2025届山西省部分重点中学高三下学期4月模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省部分重点中学2025届高三下学期4月模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A. B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】由得，所以.故选：A.2.若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知，抛物线C的方程为，将代入，可得，故抛物线C的方程为.故选：A.3.已知向量，的夹角为60°，且，设，，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】一方面，因为，夹角为，，，所以，当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，故，所以是的充分条件.另一方面，因为，夹角为，，，所以，所以，所以，即，所以，故是的必要条件.综述：是的充要条件.故选：C.4.若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，为单调递增函数，不符合题意，当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意，当时，在单调递增，在单调递减，故在上单调递减，则，故选：C5.从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（）A.第一象限点比第二象限点多 B.第二象限点比第三象限点多C.第一象限点比第三象限点少 D.第二象限点比第四象限点少【答案】D【解析】设第一象限的点即横坐标为正数且纵坐标为正数的点有个，第二象限的点即横坐标为负数且纵坐标为正数的点有个，第三象限的点即横坐标为负数且纵坐标为负数的点有个，第四象限的点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有个，又因为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，所以①，且②，由不等式性质可知，①+②可得，即第二象限点比第四象限点少.故选：D.6.已知等差数列公差不为0，记其前n项和为，若，，则正整数k的值为（）A.3 B.6 C.8 D.12【答案】B【解析】设等差数列公差为，由，得，解得，，，，因此，整理得，解得.故选：B7.将1至6这六个自然数填到一个两行三列的空格内，每格填一个，要求每行中任意两个相邻数字的和为奇数，则不同的填法种数共有（）A.24 B.36 C.48 D.72【答案】D【解析】①第一行中间为偶数，两边为奇数，有，第二行中间为奇数，两边为偶数，有，所以共有，②第一行中间为奇数，两边为偶数，有，第二行中间为偶数，两边为奇数，有，所以共有，所以共有，故选：D8.设函数，对任意，.若对任意，都有，则的极小值为（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】将代入，可得，由于等式对任意都成立，则项系数必须为0，即，所以，令，可得或，由三次函数图象性质易得为函数的唯一变号零点，由任意，都有，可得，时，总有，所以为函数的变号零点，所以，则，此时，求导得，令，得或2，当或时，；当时，.故为极小值点，极小值.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.2025年春节期间，中国电影市场表现亮眼，《哪吒之魔童闹海》等多部优秀影片上映，吸引了大量观众走进影院，某影院对1月29日至2月27日的售票情况进行统计，得到这30天的观影人数如下表：观影人数（单位：千人）不小于3天数261084据表中数据，下列结论一定正确的是（）A.30天观影人数的中位数不小于2千人B.30天观影人数的平均数大于2千人C.30天观影人数的众数大于1.5千人D.30天观影人数的极差大于1.5千人【答案】ABD【解析】由可知，中位数位于内，故A正确；因，则平均数一定大于2千人，故B正确；由于每天的观影人数的具体值不清楚，故30天观影人数的众数可能大于1.5千人，也可能小于1.5千人，故C错误；因，所以由表格30天观影人数的极差大于1.5千人，故D正确.故选：ABD10.如图，直线与函数的图象依次交于A，B，C三点，若，，则（）A.B.C.是曲线的一条对称轴D.曲线向右平移1个单位后关于原点对称【答案】AC【解析】因为，，所以，所以函数的周期为，所以，故选项B错误；则函数，当函数取最大值时，，解得，故函数位于y轴右侧的第一个最大值点的横坐标为，又，所以，所以，故选项A正确；当时，为函数最小值，故是曲线的一条对称轴，故选项C正确；曲线向右平移1个单位后，显然不关于原点对称，（），故D错误.