《高等数学》上册课件01-07函数的连续性

1.7函数的连续性第一章函数、极限与连续

基础教学部函数的连续性01函数的间断点02目录初等函数的连续性03闭区间上连续函数的性质041.7.1函数的连续性3对应的函数值的差称为函数的改变量（或增量），记作设函数在点的某邻域内有定义，当自变量由变到时，差称为自变量在点的改变量（或增量），记作一般地，可以为正值，可以为负值，也可以为零．既与点有关，也与的增量有关．1.7.1函数的连续性4定义1设函数在点的某邻域内有定义，如果在处当自变自变量的改变量趋于零时，对应函数的改变量也趋于零，即那么函数在点处是连续的．称为函数的连续点．定义2设函数在点的某邻域内有定义，如果函数满足那么函数在点处是连续的．称为函数的连续点．如果，那么称函数在点处右连续．1.7.1函数的连续性5例1证明函数在点处连续．证函数在

处的改变量为因为所以函数在点处连续．如果，那么称函数在点处左连续；函数在点处连续的充分必要条件是函数在点处既左连续又右连续．1.7.1函数的连续性6例2讨论函数在点处的连续性．解

又即函数在点处连续．1.7.1函数的连续性7如果函数在开区间内的每一点连续，那么称函数在区间内连续．如果函数在内连续，且在处右连续，在处左连续，那么称在闭区间上连续．函数在区间上连续，称它是上的连续函数．可以证明：一切基本初等函数在其定义域内都是连续的．函数的连续性01函数的间断点02目录初等函数的连续性03闭区间上连续函数的性质041.7.2函数的间断点9如果函数在点处不连续，那么称在点处间断，点称为函数的间断点．由函数在点处连续的定义可知，函数在点处连续，必须同时满足以下三个条件：（1）在点的某邻域有定义；（2）存在；（3）．如果上述三条件中任何一个不满足，那么点就是函数的间断点．1.7.2函数的间断点10根据函数在间断点处单侧极限的情况，将间断点分为两类：(1)如果点是函数的间断点，并且函数在点处的左极限，右极限都存在，那么称点是函数的第一类间断点．(2)如果点是函数的间断点，但不是第一类间断点，那么称点是函数的第二类间断点．在第一类间断点中，如果左极限与右极限相等，即存在．那么称此间断点为可去间断点．如果点是函数可去间断点，那么我们可以补充定义或者修改的值，由构造出一个在点处连续的函数．1.7.2函数的间断点11例如，函数在处无定义，因此是该函数的间断点．因为，那么在处，为连续函数．在第一类间断点中，如果左极限与右极限不相等，此间断点称为跳跃间断点．如果定义1.7.2函数的间断点12在第二类间断点中，如果当或时，，那么称为函数的无穷间断点．例3求函数间断点，并判断其类型．解令，得函数的间断点为，，为函数的可去间断点．为函数的无穷间断点．1.7.2函数的间断点13例4讨论函数，在处的连续性．解在处，，所以，所以为函数的可去间断点．又因为，所以在处不连续，1415函数的连续性01函数的间断点02目录初等函数的连续性03闭区间上连续函数的性质041.7.3初等函数的连续性17定理1（连续函数的四则运算）如果函数在点处连续，那么证（仅证和的形式）一、连续函数和、差、积、商的连续性在点处连续．连续函数的和、差、积、商（若分母不为零）都是连续函数．因为在处连续，即由极限的四则运算法则可得，所以在处连续．1.7.3初等函数的连续性18定理2若函数在处连续，又函数在点处连续，二、复合函数的连续性且，则复合函数在点处连续．因为在点处连续，所以，即，又因为在点处连续，所以可见，求复合函数的极限时，如果在点处极限存在，又在对应的处连续，则极限符号可以与函数符号交换．1.7.3初等函数的连续性19例5求极限．解函数可以看成是由和复合而成．由于，而在处连续．由定理2知1.7.3初等函数的连续性20三、初等函数的连续性由初等函数的定义，基本初等函数的连续性，连续函数的四则运算以及复合函数的连续性，可以得出如下重要结论：根据这个结论，如果是初等函数，是其定义域内的一点，那么一切初等函数在其定义区间内都是连续的．求时，只需将代入函数求其函数值即可．例6求．解因为是初等函数的定义域内的一点，所以函数的连续性01函数的间断点02目录初等函数的连续性03闭区间上连续函数的性质041.7.4闭区间上连续函数的性质22定义3设函数在区间上有定义，如果存在，使得对于任意的都有那么称是函数在区间上的最大值（或最小值）；称为函数的最大值点（或最小值点）．最大值和最小值统称最值．定理3（最值定理）如果函数在闭区间

上连续，那么函数在

上必取得最大值和最小值．1.7.4闭区间上连续函数的性质23定理3（最值定理）如果函数在闭区间

上连续，那么函数在

上必取得最大值和最小值．注意两点：（1）若把定理中的闭区间改成开区间，定理的结论不一定成立，例如函数在

内是连续的，但它在

内既无最大值又无最小值．（2）若函数在闭区间内有间断点，定理的结论不一定成立，例如函数在

间断，在

上既无最大值也无最小值．1.7.4闭区间上连续函数的性质24定理4（介值定理）若函数在闭区间上连续，，设是介于与之间任一值，则在内至少存在一点使得几何意义：平行于轴的直线至少与上的连续曲线

相交于一点．1.7.4闭区间上连续函数的性质25推论（零点定理）若函数在

上连续且，则至少存在一点，使得即方程在内至少存在一个根．几何意义：如果异号，那么连续曲线与轴

至少有一个交点．1.7.4闭区间上连续函数的性质26