2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级期末必刷常考题之三角形的的证明

第22页（共22页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级期末必刷常考题之三角形的的证明一．选择题（共7小题）1．（2025•普陀区三模）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，BD＝BC，AD＝AE，若要求∠CDE的度数，则只需知道（）的度数．A．∠A B．∠B C．∠ACB D．∠DCE2．（2025•罗湖区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（）A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：53．（2024秋•太康县期末）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝4：5：64．（2025春•青岛期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，CE是△ABC的角平分线．若∠BAC＝40°，则∠BEC的度数为（）A．70° B．75° C．105° D．125°5．（2024秋•丰润区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，点D是边BC上的任意一点，则AD的长不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．86．（2024秋•歙县期末）如图，已知AC＝5cm，AD＝9cm，BE是线段CD的垂直平分线，则△ABC的周长为（）A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm7．（2025春•永寿县校级期中）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠DAC＝2∠B，CE是AD的垂直平分线，若AD＝4，AC＝6，则BC的长为（）A．10 B．9 C．8 D．6二．填空题（共5小题）8．（2025春•青岛期中）如图，△ABC是等边三角形，与BC平行的直线分别交AB和AC于点D，E，若AD＝2，则DE的长为．9．（2025•中宁县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝．10．（2025•翠屏区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若AB＝10，AC＝6，则△ABD的面积为11．（2024秋•兴庆区校级期末）在直角三角形中，如果一个锐角为30°，而斜边与较小直角边的和为12，那么斜边长为．12．（2024秋•顺城区期末）已知△ABC的三个内角度数之比为1：2：3，若它的最长边为3，则最短边BC长为．三．解答题（共3小题）13．（2024秋•太康县期末）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点E和D，且CB2＝AD2﹣CD2．（1）求证：∠C＝90°；（2）若AC＝4，BC＝3，求CD的长．14．（2025春•青岛期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，E为CA的延长线上一点，过点E作EF∥AD，分别交AB，BC于点P，F．（1）求证：△AEP是等腰三角形．（2）若AD＝BD，求∠E的度数．15．（2024秋•项城市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级期末必刷常考题之三角形的的证明参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案CBDBABA一．选择题（共7小题）1．（2025•普陀区三模）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，BD＝BC，AD＝AE，若要求∠CDE的度数，则只需知道（）的度数．A．∠A B．∠B C．∠ACB D．∠DCE【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】由等腰三角形的性质得到∠BDC＝90°-12∠B，∠ADE＝90°-12∠A，由三角形内角和定理求出∠DCE＝90°-12∠【解答】解：∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC，∴∠BDC=12（180°﹣∠B）＝90°-1同理：∠ADE＝90°-12∠∴∠ADE+∠BDC＝180°-12（∠A+∠∴∠DCE＝180°﹣（∠ADE+∠BDC）=12（∠A+∠故A、B不符合题意；∵∠DCE=12（∠A+∠B）=12（180°﹣∠ACB）＝90°故C符合题意；∠DCE和∠DCE没有数量关系，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质推出∠DCE＝90°-12∠2．（2025•罗湖区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（）A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5【考点】角平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】B【分析】过D点作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到DE＝DA，然后利用三角形的面积公式求S1：S2的值．【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE＝DA，∴S1故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．3．（2024秋•太康县期末）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝4：5：6【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】D【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．【解答】解：A、∠A＝∠B﹣∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠B＝90°，是直角三角形，不符合题意；B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形，不符合题意；C、由a2＝c2﹣b2，得a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理是解题关键．4．（2025春•青岛期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，CE是△ABC的角平分线．若∠BAC＝40°，则∠BEC的度数为（）A．70° B．75° C．105° D．