冀教版17.2直角三角形优生辅导训练2021-2022学年

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17.2直角三角形》优生辅导训练（附答案）1．将直尺和一个含45°角的直角三角尺如图放置．若∠1＝30°，则∠2的度数是（）A．75° B．65° C．45° D．30°2．如图一块含45°的三角板（∠ABC＝90°）右侧作以AC为斜边的Rt△ACD，过点B作AC的垂线，分别交AC、AD于点E、F，连接DE．设∠BFD＝α，∠BED＝β，则（）A．3α+2β＝600° B．2α+β＝360° C．3α﹣2β＝90° D．2α﹣β＝90°3．如图，将直角边长为a（a＞1）的等腰直角三角形ABC沿BC向右平移1个单位长度，得到三角形DEF，则图中阴影部分面积为（）A．a﹣ B．a﹣1 C．a+1 D．a2﹣14．如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共（）个．A．5 B．6 C．7 D．85．下列说法中错误的是（）A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：2：4，则△ABC为直角三角形 B．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC为直角三角形 C．在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形 D．在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC为直角三角形6．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB＝6，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE：AD＝1：2，则两个三角形重叠部分的面积为（）A．6 B．9 C．12 D．147．如图，第1个正方形（设边长为2）的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边…依此不断连接下去，通过观察与研究，写出第2022个正方形的边长a2022为（）A．a2012＝4（）2021 B．a2012＝2（）2021 C．a2012＝4（）2022 D．a2012＝2（）20228．如图，点A，B，C，D顺次在直线l上，以AC为底边向下作等腰直角三角形ACE，AC＝a．以BD为底边向上作等腰三角形BDF，BD＝b，FB＝FD＝b，记△CDE与△ABF的面积的差为S，当BC的长度变化时，S始终保持不变，则a，b满足（）A． B． C． D．9．如图，等腰直角三角形ABC，∠B＝90°，沿DE（∠DEB＝45°）剪去△BDE（3BE＜AB），取AE中点F，沿FG（FG⊥AE）剪去△AGF，作GH⊥CD，沿GH剪去△GCH，记S△BDE＝S1，S△AGF＝S2，S△CGH＝S3，五边形DEFGH的面积为S4，若S2+S3﹣S4＝6，则S1＝（）A．1.5 B．3 C．4.5 D．610．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD、CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（）A．32° B．64° C．77° D．87°11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝8cm，BD是斜边上高动点P从点A出发沿AB边由A向终点B以1cm/s的速度匀速移动，动点Q从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度匀速移动，点P、Q同时出发，当点P停止运动，点Q也随之停止．连接AQ，交射线BD于点E．设点P运动时间为t秒．（1）在运动过程中，△BQE的面积始终是△APE的面积的2倍，为什么？（2）当点Q在线段BC上运动时，t为何值时，∠BPE和∠BQE相等．12．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系．13．在平面内，将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中三角形ABC为含60°角的直角三角板，三角形BDE为含45°角的直角三角板．（1）如图1，若点D在AB上，则∠EBC的度数为；（2）如图2，若∠EBC＝170°，则∠α的度数为；（3）如图3，若∠EBC＝118°，求∠α的度数；（4）如图3，若0°＜∠α＜60°，求∠ABE﹣∠DBC的度数．14．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按图1方式叠放在一起（其中∠C＝30°，∠CDO＝60°，∠OAB＝∠OBA＝45°）．△COD绕着点O顺时针旋转一周，旋转的速度为每秒10°，若旋转时间为t秒，请回答下列问题：（请直接写出答案）（1）当0＜t＜9时（如图2），∠BOC与∠AOD有何数量关系？（2）当t为何值时，边OA∥CD？15．直线EF、GH之间有一个直角三角形ABC，其中∠BAC＝90°，∠ABC＝α．（1）如图1，点A在直线EF上，B、C在直线GH上，若∠α＝60°，∠FAC＝30°．试说明：EF∥GH；（2）将三角形ABC如图2放置，直线EF∥GH，点C、B分别在直线EF、GH上，且BC平分∠ABH．求∠ECA的度数；（用α的代数式表示）（3）在（2）的前提下，直线CD平分∠FCA交直线GH于D，如图3．在α取不同数值时，∠BCD的大小是否发生变化？若不变求其值，若变化请求出变化的范围．16．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，P是射线BC上一动点（与B，C点不重合），连接AP．过点C作CD⊥AP于点D，交直线AB于点E，设∠APC＝α．