冲刺2025年高考数学大题突破-仿真模拟卷02（解析版）

2025年高考数学仿真模拟卷02（新高考通用）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用幂函数、指数函数单调性解不等式化简集合，再利用交集、并集的定义求出判断.【详解】依题意，集合，对于AB，，A错误，B正确；对于CD，，CD错误.故选：B2．已知，则在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据给定条件，利用复数的乘方及除法运算求出即可.【详解】由，得，即，因此，所以在复平面内所对应的点位于第二象限.故选：B3．设是等差数列的前项和，若，则（

）A．132 B．88 C．44 D．33【答案】C【分析】根据等差数列的前项和公式以及通项公式列出关于首项和公差的方程，求出与，再利用前项和公式求出.【详解】根据是等差数列的前项和，由等差数列前项和公式可得.所以，化简可得.，即.得.将代入中，解得.将代入，可得.可得：故选：C.4．在三棱柱中，为棱上点并且设，，，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量加法的三角形法则，将转化为，再结合已知条件将用、、表示出来，进而得出的表达式;【详解】

在三棱柱中，，故选：B.5．北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明朝、清朝两代皇宫及其收藏的基础上建立起来的大型综合性博物馆，也是中国最大的古代文化艺术博物馆．2025年北京故宫博物院将迎来建院100周年．用2025，100，2，0，2，5这6个数可以组成的不同的11位数的个数为（

）A．594 B．300 C．294 D．297【答案】D【分析】先排首位，再排其余5个数，利用分步计数原理可求得总的个数.【详解】因为首位数字不能为0，所以首先从2025，100，2，2，5这5个数中任选一个排首位，有5种排法，剩余5个数进行全排列，有种排法，又两个2交换位置所得的11位数相同，且2，0，2，5排列成2025的排法有种，所以用2025，100，2，0，2，5组成的不同的11位数的个数为.故选：D．6．某市教育主管部门为了解高三年级学生学业达成的情况，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的学业达成情况按照从高到低都分布在五个层次内，分男､女生统计得到以下样本分布统计图，则下列叙述正确的是（

）A．样本中层次的女生比相应层次的男生人数多B．估计样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小C．层次的女生和层次的男生在整个样本中频率相等D．样本中层次的学生数和层次的学生数一样多【答案】B【分析】频率分布直方图，得女生学业达成在各层次的频率，对选项中的频率频数问题进行判断.【详解】对于AC，设女生学业达成频率分布直方图中的组距为，由，得，所以女生学业达成频率分布直方图中层次频率为，层次频率为，层次频率为，层次频率为，层次频率为，因为男､女生样本数未知，所以层次中男､女生人数不能比较，即A选项错误；同理，层次女生在女生样本数中频率与层次男生在男生样本数中频率相等，都是，但因男､女生人数未知，所以在整个样本中频率不一定相等，即C选项错误；对于D，设女生人数为，男生人数为，但因男､女生人数可能不相等，则层次的学生数为，层次的学生数为，因为不确定，所以与可能不相等，即D选项错误；对于B，女生两个层次的频率之和为，所以女生的样本学业达成的中位数为B，C层次的分界点，男生两个层次的频率之和为，显然中位数落在C层次内，所以样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小，B选项正确．故选：B．7．已知定义在上的函数满足，且，则下列结论正确的是（

）A． B．函数为奇函数C．函数有2个零点 D．【答案】D【分析】利用赋值法令可判断A错误；结合A可知，不满足，可得B错误；解方程可得或，所以函数没有零点，即C错误；令，可得，即，所以D正确.【详解】由，令，可得，因为，所以1，所以A项错误；函数的定义域为，因为，显然不符合，所以函数不是奇函数，所以B项错误；由，令，可得，即，解得或，所以函数没有零点，所以项错误；由，令，可得，所以，即，所以项正确.故选：D8．已知抛物线的焦点为为抛物线上的两点，满足，线段的中点为到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用中位线定理和余弦定理的应用可得，结合基本不等式计算即可求解.【详解】设，过点A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则，如图，因为点M为线段的中点，所以点M到抛物线C的准线的距离为，在中，因为，，所以，又，所以（当且仅当时，等号成立），所以，即的最大值为．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数（）的最小正周期为，则（