故选：AC11.已知正方体棱长为1，设，则下列命题为真命题的是（）A.存在，B.任意，C.任意，三棱锥的外接球表面积小于3πD.存在，的面积等于的面积【答案】ABC【解析】如下图，且，即是平行四边形，由平面，平面，则，同理有，所以为矩形，若时，，又，所以，易得，此时，有，A对；如下图，在平面内，关于对称，又在（不含端点）上运动，所以，又平面，平面，则，所以，即，B对；构建如下图示的空间直角坐标系，则，，，，，若的外接球的球心，半径为，则，由，则，则，所以，则，令，且，则，令，则，所以或时，即在，上单调递增，时，即在上单调递减，又，，，所以，，使，所以或时，即在、上单调递减，或时，即在、上单调递增，由，，故恒成立，故，外接球的表面积，C对；由平面，平面，则，所以，由B分析知，在中上的高，则，由，故，则，所以，D错.故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12.设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是________.【答案】【解析】，，显然集合的所有元素中，绝对值最小的元素是.故答案为：.13.设，分别是双曲线的左右焦点，以为圆心的圆与C的一条渐近线相切，记圆与C的一个公共点为A，若与圆恰好相切，则________.【答案】2【解析】对于双曲线，，，其渐近线方程为，，到渐近线的距离，所以圆的半径，因为圆与C的一个公共点为A，与圆相切，所以，，由双曲线定义知，则，在直角三角形中，根据勾股定理，而，所以.即，所以，因为，解得.故答案为：14.已知数列共12项，，，，.记.则S的最小值为________；若至少存在两项为1，则S的最大值为________.【答案】①.18②.516【解析】，故或，，其中，，要想最小，则尽可能小，当为偶数时，，当为奇数时，，此时，故最小值为18，至少存在两项为1，则要想尽可能大，需中有两项为1，且2的个数尽可能少，由于，，故2的个数最少为3个，即出现相邻的5项，将其放置在前5项时，只会出现1次，2的个数最少，为3个，此后第6项至第12项分别为，此时取得最大值，最大值为.故答案为：18，516四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，.（1）求；（2）若的面积为2，求.解：（1）因为，由正弦定理得，因为，由余弦定理得，整理得，所以，则，所以由余弦定理得.（2）因为，所以，所以的面积为，所以，解得（负值已舍去），所以.16.甲、乙两人进行掷骰子游戏，每轮两人各掷骰子一次，一次掷三粒.得分规则如下；若向上三个点数相同，得6分；若向上三个点数按某种顺序可构成等差数列（公差不为0），得4分；若恰有两粒点数相同，得2分；其余情况得0分.若第一次两人得分相同，则进行第二轮，直至出现两人得分不同，得分多者获胜，游戏结束.（1）记甲第一轮得分为X，求X概率分布列及数学期望；（2）求两人共投n轮骰子的概率.解：（1）X的可能取值为：6，4，2，0，概率分别为：；；；；所以X的概率分布列为X0246p.（2）记乙一轮比赛的得分为Y，事件为“一轮比赛甲乙得分相同”，则.记事件B“第n轮比赛甲乙得分不同”，则.所以两人共投n轮骰子的概率.17.在坐标平面xOy中，，分别是椭圆的左右顶点，且C的短轴长为2，离心率为.过的中点B的直线l（不与x轴重合）与C交于D，E两点.（1）求C的方程；（2）证明：；（3）直线和的斜率比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.（1）解：因为C的短轴长为2，离心率为，所以，解得，所以C的方程为：.（2）证明：设直线l方程为：，设，，联立直线l与椭圆C的方程，消去x得，，因为，所以，，（*）因为，所以，即.（3）解：直线和的斜率比值为定值，理由如下：法1：因为，由（*）知，，代入上式得，.所以直线和的斜率比值为定值3.法2因为，因为，所以，所以，由（2）知，两式相除得，.18.中，，，，是的中点，是的中点，是的中点.如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得.（1）证明：、、、共面；（2）若，求三棱锥的体积；（3）求平面与平面的夹角的余弦值的最大值.（1）证明：取的中点，的中点，连接、、，因为、分别为、的中点，所以，，翻折前，中，，，，是的中点，是的中点，是的中点，则，，，，，翻折后，则有，，，因为，为的中点，所以，，所以，四边形为平行四边形，所以，，因为为的中点，所以，，故四边形为平行四边形，所以，，故，，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以、、、共面（2）解：过点在平面内作，垂足为点，翻折前，因为，翻折后，则有，，因为、平面，，所以平面，因为平面，所以，因为，，、平面，所以平面，即是三棱锥的高.