125°【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】B【分析】先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：∠ACB＝∠B＝70°，然后利用角平分线的定义可得∠ACE＝35°，再利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ACB＝∠B=180°-∠A∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=12∠ACB＝∵∠BEC是△ACE的一个外角，∴∠BEC＝∠A+∠ACE＝75°，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．5．（2024秋•丰润区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，点D是边BC上的任意一点，则AD的长不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】含30度角的直角三角形；垂线段最短；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】A【分析】过点A作AD′⊥BC于D′，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠B，再根据含30度角的直角三角形的性质求出AD′，再根据垂线段最短解答即可．【解答】解：如图，过点A作AD′⊥BC于D′，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C=12（180°﹣120°）＝在Rt△ABD′中，AB＝12，∠B＝30°，则AD′=12AB=12根据垂线段最短可知：AD的最小值为6，∴AD的长不可能是5，故选：A．【点评】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．6．（2024秋•歙县期末）如图，已知AC＝5cm，AD＝9cm，BE是线段CD的垂直平分线，则△ABC的周长为（）A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】B【分析】根据BE是线段CD的垂直平分线得出BC＝BD，将△ABC周长转化为AC+AD即可．【解答】解：∵BE是线段CD的垂直平分线，AC＝5cm，AD＝9cm，∴BC＝BD∴△ABC的周长为：AC+AB+BC＝AC+AB+BD＝AC+AD＝14（cm）．故选：B．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．7．（2025春•永寿县校级期中）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠DAC＝2∠B，CE是AD的垂直平分线，若AD＝4，AC＝6，则BC的长为（）A．10 B．9 C．8 D．6【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】三角形；推理能力．【答案】A【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CD＝CA＝6，得到∠CAD＝∠CDA，根据三角形的外角性质得到∠B＝∠DAB，得到DB＝AD＝4，计算即可．【解答】解：∵CE是AD的垂直平分线，AC＝6，∴CD＝CA＝6，∴∠CAD＝∠CDA，∵∠DAC＝2∠B，∴∠CDA＝2∠B，∵∠CDA＝∠B+∠DAB，∴∠B＝∠DAB，∴DB＝AD＝4，∴BC＝BD+CD＝4+6＝10，故选：A．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．二．填空题（共5小题）8．（2025春•青岛期中）如图，△ABC是等边三角形，与BC平行的直线分别交AB和AC于点D，E，若AD＝2，则DE的长为2．【考点】等边三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】2．【分析】先利用等边三角形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝60°，再利用平行线的性质可得∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°，从而可得△ADE是等边三角形，然后利用等边三角形的性质即可解答．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°，∴∠A＝∠ADE＝∠AED＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝DE＝AE＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．9．（2025•中宁县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝115°．【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据等边对等角得出∠B＝∠C，根据∠BAC＝130°即可求出∠C的度数，由DA⊥AC得出∠DAC＝90°，从而求出∠ADC的度数，问题得解．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C（等边对等角），∵∠BAC＝130°，∴∠B∵DA⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠ADC＝90°﹣25°＝65°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°，所以∠ADB的度数为115°．故答案为：115°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，关键是等腰三角形性质的熟练掌握．10．（2025•翠屏区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若AB＝10，AC＝6，则△ABD的面积为15【考点】角平分线的性质；勾股定理；作图—基本作图；三角形的面积．【专题】推理能力．【答案】15．【分析】作DQ⊥AB，由作图知AP平分∠BAC，据此得CD＝DQ，再根据勾股定理得出BC，然后根据三角形的面积公式求解即可．【解答】解：如图，过点D作DQ⊥AB于点Q．∵以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点∴AP平分∠BAC，∴CD＝DQ，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，BC=∴S△∵S△ABC＝S△ACD+S△ABD，24=1即24=1∴CD＝DQ＝3，∴S△故答案为：15．【点评】本题主要考查作图—基本作图及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线上的点到角两边的距离相等的性质．11．（2024秋•兴庆区校级期末）在直角三角形中，如果一个锐角为30°，而斜边与较小直角边的和为12，那么斜边长为8．【考点】含30度角的直角三角形．【答案】见试题解答内容【分析】设较小的直角边是x，则根据直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半得到斜边是2x，根据题意得x+2x＝12，然后即可求出斜边．