湖北省宜昌市部分省级示范高中2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（含解析）

湖北省宜昌市部分省级示范高中2025学年高一下学期4月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（

）A． B． C． D．2．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B．C． D．3．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则△ABC的形状为（

）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形5．下列各式的值为的是（

）A． B．C． D．6．如图，在四边形中，，，设，，则等于（

）A． B． C． D．7．下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（

）A． B．C． D．8．已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知向量，，则下列结论正确的是（

）A．若、可以作为基底，则B．若，则C．若在上的投影向量为，则D．若与的夹角为，则或10．函数的部分图象如图，图象与轴交于点，与轴交于点，点在图象上，点、关于点对称，则下列正确的是（

）

A．函数的最小正周期是B．函数的图象关于点对称C．函数在上单调递增D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为偶函数11．设表示不超过的最大整数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（

）A．，B．，若，则C．，D．不等式的解集为或三、填空题12．已知函数则．13．在中，分别为的中点，则.14．记的内角、、所对的边分别为、、，已知，，点在边上，若，，则的值为.四、解答题15．已知向量满足，且与的夹角为.(1)若，求实数的值；(2)求与的夹角的余弦值.16．（1）已知，均为锐角且，，求的值；（2）已知，，求的值.17．在中，内角，，所对的边分别为，，，且.(1)求角；(2)若，边上的中线，求的面积及BC边上的高.18．已知，，函数，的最小正周期为.(1)求函数的单调递增区间；(2)当时，求的最值及取到最值时的值；(3)若函数在上有两个不同的零点、，求实数的取值范围，并求的值.19．意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类曲线的函数表达式可以为，其中、为非零实数.(1)利用单调性定义证明：当时，在上单调递增；(2)当时，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；(3)若为奇函数，函数，，探究是否存在实数，使的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

湖北省宜昌市部分省级示范高中2025学年高一下学期4月期中考试数学试题参考答案题号12345678910答案ACBBCCDBACDBC题号11答案BCD1．A【详解】.故选：A.2．C【详解】因为，且图中阴影部分表示的集合为.故选：C.3．B【详解】依题意，，因此实数的大小关系是.故选：B4．B【详解】由余弦定理得：，则，所以，由此知△ABC为直角三角形.故选：B5．C【详解】对于A选项，，A不满足；对于B选项，，B不满足；对于C选项，，C满足；对于D选项，，D不满足.故选：C.6．C【详解】因为，所以.故选：C.7．D【详解】对于A选项，函数的定义域为，因为，，故，所以，函数不是奇函数，A不满足；对于B选项，对于函数，由可得，解得，所以，函数的定义域为，因为，故函数为奇函数，因为内层函数在上单调递减，外层函数为增函数，故函数在定义域上单调递减，B不满足；对于C选项，函数的定义域为，，故函数为偶函数，C不满足；对于D选项，对任意的，，即函数的定义域为，，即函数为奇函数，因为，内层函数为增函数，外层函数在上为增函数，所以，在定义域上为增函数，D满足.故选：D.8．B【详解】因为，因为且，则，因为函数在上无零点，故，所以，，解得，由，解得，，当时，可得，当时，可得.因此，实数的取值范围是.故选：B.9．ACD【详解】已知向量，，易知、均为非零向量，对于A选项，若、可以作为基底，则、不共线，可得，解得，所以A对；对于B选项，，则，解得或，所以B错；对于C选项，在上的投影向量为，即，解得，所以C对；对于D选项，因为与的夹角为，则，即，整理可得，解得或，所以D对.故选：ACD.10．BC【详解】对于A选项，因为点与点关于点对称，则点，结合图形可知，函数的最小正周期为，A错；对于B选项，，且函数在附近单调递增，故，所以，又因为，故，所以，，因为，所以函数的图象关于点对称，B对；对于C选项，当时，，所以函数在上单调递增，C对；对于D选项，函数的图象向右平移后，得到的图象，则函数为奇函数，D错.故选：BC.11．BCD【详解】对于A，，则，故，故A不成立.对于B，，则，故，所以，故B成立.对于C，设，其中，则，，若，则，，故；若，则，，故，故C成立.对于D，由不等式可得或，故或，故D正确.故选：BCD12．【详解】因为函数因为，，即，故答案为.13．－4【详解】由已知，，．故答案为：．14．【详解】如下图所示：

由题意可知，则，所以，，所以，，即①，由余弦定理可得②，又因为，联立①②可得，代入②可得.故答案为：.15．(1)(2)【详解】（1）因为，所以，即，即，所以，解得.（2）因为，，所以，即与的夹角的余弦值为.16．（1）；（2）【详解】（1），，则，.（2），即又，即.17．(1)(2)【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，所以，所以，所以，因为，所以，即，所以，因为，所以；（2）因为为边上的中线，所以，两边同时平方得，因为，，所以，得，所以，解得或（舍去），所以的面积，由余弦定理得，所以设BC边上的高为，因为的面积，所以，得.18．(1)(2)答案见解析(3)的取值范围是，【详解】（1）因为，，所以，，，，因为函数的最小正周期为，则，可得，故.由可得，因此，函数的单调递增区间为.（2）令，由可得，即，故当时，即当时，取得最大值，当时，即当时，取得最小值.（3）函数所在上有两个不同的零点、，由可得，由可得，所以，函数在区间上单调递增，在上单调递减，所以，，解得，故实数的取值范围是，由可得，所以，直线为函数图象的一条对称轴，因为，所以点、关于直线对称，所以，因此.19．(1)证明见解析(2)(3)存在，【详解】（1）当时，，，则，由，得，则，，于是，即，所以在上单调递增.（2）函数的定义域为R，，则为偶函数，不等式，函数在上单调递增，则依题意，不等式对恒成立，当时，，，因此对恒成立，令，而，则，当时，，，当