高中数学第9章 统计复习课-2024-2025学年高一数学人教A版2019必修第二册

人教A版高一数学必修二第二学期第9章统计复习课第9章统计复习课核心素养目标1.数学抽象：从实际数据中抽象出统计概念（如平均数、方差），建立数据特征的数学表达。2.直观想象：通过统计图表（直方图、箱线图等）直观理解数据分布规律，将抽象数据转化为图形表征。3.逻辑推理：能整理、分析数据并提取有效信息。4.数学运算：用统计方法解决实际问题。教学目标教学重点：

1.

统计图表（频率分布直方图、茎叶图等）的绘制与解读。2.

样本数字特征（均值、方差、中位数等）的计算与应用。教学难点：1.

频率分布直方图中组距对数据的影响及面积含义。2.

统计方法的实际应用（如抽样方法选择、误差分析）。抽签法随机数法知识讲解知识讲解抽样方法的选取及应用1.三种抽样方法的适用范围：当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法；当总体中个体差异较显著时，可采用分层随机抽样，但是要明确是否按比例分配.2.掌握不同抽样方法，提升数据分析素养.6知识讲解知识讲解①某小区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家庭120户，为了了解有关家用轿车购买力的某个指标,要从中抽取一个容量为100的样本;②从10名学生中抽取3人参加座谈会.方法：(1)简单随机抽样；(2)分层随机抽样.则问题与方法配对正确的是().（A）①(1)，②(2)（B）①(2)，②(1)（C）①(1)，②(1)（D）①(2)，②(2)解析：问题①中的总体是由差异明显的几部分组成的，故可采用分层随机抽样方法；问题②中总体的个数较少，故可采用简单随机抽样.知识讲解以下抽样方法是简单随机抽样的是：A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的是三等奖B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上,每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D.用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验选项A，B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；选项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；选项D是简单随机抽样.√9知识讲解

一个单位有职工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其他人员有120人.为了解职工收入情况，决定采用按比例分配分层随机抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是A.12,24,15,9 B.9,12,12,7C.8,15,12,5 D.8,16,10,6√分层随机抽样，按比例分配.由题意知，各种职称的人数比为160∶320∶200∶120＝4∶8∶5∶3，10知识讲解利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为()A.B.

C.D.分层随机抽样，按比例分配.√知识讲解某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．18知识讲解某单位有职工960人，其中青年职工420人，中年职工300人，老年职工240人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为14人，则样本量为________．32知识讲解以下抽样方法是简单随机抽样的是A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽

取的方式确定号码的后四位为2709的是三等奖B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D.用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验选项A，B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；选项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；选项D是简单随机抽样.√一、抽样方法的选取及应用

将一个总体分为A,B,C3层，其个体数之比为5:3:2.若3层的样本平均数分别为15，30，20，则样本平均数为________．20.532----分层抽样的样本均值权重，比例层(组)内平均值加权平均数知识讲解知识讲解某校有男教师160人，女教师140人，为了调查教师的运动量的平均值(通过微信步数)，按性别比例分配进行分层随机抽样，通过对样本的计算，得出男教师平均微信步数为12500步，女教师平均微信步数为8600步，则该校教师平均微信步数为（

）A．12500B．10680C．8600D．10550√16知识讲解用样本的取值规律估计总体的取值规律1.根据样本容量的大小，我们可以选择利用样本的频率分布表、频率分布直方图对总体情况作出估计.2.掌握频率分布直方图的绘制及应用，提升数据分析和数学运算素养.二、用样本的取值规律估计总体的取值规律求极差决定组距和组数将数据分组列频率分布表画频率分布直方图画频率分布直方图的步骤3.各小长方形的面积的总和等于1.1.纵轴表示：知识讲解知识讲解

为了解高一年级学生的智力水平，某校按1∶10的比例对700名高一学生按性别分别进行“智力评分”抽样检查，测得“智力评分”的频数分布表如表1、表2.表1：男生“智力评分”频数分布表智力评分(分)[160,165)[165,170)[170,175)频数2514智力评分(分)[175,180)[180,185)[185,190]频数1342表2：女生“智力评分”频数分布表智力评分(分)[150,155)[155,160)[160,165)频数1712智力评分(分)[165,170)[170,175)[175,180]频数631(1)求高一年级的男生人数，并完成右面男生“智力评分”的频率分布直方图；样本中男生人数是40，由抽样比例是1∶10可得高一年级男生人数是400，(2)估计该校高一年级学生“智力评分”在[165,175)内的人数.样本中“智力评分”在[165,175)内的频数为28，所以估计该校高一年级学生“智力评分”在[165,175)内的学生人数为28×10＝280.19知识讲解