）A．B．函数在上为增函数C．是的一个对称中心D．函数的图像关于轴对称【答案】BD【分析】对A，根据辅助角公式，结合最小正周期公式求解即可；对B，根据判断即可；对C，根据判断即可；对D，化简判断即可.【详解】对A，，又最小正周期为，故，则，故A错误；对B，，当时，，为正弦函数的单调递增区间，故B正确；对C，，故不是的一个对称中心，故C错误；对D，为偶函数，图像关于轴对称，故D正确.故选：BD10．已知曲线，则（

）A．直线与曲线相切B．若直线与曲线相切，则C．当曲线与曲线都相切时，D．当时，若过原点可作曲线的两条切线，则或【答案】ACD【分析】根据导数的几何意义可得.【详解】选项A：联立和2，得，所以直线与曲线相切，故A正确；选项B：由，得，由，得，故B错误；选项C：由，得，令，得，则，所以切线方程为，即，则，令，得，则，所以切线方程为，即，则，所以，故C正确；选项D：当时，，令，则，设过原点的直线与曲线切于点，则切线方程为，将原点代入得，整理得，则，解得或，故D正确.故选：ACD.11．给定数列，定义差分运算：．若数列满足，数列的首项为1，且，则（

）A．存在，使得恒成立B．C．对任意，总存在，使得D．对任意，总存在，使得【答案】AB【分析】由已知求出、即可判断A；利用累加法结合错位相减法求和求出，即可判断B，结合数列的单调性判断C，求出及的范围判断D.【详解】对于A，由，得，则，显然当时，恒成立，故A正确；对于B：由，得，当时，即，于是，两式相减得，因此，显然满足上式，则，故B正确；对于C：由，所以数列是递增数列，则有最小值，无最大值，当时，不存在，使得，故C错误；对于D，，由选项B得，显然数列是递减数列，且，因此当时，不存在，使得成立，故D错误.故选：AB第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为．【答案】【分析】由直线方程求得其在坐标轴上截距，可得椭圆的的值，根据离心率的计算，可得答案.【详解】当时，由，则；当时，由，则，由题意可得为椭圆的顶点，则椭圆的方程为，所以，可得，所以离心率.故答案为：.13．已知，则.【答案】【分析】由得到，由两角和差余弦公式展开化简即可求解；【详解】由，得：，，，所以，故答案为：14．在正三棱锥中，，点在内部运动（包括边界），点到棱的距离分别记为，且，则点运动路径的长度为．【答案】【分析】分析可知，结合正三棱锥可得在底面内的投影为底面的中心，且，做辅助线结合长方体的性质可得，即可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆的一部分即可求解.【详解】由题意可知：，则，可知，因为三棱锥为正三棱锥，则点在底面内的投影为底面的中心，取的中点，则，，设点在平面、平面和平面内的投影分别为、和，根据正三棱锥的结构特征，可以以为邻边作长方体，则平面，平面，则，即，同理可知：，由长方体的性质可知：，可得，即，又因为平面，平面，则，可得，可知点在以点为圆心，半径的圆上，因为，可知与圆相交，设圆与交于两点，则，可知为等边三角形，则，结合对称性可知点运动路径的长度为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知函数，，为函数的导函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若任意，恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）先对参数进行分类讨论，再利用导数求解单调性即可.（2）利用分离参数法得到，再利用导数得到，最后得到参数范围即可.【详解】（1）因为，且定义域为，所以，令，则，（1分）当时，，函数在上单调递增；（3分）当时，令，得到，令，得到，（5分）故函数在上单调递减，在上单调递增；综上：当时，在上单调递增；当时在上单调递减，在上单调递增．（6分）（2）由（1）得，因为对于任意，恒成立，所以恒成立，化简得恒成立，故恒成立，（7分）令，则恒成立，，（8分）令，则，（10分）得到在单调递增，即（11分）故，在单调递增，而，（12分）即，故.（13分）16．（15分）如图，在三棱柱中，，，(1)求证：；(2)侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，在靠近的三等分点处.【分析】（1）根据这条件证明平面，即可证得结果；（2），以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解.