新人教版高中数学必修第二册-6.2.4第2课时 向量数量积的运算－同步练习【含答案】

新人教版高中数学必修第二册-6.2.4第2课时向量数量积的运算－同步练习基础强化1.已知|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．3B．1C．2D．02．已知正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，则(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．－2B．0C．eq\f(1,2)D．23．若向量a与向量b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝()A．12B．6C．4D．24．已知a，b均为单位向量且夹角为60°，则下列向量与a垂直的是()A．a－2bB．2a－bC．a＋2bD．2a＋b5．(多选)下列运算正确的是()A．(－3)·2a＝－6aB．2(a＋b)－(2b－a)＝3aC．(a＋2b)－(2b＋a)＝0D．2(3a－b)＝6a－2b6．(多选)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论不正确的是()A．0·a＝0B．(a·b)·c＝a·(b·c)C．a·b＝0⇒a⊥bD．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|27．已知向量a、b为单位向量，且a⊥b，则b·(4a－3b)＝________．8．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为________．9．已知向量|a|＝2，|b|＝3，向量a、b的夹角为eq\f(π,3).(1)求(a＋b)·(2a－b)的值；(2)求|3a－2b|﹒10．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝eq\f(3,4).(1)求|b|；(2)当a·b＝－eq\f(1,4)时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．能力提升11.设a、b是两个非零向量，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))，则a与b夹角的大小为()A．120°B．90°C．60°D．30°12．平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则|a－2b|＝()A．eq\r(13)B．13C．eq\r(21)D．2113．已知向量a－b与向量b均为单位向量，且它们的夹角为60°，则向量a在向量b上的投影向量为()A．－eq\f(1,2)aB．eq\f(3,2)bC．－eq\f(1,2)bD．eq\f(3,2)a14．(多选)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1且|b－2a|＝eq\r(5)，则下列结论正确的是()A．|a－b|＝eq\r(2)B．|a＋b|＝2C．向量a与b的夹角为60°D．a⊥b[答题区]题号12345611121314答案15.已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围是________．16．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，且|a＋2b|＝eq\r(7).(1)求向量a，b的夹角θ；(2)若(a＋λb)⊥(2a－b)，求实数λ的值．参考答案1．解析：由已知可得a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2＋1＝3.故选A.答案：A2．解析：(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0＋1×2＝2.故选D.答案：D3．解析：因为(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－4|a|cos60°－6×16＝－72，解得|a|＝－4(舍)，或|a|＝6，所以|a|＝6.故选B.答案：B4．解析：由题意得|a|＝|b|＝1，且a·b＝|a||b|cosθ＝eq\f(1,2)，对于a－2b，有a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2×eq\f(1,2)＝0，同理得a·(2a－b)＝eq\f(3,2)，a·(a＋2b)＝2，a·(2a＋b)＝eq\f(5,2)，只有a－2b与a垂直．故选A.答案：A5．解析：由题意，A项，(－3)·2a＝－6a，A正确．B项，2(a＋b)－(2b－a)＝2a＋2b－2b＋a＝3a，B正确．C项，(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，C错误．D项，2(3a－b)＝6a－2b，D正确．故选ABD.答案：ABD6．解析：对于A选项，0·a＝0，A选项错误；对于B选项，(a·b)·c表示与c共线的向量，a·(b·c)表示与a共线的向量，但a与c不一定共线，B选项错误；对于C选项，a·b＝0⇒a⊥b，C选项正确；对于D选项，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，D选项正确．故选AB.答案：AB7．解析：因为a⊥b，所以a·b＝0，又因为向量a、b为单位向量，所以b·(4a－3b)＝4a·b－3b2＝0－3×12＝－3.答案：－38．解析：因为a·(b－a)＝2，|a|＝1，所以a·b＝3，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)9．解析：(1)a·b＝|a|·|b|·coseq\f(π,3)＝2×3×eq\f(1,2)＝3，(a＋b)·(2a－b)＝2|a|2＋a·b－|b|2＝2×22＋3－32＝2.(2)|3a－2b|＝eq\r(（3a－2b）·（3a－2b）)＝eq\r(9|a|2－12a·b＋4|b|2)＝eq\r(9×22－12×3＋4×32)＝6.10．解析：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝eq\f(3,4)，即a2－b2＝eq\f(3,4)，即|a|2－|b|2＝eq\f(3,4)，所以|b|2＝|a|2－eq\f(3,4)＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，故|b|＝eq\f(1,2).(2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，所以cosθ＝eq\f(a·（a＋2b）,|a|·|a＋2b|)＝eq\f(1,2)，又θ∈[0，π]，故θ＝eq\f(π,3).11．解析：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，∴(a＋b)·(a＋b)＝(a－b)·(a－b)，∴可得a·b＝0，∵a、b是非零向量，∴a⊥b，即a与b夹角的大小为90°.故选B.答案：B12．解析：由a⊥(a－b)得：a·(a－b)＝a2－a·b＝0，所以a·b＝a2＝1，其中(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝1－4＋16＝13，故|a－2b|＝eq\r(13).故选A.答案：A13．解析：∵(a－b)·b＝1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，∴a·b－b2＝eq\f(1,2)，则a·b＝eq\f(3,2)，故向量a在向量b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)＝|a|·eq\f(a·b,|a||b|)·eq\f(b,|b|)＝eq\f(3,2)b.故选B.答案：B14．解析：因为|b－2a|＝eq\r(5)，所以b2－4a·b＋4a2＝5；因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，所以a⊥b，故C错误，D正确；因为|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2，所以|a－b|＝eq\r(2)，A正确；因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝2，所以|a＋b|＝eq\r(2)，B错误．故选AD.答案：AD15．解析：因e1与e2是两个互相垂直的单位向量，则e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，又向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则(e1＋ke2)·(ke1＋e2)>0，且向量e1＋ke2与ke1＋e2不共线，由(e1＋ke2)·(ke1＋e2)>0得keeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋keeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋(k2＋1)e1·e2＝2k>0，解得k>0，当向量e1＋ke2与ke1＋e2共线时，k2＝1，解得k＝±1，因此向量e1＋ke2与ke1＋e2不共线，有k≠－1且k≠1，所以k的取值范围是k>0且k≠1，即k∈(0，1)∪(1，＋∞)．答案：(0，1)∪(1，＋∞)16．解析：(1)由|a＋2b|＝eq\r(7)平方得|a|2＋4|a|·|b|·cosθ＋4|b|2＝7，∵|a|＝3，|b|＝1，∴9＋4×3×1×cosθ＋4＝7，解得cos