某电子商务公司对10000名网络购物者2022年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的a＝______；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________.1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1,解得a＝3.2)由频率分布直方图得消费金额在区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故消费金额在[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10000＝6000.36000知识讲解从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31，5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45，5.47)，[5.47，5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为(

)

A．10

B．18C．20

D．36【解析】由题知[5.43，5.45)与[5.45，5.47)所对应的小矩形的高分别为6.25，5.00，所以[5.43，5.47)的频率为(6.25＋5.00)×0.02＝0.225，所以直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为80×0.225＝18，故选B.√知识讲解如图为2018—2021年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是(

)A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大B．从2018年开始，进出口总额逐年增大C．从2018年开始，进口总额逐年增大D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小【答案】C知识讲解（多选题）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布扇形图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中一定正确的是（)A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前多D．互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80后多90后【答案】ABC知识讲解样本的百分位数样本的百分位数计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第一步:按从小到大排列原始数据；第二步:计算i=n×p%；第三步:若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据；若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.1.用原始数据求百分位数知识讲解知识讲解常用分位数：第25百分位数，第50百分位数（中位数），第75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数.第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数.第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，第99百分位数也常用.样本的百分位数用频率分布表估算第p百分位数第一步：算每个小矩形的面积、累加，找到第p百分位数所在区间；第二步：根据小矩形的面积之和等于p％，列方程求解.3.频率分布直方图估算第p百分位数第一步：频率累加，找到第p百分位数所在区间；第二步：根据比例列方程求解.LminLmanPpnp%f百分位数计算公式变形变形abPfa%百分位数计算公式知识讲解知识讲解某产品售后服务中心随机选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量(单位：次)：63

38

25

42

56

48

53

39

28

47则上述数据的50%分位数为________.把这组数据从小到大排序为25,28,38,39,42,47,48,53,56,63，因为10×50%＝5.44.5知识讲解

欧洲联盟委员会和荷兰环境评估署公布了2021年全球主要20个国家和地区的人均二氧化碳排放量，统计数据如下：7.4,16.6,7.3,1.7,12.6,10.7,10.2,12.7，15.7,2.6，16.6,2.0,7.5,3.9,5.3,16.9,6.4，5.7,6.2,8.5.估计这些国家和地区人均二氧化碳排放量的四分位数.把这20个国家和地区的人均二氧化碳排放量按从小到大的顺序排列为1.7,2.0,2.6,3.9,5.3,5.7,6.2,6.4,7.3,7.4,7.5,8.5,10.2,10.7,12.6,12.7,15.7,16.6,16.6,16.9.三、样本的百分位数例2

根据频率分布直方图估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数.3.用频率分布表、频率分布直方图估算百分位数0.230.320.130.090.09x-13.280％分位数与百分位对应在频率分布直方图中，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的.此时，通常假设它们在组内均匀分布.知识讲解知识讲解利用频率分布直方图估计第p百分位数的步骤：第一步：算每个小矩形的面积、累加，找到第p百分位数所在区间；第二步：根据小矩形的面积之和等于p％，列方程求解.知识讲解某地教育部门为了调查考生在数学考试中的有关信息，从上次参加考试的10000名考生中用按比例分配分层随机抽样的方法抽取了500名，并根据这500名考生的数学成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，估计这10000名考生中数学成绩的第80百分位数是多少.解：考生中成绩在130分以下的频率为：(0.016＋0.004＋0.012＋0.016＋0.024)×10＝0.72＜0.8考生中成绩在140分以下的频率为0.72＋0.020×10＝0.92＞0.8∴成绩的第80百分位数一定在[130,140)内设80%分位数是x

，则72％+(x-130)×0.02=80%知识讲解某无人机厂家为了解所生产的某类型无人机的飞行时长，随机抽取100架该类型无人机进行测试，统计得到如下频率分布表：问：估计该类型无人机飞行时长的第60百分位数（最终结果保留整数）知识讲解用样本的集中趋势、离散程度估计总体1.为了从整体上更好地把握总体规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数估计总体的集中趋势，通过样本数据的方差或标准差估计总体的离散程度.2.掌握样本数据的众数、中位数、平均数及方差的计算方法，提升数据分析和数学运算素养.知识讲解1.用原始数据求众数、中位数、平均数已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________．一组样本数为:19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27,则这组数据的众数和中位数分别为(

)A．14,14

B．12,14C．14,15.5D．12,15.5解：把这组数据按从小到大排列为：10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27，则可知其众数为14，中位数为14.知识讲解2.频率分布直方图估算众数、中位数、平均数在频率分布直方图中，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的.此时，通常假设它们在组内均匀分布.加权平均数组内平均值权重，比例平均数：每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和中位数：中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等众数：最高矩形的中点知识讲解2.频率分布直方图估算众数、中位数、平均数

