．D【详解】该中学高中部一线科任教师的好评率为.故选：D.7．B【详解】.令，得；令，得.可知在，上单调递增，在上单调递减，所以极小值点为1.故选：B.8．C【详解】连接，设，连接，由，得，所以，因为底面是菱形，所以，又因为，且，在平面内，所以平面，在中，，，所以，如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，故，，，设平面的法向量为，则有，令，得，所以点到平面的距离.故选：C.9．BC【详解】与相互独立，所以，.故选：BC10．BC【详解】∵函数在上有两个不同的平均值点，∴方程在有两个不同的根，即在有两个不同的根.∴直线与函数的图象在上有两个交点.则，令，解得；令，解得，∴函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，且，，故.

故选：BC.11．AD【详解】每位家长选择跳绳的概率，A选项正确；的可能取值为0，1，2，3，4，，故B，C错误，AD正确.故选：AD.12．【详解】因为，所以.故答案为：13．【详解】因为向量，，所以向量在向量上的投影向量，其模为.故答案为：14．【详解】因为，所以.故答案为：15．(1)答案见解析(2)【详解】（1）由题意可知，的可能取值有，则，，，，，所以的分布列为45678（2）由（1）知，.16．(1)，(2)【详解】（1）因为，所以.又在点处的切线方程为，所以，解得，所以，则，又切点在切线上，所以，解得，所以，.（2）由（1）知，则.令，得或，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.因为，，，所以在上的值域为.17．(1)证明见解析；(2).【详解】（1）在四棱锥中，由，，得，则，而，平面，因此平面，又平面，所以平面平面.（2）取中点，连接，由，得，又平面，则平面，而平面，则，由平面，平面，得，又平面，因此平面，直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

令，由，得四边形是平行四边形，则，由，得点，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18．(1)40；(2)①；②分布列见解析.【详解】（1）AI大模型的用户年龄在，，，，内的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.15，0.05，所以AI大模型用户年龄的第60百分位数在内.设AI大模型用户年龄的第60百分位数为，则，解得，所以估计中国AI大模型用户年龄的第60百分位数为40.（2）由分层抽样可知，抽取的7名用户中年龄在内和内的分别有3人和4人.①记至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼为事件，则，所以至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率为.②的所有可能取值为0，1，2，3.，，，，所以的分布列为012319．(1)(2)①；②证明见解析【详解】（1）因为，定义域为，所以，.因为是上的凸函数，所以在上恒成立，即当时，恒成立.函数图象的对称轴为直线，当，即时，只需时，即可，所以，当，即时，只需时，即可，所以，综上可得.（2）①因为，，所以，.因为是上的凹函数，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，则.当时，，则，单调递增；当时，，则，单调递减.所以，所以，解得，所以实数