【解答】解：设较小的直角边是x，则斜边是2x，根据题意得x+2x＝12，∴x＝4，∴2x＝8．所以斜边长是8．【点评】此题主要是运用了在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半的性质．12．（2024秋•顺城区期末）已知△ABC的三个内角度数之比为1：2：3，若它的最长边为3，则最短边BC长为32【考点】含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】32【分析】先根据三个内角的度数之比为1：2：3求出三个内角的度数，可得△ABC是含30°的直角三角形，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半进行解答．【解答】解：根据题意，设三个内角分别是k，2k，3k，则k+2k+3k＝180°，解得k＝30°，∴这个三角形的三个内角分别是30°，60°，90°，∴它的最短边与最长边之比为：1：2（30度角所对的直角边等于斜边的一半）．∵最长边为3，∴最短边BC的长为32故答案为：32【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的边的关系，求出三角形三个内角的度数是解题的关键，也是突破口．三．解答题（共3小题）13．（2024秋•太康县期末）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点E和D，且CB2＝AD2﹣CD2．（1）求证：∠C＝90°；（2）若AC＝4，BC＝3，求CD的长．【考点】勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理．【专题】证明题；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明过程见解答；（2）CD的长为78【分析】（1）连接BD，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求解；（2）设CD＝x，则AD＝BD＝4﹣x，在Rt△BCD中，根据BD2﹣CD2＝BC2列出方程计算即可求解．【解答】（1）证明：连接BD，∵AB边上的垂直平分线为DE，∴AD＝BD，∵CB2＝AD2﹣CD2，∴CB2＝BD2﹣CD2，∴CB2+CD2＝BD2，∴∠C＝90°；（2）解：设CD＝x，则AD＝BD＝4﹣x，在Rt△BCD中，BD2﹣CD2＝BC2，∴（4﹣x）2﹣x2＝32，解得：x=7∴CD的长为78【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的运用．14．（2025春•青岛期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，E为CA的延长线上一点，过点E作EF∥AD，分别交AB，BC于点P，F．（1）求证：△AEP是等腰三角形．（2）若AD＝BD，求∠E的度数．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】（1）证明见解答过程；（2）45°．【分析】（1）根据等腰三角形的性质及平行线的性质推出∠E＝∠APE，根据等腰三角形的判定定理即可得解；（2）根据等腰三角形的性质定理、三角形内角和定理及平行线的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠BAD＝∠CAD，∵EF∥AD，∴∠E＝∠CAD，∠APE＝∠BAD，∴∠E＝∠APE，∴AE＝AP，∴△AEP是等腰三角形；（2）解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAD＝180°，∴∠B＝∠BAD＝∠C＝∠CAD＝45°，∴∠E＝∠CAD＝45°．【点评】此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记等腰三角形的判定定理是解题的关键．15．（2024秋•项城市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．【专题】探究型．【答案】见试题解答内容【分析】（1）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）∵△OCD是等边三角形，∴OC＝CD，而△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∵∠ACB＝∠OCD＝60°，∴∠BCO＝∠ACD，在△BOC与△ADC中，∵OC=∴△BOC≌△ADC，∴∠BOC＝∠ADC，而∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，∴△ADO是直角三角形；（2）∵设∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b，∠BAO＝c，∠CAO＝d，则a+b＝60°，b+c＝180°﹣110°＝70°，c+d＝60°，∴b﹣d＝10°，∴（60°﹣a）﹣d＝10°，∴a+d＝50°，即∠DAO＝50°，①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∴190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，∴110°+80°+60°+α＝360°∴α＝110°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，110°+50°+60°+α＝360°，∴α＝140°．所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键．

考点卡片1．垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．（2）垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．2．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．3．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=1（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．4．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．5．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．6．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE7．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．8．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．9．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．10．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．11．等边三角