01-02极限的概念章节课件

1.2极限的概念第一章函数、极限与连续

基础教学部数列极限的概念01函数极限的概念02目录1.2.1数列的极限3为了求圆的面积，可以先作圆的内接正四边形并用此四边形面积来作为圆面积的第一次近似．进一步可作圆的内接正八边形，并记内接正八边形的面积为，作为圆面积的第二次近似．照此下去，可作圆的一系列内接正边形，依次可得相应的面积为，，…，，…，当内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越近，当无限增大时，圆内接正多边形的面积就无限接近于圆面积．也即当无限增大时，圆内接正边形面积也不断增大，且在向某个定数（圆的面积）不断接近．若将这一定数称为的极限，则可以说：圆内接正边形面积的极限就是圆的面积．1.2.1数列的极限4一、数列定义1按一定顺序排列起来的无穷多个数称为无穷数列．记作，通常称为数列的第一项，为第2项，…，为第项…．一般地，将数列的第项称为通项（或一般项）．例如数列：1.2.1数列的极限5二、数列的极限考察数列：当无限增大时，趋向于确定的常数1，或者说数列收敛于1，并称1为该数列的极限．1.2.1数列的极限6二、数列的极限定义2如果当无限增大时（记为），无限趋近于一个确定的常数，我们就称是数列

的极限，或称趋于，记为当时，如果不趋向于一个确定的常数，我们就说数列没有极限．通常称存在极限的数列为收敛数列，而不存在极限的数列为发散数列．1.2.1数列的极限7二、数列的极限例1讨论数列、的极限．解当时，数列由的两侧无限接近于1，因而该数列的极限为1，即当时，数列在

与

两点来回跳动，不接近于任何确定的常数，故数列为发散数列．数列极限的概念01函数极限的概念02目录1.2.2函数的极限9极限的一种特殊类型．数列可以看作自变量取正整数的函数，数列的极限是函数（1）当自变量的绝对值无限增大（记作）时，对应的函数的变化情形．（2）当自变量无限接近（记作）时，对应的函数的变化情形．下面讨论一般函数的极限．主要研究两种情形：一确定的常数，就称当时，函数以为极限．这样一个变化过程中，函数的函数值的变化趋势；若无限接近某1.2.2函数的极限10一、时函数的极限若取正值且无限增大，记作，读作“趋于正无穷大”；若取负值且其绝对值无限增大，记作，读作“趋于负无穷大”；若既能取正值又能取负值且其绝对值无限增大，记作，读作“趋于无穷大”；所谓“当时函数的极限”，就是讨论当自变量趋于无穷大1.2.2函数的极限11一、时函数的极限定义3一般地，设函数在时有定义，若当时，函数无限接近于某个确定的常数，则称函数当时以为极限，记作例如：当时，，记作；当时，，记作；当时，，记作．1.2.2函数的极限12一、时函数的极限定义4一般地，设函数在时有定义，若当时，函数无限接近于某个确定的常数，则称函数当时以为极限，记作例如：当时，，记作；当时，，记作；当时，，记作．1.2.2函数的极限13一、时函数的极限定义5一般地，设函数在时有定义，若当时，函数无限接近于某个确定的常数，则称函数当时以为极限，记作定理1的充要条件是．1.2.2函数的极限14二、时函数的极限例2设，试讨论当时函数的变化情况．x00.90.990.9990.99990.999990.999999…f（x）11.91.991.9991.99991.999991.999999…x21.11.011.0011.00011.000011.000001…f（x）32.12.012.0012.00012.000012.000001…当越来越接近1时，相应的函数值越来越接近2．容易想到，当无限接近于1时，函数的相应的函数值将无限地接近于2．1.2.2函数的极限15二、时函数的极限例2设，试讨论当时函数的变化情况．曲线上的动点，当其此种情况，就称当时，函数以横坐标无限接近1时，即时，点将向定点无限接近，即．2为极限，并记作1.2.2函数的极限16二、时函数的极限例3设，试讨论当时函数的变化情况．函数中，，但是，当时，也趋向于2，即函数当时以2为极限，记作．1.2.2函数的极限17二、时函数的极限若，且趋于，记作；若，且趋于，记作．若和同时发生，则记作．定义7若当时，函数趋于常数，则称函数以为左极限，记作定义8若当时，函数趋于常数，则称函数以为右极限，记作函数在点的左极限和右极限也分别记作和．左极限和右极限统称单侧极限．1.2.2函数的极限18二、时函数的极限定义6设函数在点的某个去心邻域内有定义，若当时，函数无限接近于某个确定的常数，则称函数当时以为极限，记作定理2的充要条件是．1.2.2函数的极限19二、时函数的极限解因为即在点的左右极限存在但不相等，因此

不存在．例3考察分段函数：在点处的极限.1.2.2函数的极限20二、时函数的极限不管数列还是函数，都是变量．因此对于求极限的方式包括，，，，，，等，都是对变量求极限．所以，以上学习的各种极限的定义可以统一于下面的定义之中：在自变量（可以是或）某一变化过程中，如果变量（可以是数列或函数）无限地接近于某个确定的常数，就称变量以为极限，记为1.2.2函数的极限21三、函数极限的性质函数极限的唯一性如果存在，则极限是唯一的．函数极限的局部有界性如果