11-03n维向量及向量间的线性关系章节课件

n维向量及向量间的线性关系第十一章线性方程组基础教学部n维向量的定义01向量间的线性关系02目录11.3.1n维向量的定义3定义1

由n个实数组成的有序数组称为n

维向量.记为或其中ai（或bi）称为n

维向量α（或β）的第i

个分量.向量一般用小写希腊字母α,β,γ

等表示.α

称为n

维列向量，β称为n

维行向量.要把列（行）向量写成行（列）向量，可用转置记号，例如

可写成11.3.1n维向量的定义4矩阵中的每一行都是n维向量，称为矩阵A

的行向量.每一列都是m维向量，称为矩阵A

的列向量.n维向量和n×1矩阵（即列矩阵）是本质相同的两个概念，所以，我们规定n

维向量的相等、相加、数乘与列矩阵的相等、相加、数乘都是对应相同的.n维向量的定义01向量间的线性关系02目录11.3.2向量间的线性关系6线性方程组令1．线性组合则（3-1）（3-2）线性方程组的向量形式11.3.2向量间的线性关系7线性方程组（3-1）是否有解，就相当于是否存在一组数：使成立.即常数列向量β

是否可以表示成系数列向量组的线性关系式.如果可以，则方程组有解，否则，方程组无解.β

可以表示成上述关系式时，称β

是向量组的线性组合，或者称β

可由向量组线性表示.定义2设n维向量

，如果存在一组数，使则称β

是向量组的线性组合，或者称β

可由向量组线性表示.11.3.2向量间的线性关系8例1任何一个n

维向量

都是n维向量组定理1设向量可由向量组线性表示的充分必要条件是以

为系数列向量，以为常数列向量的线性方程组有解.

的线性组合.因为称为n

维单位向量组.例2零向量是任何一组向量的线性组合.因为11.3.2向量间的线性关系9例3

向量组中的任一向量都能用这个向量组线性表示.因为例4

设判断向量能否由向量组线性表示.若是,写出表示式.解设，即11.3.2向量间的线性关系10因为解线性方程组得:所以11.3.2向量间的线性关系112.线性相关与线性无关定义3

设n

维向量,如果存在一组不全为零的数,使得（3-3）成立,则称向量线性相关,否则,称向量组线性无关.若(3-3)当且仅当时成立,则向量组线性无关.例5向量组是线性相关的.

因为11.3.2向量间的线性关系12定理2

设n

维向量，若齐次线性方程组有非零解，则向量组线性相关.若齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关.定理3

对于列（行）向量组，设矩阵若，则向量组线性相关；或若，则向量组线性无关.11.3.2向量间的线性关系13推论1

n

个n

维向量线性相关的充分必要条件是即或者说，n

个n

维向量线性无关的充分必要条件是推论2

任意n+1

个n维向量一定线性相关.即向量组中所含向量的个数大于向量的维数时,此向量组线性相关.11.3.2向量间的线性关系14例6

n

维单位向量组是线性无关的.(1)例7

判断下列向量组的相关性:(2)(3)解(1)因为

,所以,向量组线性相关.11.3.2向量间的线性关系15(1)例7

判断下列向量组的相关性:(2)(3)解

(2)因为

,所以,向量组线性无关.(3)由推论1,向量组线性相关.11.3.2向量间的线性关系16定理4如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关,则整个向量组线性相关.证设向量组中有r

个向量线性相关,不妨设线性相关,则存在不全为零的数,使成立.因而存在不全为零的数,使成立,即线性相关.定理4也可如下叙述:线性无关的向量组中任何部分组也线性无关.11.3.2向量间的线性关系17定理5向量组线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示.证必要性.因为线性相关,所以存在一组不全为零的数,使得不妨设,于是成立,即可以由其余向量线性表示.11.3.2向量间的线性关系18定理5向量组线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示.证充分性.不妨设因此,存在一组不全为零的数,使成立,即线性相关.11.3.2向量间的线性关系193.向量组的秩定义4

若向量组的部分向量组满足：（1）线性无关；（2）向量组中的任意一个向量都可以由线性表示，则称部分向量组为向量组的一个极大无关组.若向量组本身线性无关，则该向量组就是极大无关组.例如，维单位向量组是极大无关组.向量组的极大无关组可能不止一个，但它们的共性是：极大无关组所含向量的个数是相同的.11.3.2向量间的线性关系20例如，二维向量组因为任何3个二维向量的向量组必线性相关，而线性无关，故

是的一个极大无关组，同样也是一个极大无关组.

定义5向量组的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩.记作规定：只含零向量的向量组的秩为零.上例中,二维向量组

的秩

11.3.2向量间的线性关系21定理6矩阵的初等行(列)变换不改变其列(行)向量间的线性相关性.综上所述,求一向量组的秩和极大无关组,先将这些向量作为矩阵的列构成一个矩阵,用初等行变换将其化为阶梯形矩阵,则非零行的个数就是向量组的秩,主元所在列对应的原来向量组中的向量就是极大无关组.定理7

矩阵A

的秩=矩阵A列向量组的秩=矩阵A行向量组的秩.11.3.2向量间的线性关系22例8求向量组