某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问n名职工，根据这n名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[80,90)[90,100]，其中在[80,90)内抽取人数为44人。(1)求n的值是多少；(2)求频率分布直方图中a的值；(3)求评分的众数和平均数；(4)求这组数据的中位数；(5)从评分在[40,60)的受访职工中，按分层抽样抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)内的概率.知识讲解2.频率分布直方图估算众数、中位数、平均数(1)求n的值是多少；解：[80,90)的频率为0.022×10=0.22∴n=44÷0.22=200知识讲解2.频率分布直方图估算众数、中位数、平均数2)求频率分布直方图中a的值；解：由(0.004＋a＋0.022＋0.028＋0.022+0.018)×10＝1，解得a＝0.006知识讲解2.频率分布直方图估算众数、中位数、平均数(3)求评分的众数和平均数；解：众数为：(70+80)÷2=75评分的平均数为：45×0.04+55×0.06+65×0.22+75×0.28+85×0.22+95×0.18=76.2知识讲解2.频率分布直方图估算众数、中位数、平均数(4)求这组数据的中位数；解：评分在70分以下的频率为：(0.004＋0.006＋0.022)×10＝0.32＜0.5评分在80分以下的频率为0.32＋0.028×10＝0.6＞0.5∴成绩的中位数一定在[70,80)内设中位数是x

，则0.32+(x-70)×0.028=0.5∴x≈76.43知识讲解2.频率分布直方图估算众数、中位数、平均数(5)从评分在[40,60)的受访职工中，按分层抽样抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)内的概率.解：评分在[40,50)、[50,60)的频率分别为：0.004×10=0.04、0.006×10=0.06∴在[40,50)内抽取的人数为：∴在[50,60)内抽取的人数为：5-2=3知识讲解五、用样本的离散程度估计总体1.样本方差、样本标准差的定义

如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为

，则称s2=_______________为样本方差，s=________为样本标准差

．2.样本方差、样本标准差的意义和性质

标准差和方差刻画了数据的______程度或波动幅度．标准差（或方差）越大，数据的离散程度越____，越不稳定；

标准差（或方差）越小，数据的离散程度越____，越稳定．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用_______.离散大小标准差知识讲解五、用样本的离散程度估计总体

某工厂36名工人的年龄(单位：岁)数据如下：40,44,40,41,33,40,45,42,43,36,31,38,39,43,45,39,38,36,27,43,41,37,24,42,37,44,42,34,39,43,38,42,53,37,49,39.利用简单随机抽样抽取容量为9的样本，其年龄数据为44,40,36,43,36,37,44,43,37.知识讲解解：即40,40,41，…，39，共23人.五、用样本的离散程度估计总体知识讲解某汽车租赁公司为了调查A型汽车与B型汽车的出租情况，现随机抽取这两种车各50辆，分别统计每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型汽车出租天数34567车辆数330575B型汽车出租天数34567车辆数101015105(1)试根据上面的统计数据，判断这两种车在某个星期内的出租天数的方差的大小关系(只需写出结果)；由数据的离散程度，可以看出B型汽车在某个星期内出租天数的方差较大.知识讲解(2)如果A型汽车与B型汽车每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车，并说明你的理由.50辆A型汽车出租天数的平均数为50辆B型汽车出租天数的平均数为方案一：A型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.62，B型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.8，选择B型汽车的出租车的利润较大，应该购买B型汽车.方案二：A型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.62，B型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.8，而B型汽车出租天数的方差较大，所以应该购买A型汽车.知识讲解某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩(单位：分)，整理数据并按分数段[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行分组．已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据，得到体育成绩的折线图如图所示．(1)若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良生”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校高一年级学生“体育良生”的人数；(2)用样本估计总体的思想，试估计该校高一年级学生达标测试的平均分；知识讲解(1)若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良生”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校高一年级学生“体育良生”的人数；(2)用样本估计总体的思想，试估计该校高一年级学生达标测试的平均分；五、用样本的离散程度估计总体五、用样本的离散程度估计总体平均数、方差的性质(2)若x1,x2,…,xn,的平均数为5,方差为2,那么这组数据均乘以4后的平均数为____方差为_____(1)若x1,x2,…,xn,的平均数为3,方差为4,那么x1+3,x2+3,…,xn+3,的平均数为____方差为_____(3)若k1,k2,…,k8的平均数为4,方差为3，则2(k1－3),2(k2－3),…,2(k8－3)的平均数为