由（1）的图，在中，，，由余弦定理得，所以，所以，在中，，，，是的中点，则，，所以，所以三棱锥的体积为.（3）解：在平面中，过点作，交于点，因为平面，，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、，设，则，所以，，，设平面的一个法向量，则，令，则，，所以，设平面的一个法问量，则，令，则，，所以，设平面与平面的夹角为，则，因为，所以，则，当且仅当，即时，即时，等号成立.所以平面与平面的夹角的余弦值的最大值为.19.已知函数.（1）设是曲线的任意一条切线，若，求a的值；（2）证明：存在，对任意，且，都有；（3）证明：.（1）解：设直线与曲线切点横坐标为，因为，所以切线方程为：，所以，即对任意都成立，因为，所以在上递增且存在唯一正的零点，又在上递减，所以也是它的零点.所以；解得.（2）证明：因为的定义域为，，，当时，，递减；当时，，递增.取，设，代入得，，所以，设，，因为，所以在上单调递增，所以，即，所以，所以时，结论成立.（3）证明：取，，，，则，，由（2）知，，即，因为，，所以，设，所以，两式相减得，，所以，所以.山西省部分重点中学2025届高三下学期4月模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A. B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】由得，所以.故选：A.2.若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知，抛物线C的方程为，将代入，可得，故抛物线C的方程为.故选：A.3.已知向量，的夹角为60°，且，设，，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】一方面，因为，夹角为，，，所以，当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，故，所以是的充分条件.另一方面，因为，夹角为，，，所以，所以，所以，即，所以，故是的必要条件.综述：是的充要条件.故选：C.4.若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，为单调递增函数，不符合题意，当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意，当时，在单调递增，在单调递减，故在上单调递减，则，故选：C5.从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（）A.第一象限点比第二象限点多 B.第二象限点比第三象限点多C.第一象限点比第三象限点少 D.第二象限点比第四象限点少【答案】D【解析】设第一象限的点即横坐标为正数且纵坐标为正数的点有个，第二象限的点即横坐标为负数且纵坐标为正数的点有个，第三象限的点即横坐标为负数且纵坐标为负数的点有个，第四象限的点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有个，又因为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，所以①，且②，由不等式性质可知，①+②可得，即第二象限点比第四象限点少.故选：D.6.已知等差数列公差不为0，记其前n项和为，若，，则正整数k的值为（）A.3 B.6 C.8 D.12【答案】B【解析】设等差数列公差为，由，得，解得，，，，因此，整理得，解得.故选：B7.将1至6这六个自然数填到一个两行三列的空格内，每格填一个，要求每行中任意两个相邻数字的和为奇数，则不同的填法种数共有（）A.24 B.36 C.48 D.72【答案】D【解析】①第一行中间为偶数，两边为奇数，有，第二行中间为奇数，两边为偶数，有，所以共有，②第一行中间为奇数，两边为偶数，有，第二行中间为偶数，两边为奇数，有，所以共有，所以共有，故选：D8.设函数，对任意，.若对任意，都有，则的极小值为（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】将代入，可得，由于等式对任意都成立，则项系数必须为0，即，所以，令，可得或，由三次函数图象性质易得为函数的唯一变号零点，由任意，都有，可得，时，总有，所以为函数的变号零点，所以，则，此时，求导得，令，得或2，当或时，；当时，.故为极小值点，极小值.