【详解】（1）证明：在三棱柱中，取的中点，连接，，在与中，，（2分）由，同理，，（4分）由平面；（6分）（2）在中，，，则，（7分）在中，，，，同理，在等腰，，，（8分）在中，由余弦定理得：，即，（9分）在平面内过作，则平面，于是直线，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，在平面内过作于，则平面，则，，，，（10分）则，，设平面的法向量为，则，（11分）取平面的一个法向量，（12分）设，，则，（13分）由与平面所成角的正弦值为，得，（14分）整理得，解得或（舍），即在靠近的三等分点处.（15分）17．（15分）在中，内角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若.（i）求；（ii）过边上一点作的垂线，垂足分别为，求的最小值.【答案】(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）对所给条件切化弦，结合三角形内角和以及正弦定理化简可求出，从而求出角的大小；（2）（i）由三角形内角和可求出，结合正弦定理可求出边；（ii）法一：根据直角三角形角的关系可设，则均可用表示，余弦定理计算，结合二次函数的性质可求出最小值；法二：由，可知四点共圆，从而表示，转化为求最小值，数形结合，当时，最小，在直角三角形中求出最小值即可求出最小；法三：以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，求出点坐标，利用两点距离公式可求出最小值.【详解】（1）在中，.（1分）由及正弦定理得，，（2分）整理得.（3分）由于，则.（4分）又，故.（5分）（2）（i）在中，，且，（6分）由正弦定理得，，即，（7分）得.（9分）（ii）由于，则与互补，故.（10分）设，则，，（11分）则（12分）.（14分）当时，取得最小值为.（15分）18．（17分）如图，甲、乙、丙、丁按顺时针方向依次围坐在圆桌周围玩掷骰子游戏，规定：每次随机掷3枚骰子，观察骰子向上的点数，第一次由甲掷骰子．若掷出的骰子中没有点数大于3的骰子，则下一次由甲继续掷骰子；若掷出的骰子中有1枚点数大于3的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第1个人，即下一次由乙继续掷骰子；若掷出的骰子中有2枚点数大于3的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第2个人，即下一次由丙继续掷骰子；若掷出的骰子中有3枚点数大于3的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第3个人，即下一次由丁继续掷骰子．记第二次掷骰子的人为A（A为甲或乙或丙或丁），若A掷出的骰子中有i枚点数大于3的骰子，则按顺时针方向数，第三次由A后面的第i个人掷骰子（若i=0，则第三次由A继续掷骰子）．此后每次掷骰子由此类推．(1)分别求出第二次由甲、乙、丙、丁掷骰子的概率；(2)记前三次中甲掷骰子的次数为X，求X的分布列及期望；(3)记第n次由甲掷骰子的概率为，第n次由丙掷骰子的概率为，证明：当时，．【答案】(1)，，，．(2)分布列见解析，(3)证明见解析【分析】(1)由独立事件的概率乘法公式求解；(2)的取值可能为1，2，3，依次求出概率即可计算数学期望；(3)记第次由乙掷骰子的概率为，记第次由丁掷骰子的概率为，①，②．两式相加即可求解．【详解】（1）记为掷出的骰子中有枚点数大于3的骰子的概率，．（1分）第二次由甲掷骰子的概率．第二次由乙掷骰子的概率．第二次由丙掷骰子的概率．第二次由丁掷骰子的概率．（5分）（2）的取值可能为1，2，3前三次中甲掷骰子的次数为3，即第二，三次均由甲掷骰子，其概率为（6分）前三次中甲掷骰子的次数为1，即甲第二，三次均没有掷骰子，分三种情况：第二次乙郑骰子且第三次甲没有掷骰子；第二次丙掷骰子且第三次甲没有掷骰子；第二次丁掷骰子且第三次甲没有掷骰子．其概率为．（7分）前三次中甲掷骰子的次数为2的概率为，（8分）的分布列为123（9分）．（10分）（3）证明：记第次由乙掷骰子的概率为，记第次由丁掷骰子的概率为，①，（12分）②．（14分）②+①得．（16分）因为，所以．故当时，．（17分）19．（17分）已知双曲线E：的左，右焦点