高二升高三数学暑假作业05 排列组合与二项式定理（原卷版）

完成时间：月日天气：作业05排列组合与二项式定理1.求解排列应用问题方法汇总直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数Aeq\o\al(n,n)除以m个顺序一定的元素之间的全排列数Aeq\o\al(m,m)，即得到不同排法种eq\f(A\o\al(n,n),A\o\al(m,m))＝Aeq\o\al(n－m,n).间接法正难则反、等价转化的方法分组分配平均分组、部分平均分组1．对不同元素的分配问题(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．隔板法将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子环排问题(1)把个不同的元素围成一个环状，排法总数为(2)个不同的元素围成一圈，个元素相邻，符合条件的排列数为(3)个不同的元素围成一圈，个元素不相邻，符合条件的排列数为涂色问题涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。2．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：(1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项．(2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项．(3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项．(4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项．一、单选题1．五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（）A．9种 B．36种 C．64种 D．81种2．今天是星期天，则天后是（

）A．星期五 B．星期六 C．星期天 D．星期一3．已知的展开式中所有项的系数和为，则展开式中的系数为（

）A． B． C． D．4．“一带一路”2024国际冰雪大会中国青少年冰球国际邀请赛在江苏无锡举行，现将4名志愿者分成3组，每组至少一人，分赴3个不同场馆服务，则不同的分配方案种数是（

）A．18 B．36 C．54 D．725．某校为了拓展同学们的视野，开设了数学类的校本课程，分别为：数学与生活、数学史、数学与金融三门课程．现由甲、乙、丙、丁、戊五名同学报名参加，每人仅能报名一门课程，每门课程至少有一个人报名，则不同的报名方法有（

）A．72 B．100 C．240 D．150二、多选题6．在的展开式中，下列说法正确的有（

）A．第3项为 B．常数项为20C．系数最大的项为第4项 D．二项式系数最大的项为第4项7．现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是（

）A．4个空位全都相邻的坐法有120种 B．4个空位中只有3个相邻的坐法有240种C．4个空位均不相邻的坐法有180种 D．4个空位中至多有2个相邻的坐法有1080种8．已知函数展开式中二项式系数和为256.则下列说法正确的有（）A． B．C． D．被6整除余数为1三、填空题9．有4人到甲､乙､丙三所学校去应聘，若每人恰被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为.（用数字作答）10．已知的展开式中，含项的系数为，．则．四、解答题11．已知二项式的展开式中，二项式系数之和为128，系数和为1.(1)求与的值；(2)求其展开式中所有的有理项.12．如图，从左到右有5个空格．(1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法?（用数字作答）(2)若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法?（用数字作答）(3)若把这5个格子看成5个企业，现安排3名校长与5个企业洽谈，若每名校长与2家企业领导洽谈，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有多少种（用数字作答）．1．若将6本不同的小说全部分给3个同学，每本书只能分给一个人，每个人至少分一本书，则不同的分法的数量为（

）A．540 B．90 C．10 D．4502．如图，用4种颜色标注6个地图的区域，相邻省颜色不同，不同的涂色方式共有种3．二项式的展开式中仅有第5项系数最大，则的展开式中x的系数为（

）A． B． C．28 D．564．（多选）若，则（

）A． B．C． D．5．国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要按照以下要求到3所学校去任教，有多少种不同的分派方法.(1)6人分配到三所学校甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人；(2)6人分配到三所学校一校1人、一校1人、一校4人；(3)6人分配到三所学校每所学校至少一人；1．的展开式中常数项为（

）A．544 B．559 C．495 D．792．已知，则.3．已知的二项展开式中，第2、3、4项的二项式系数依次成等差数列.(1)求的值；(2)求的展开式中所有的有理项；(3)在的展开式中，求的项的系数.1．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为．2．（2023·全国·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．3．（2023·全国·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（

）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种4．（2023·全国·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（

）．A．种 B．种C．种 D．种5．（2023·全国·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益