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.2025年春节期间，中国电影市场表现亮眼，《哪吒之魔童闹海》等多部优秀影片上映，吸引了大量观众走进影院，某影院对1月29日至2月27日的售票情况进行统计，得到这30天的观影人数如下表：观影人数（单位：千人）不小于3天数261084据表中数据，下列结论一定正确的是（）A.30天观影人数的中位数不小于2千人B.30天观影人数的平均数大于2千人C.30天观影人数的众数大于1.5千人D.30天观影人数的极差大于1.5千人【答案】ABD【解析】由可知，中位数位于内，故A正确；因，则平均数一定大于2千人，故B正确；由于每天的观影人数的具体值不清楚，故30天观影人数的众数可能大于1.5千人，也可能小于1.5千人，故C错误；因，所以由表格30天观影人数的极差大于1.5千人，故D正确.故选：ABD10.如图，直线与函数的图象依次交于A，B，C三点，若，，则（）A.B.C.是曲线的一条对称轴D.曲线向右平移1个单位后关于原点对称【答案】AC【解析】因为，，所以，所以函数的周期为，所以，故选项B错误；则函数，当函数取最大值时，，解得，故函数位于y轴右侧的第一个最大值点的横坐标为，又，所以，所以，故选项A正确；当时，为函数最小值，故是曲线的一条对称轴，故选项C正确；曲线向右平移1个单位后，显然不关于原点对称，（），故D错误.故选：AC11.已知正方体棱长为1，设，则下列命题为真命题的是（）A.存在，B.任意，C.任意，三棱锥的外接球表面积小于3πD.存在，的面积等于的面积【答案】ABC【解析】如下图，且，即是平行四边形，由平面，平面，则，同理有，所以为矩形，若时，，又，所以，易得，此时，有，A对；如下图，在平面内，关于对称，又在（不含端点）上运动，所以，又平面，平面，则，所以，即，B对；构建如下图示的空间直角坐标系，则，，，，，若的外接球的球心，半径为，则，由，则，则，所以，则，令，且，则，令，则，所以或时，即在，上单调递增，时，即在上单调递减，又，，，所以，，使，所以或时，即在、上单调递减，或时，即在、上单调递增，由，，故恒成立，故，外接球的表面积，C对；由平面，平面，则，所以，由B分析知，在中上的高，则，由，故，则，所以，D错.故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12.设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是________.【答案】【解析】，，显然集合的所有元素中，绝对值最小的元素是.故答案为：.13.设，分别是双曲线的左右焦点，以为圆心的圆与C的一条渐近线相切，记圆与C的一个公共点为A，若与圆恰好相切，则________.【答案】2【解析】对于双曲线，，，其渐近线方程为，，到渐近线的距离，所以圆的半径，因为圆与C的一个公共点为A，与圆相切，所以，，由双曲线定义知，则，在直角三角形中，根据勾股定理，而，所以.即，所以，因为，解得.故答案为：14.已知数列共12项，，，，.记.则S的最小值为________；若至少存在两项为1，则S的最大值为________.【答案】①.18②.516【解析】，故或，，其中，，要想最小，则尽可能小，当为偶数时，，当为奇数时，，此时，故最小值为18，至少存在两项为1，则要想尽可能大，需中有两项为1，且2的个数尽可能少，由于，，故2的个数最少为3个，即出现相邻的5项，将其放置在前5项时，只会出现1次，2的个数最少，为3个，此后第6项至第12项分别为，此时取得最大值，最大值为.故答案为：18，516四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，.（1）求；（2）若的面积为2，求.解：（1）因为，由正弦定理得，因为，由余弦定理得，整理得，所以，则，所以由余弦定理得.（2）因为，所以，所以的面积为，所以，解得（负值已舍去），所以.16.甲、乙两人进行掷骰子游戏，每轮两人各掷骰子一次，一次掷三粒.得分规则如下；若向上三个点数相同，得6分；若向上三个点数按某种顺序可构成等差数列（公差不为0），得4分；若恰有两粒点数相同，得2分；其余情况得0分.若第一次两人得分相同，则进行第二轮，直至出现两人得分不同，得分多者获胜，游戏结束.（1）记甲第一轮得分为X，求X概率分布列及数学期望；（2）求两人共投n轮骰子的概率.解：（1）X的可能取值为：6，4，2，0，概率分别为：；；；；所以X的概率分布列为X0246p.（2）记乙一轮比赛的得分为Y，事件为“一轮比赛甲乙得分相同”，则.记事件B“第n轮比赛甲乙得分不同”，则.所以两人共投n轮骰子的概率.17.在坐标平面xOy中，，分别是椭圆的左右顶点，且C的短轴长为2，离心率为.过的中点B的直线l（不与x轴重合）与C交于D，E两点.（1）求C的方程；（2）证明：；（3）直线和的斜率比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.（1）解：因为C的短轴长为2，离心率为，所以，解得，所以C的方程为：.（2）证明：设直线l方程为：，设，，联立直线l与椭圆C的方程，消去x得，，因为，所以，，（*）因为，所以，即.