（1）若点P在线段BC上，且α＝60°，如图1，直接写出∠PAB的大小；（2）若点P在线段BC上运动，如图2，求∠AED的大小（用含α的式子表示）；（3）若点P在BC的延长线上运动，且a≠50°，直接写出∠AED的大小（用含α的式子表示）．17．如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，点O为斜边AC的中点，连接OB，过点A作∠BAC的平分线，分别与OB、BC相交于点E、F．（1）求证：CF＝2EO；（2）如图2，连接CE，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有的直角三角形（等腰直角三角形除外）．18．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上且CE＝CA，试求∠DAE的度数；（2）如图2，如果把第（1）题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？说明理由．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向点B运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1cm的速度向C点运动，设P，Q两点的运动时间为t（0＜t＜8）秒．（1）BQ＝，BP＝（用含t的式子表示）．（2）当t＝2时，求△PCQ的面积（提示：在一个三角形中，若两个角相等，则角所对的边也相等）．（3）当PQ＝PC时，求t的值．20．△ABC是等腰直角三角形，点E为线段AC上一点（E点不和A、C两点重合），连接BE并延长BE，在BE的延长线上找一点D，使AD⊥CD，点F为线段AD上一点（F点不和A、D两点重合），连接CF，交BD于点G（1）如图1，若AB＝，CD＝1，F是线段AD的中点，求CF；（2）如图2，若点E是线段AC中点，CF⊥BD，求证：CF+DE＝BE．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，AF平分∠BAC且分别与CD，BC交于E，F两点．（1）求证：CE＝CF；（2）若AC＝BC，DM平分∠BDC，与AE交于M，连接CM．求证：MC＝ME．22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是△ABC的角平分线，CD⊥AB，垂足D，延长CE与外角∠ABG的平分线交于点F．（1）若∠A＝60°，求∠DCE和∠F的度数；（2）若∠A＝n°（0＜n＜90）直接写出用含n的代数式表示∠DCE和∠F．（3）在图中画△FCB高FH和∠DCB的角平分线交于点Q，在（2）的条件下求∠CQH的度数，请直接写出∠CQH的度数．23．在等腰直角三角形AOB中，已知AO⊥OB，点P、D分别在AB、OB上．（1）如图1中，若PO＝PD，∠OPD＝45°，证明△BOP是等腰三角形．（2）如图2中，若AB＝10，点P在AB上移动，且满足PO＝PD，DE⊥AB于点E，试问：此时PE的长度是否变化？若变化，说明理由；若不变，请予以证明．24．在△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE．（1）如图①，已知∠BAC＝90°，∠BAD＝60°，求∠CDE的度数．（2）如图①，已知∠BAC＝90°，当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系；（3）如图②，若∠BAC≠90°，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系．

参考答案1．解：∵AB∥CD，∴∠3＝∠2，∵∠3＝45°+∠1＝45°+30°＝75°，∴∠2＝75°，故选：A．2．解：∵△ABC是含45°的三角板，∠ABC＝90°，∴BA＝BC，∵BE⊥AC，∴AE＝CE，∵∠ADC＝90°，∴AE＝EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC，∠EAD＝∠EDA，∴∠CED＝2∠EAF，∵∠BFD＝α＝∠EAF+∠AEF＝∠EAF+90°，∴∠EAF＝α﹣90°，∵∠BED＝β＝∠BEC+∠CED＝90°+∠CED，∴∠BED＝β＝∠BEC+∠CED＝90°+∠CED＝90°+2∠EAF＝90°+2（α﹣90°）＝2α﹣90°，∴2α﹣β＝90°，故选：D．3．解：S阴影＝S△ABC﹣S△OEC＝×a×a﹣×（a﹣1）×（a﹣1）＝a﹣．故选：A．4．解：根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共8个．故选：D．5．解：A、在△ABC中，因为∠A：∠B：∠C＝2：2：4，所以∠C＝90°，∠A＝∠B＝45°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．B、在△ABC中，因为∠A＝∠B﹣∠C，所以∠B＝90°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．C、在△ABC中，因为∠A＝∠B＝∠C，所以∠C＝90°，∠B＝60°，∠A＝30°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．D、在△ABC中，因为∠A＝∠B＝2∠C，所以∠A＝∠B＝72°，∠C＝36°，△ABC不是直角三角形，本选项符合题意，故选：D．6．解：设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，如图所示：∵∠ECD＝∠ACB＝90°，∴∠ECA＝∠DCB，在△ECA和△DCB中，，∴△ECA≌△DCB（SAS），∴∠E＝∠CDB＝45°，AE＝BD，∵∠EDC＝45°，∴∠CDB＝∠EDC，∵AE：AD＝1：2，∴BD：AD＝1：2，在Rt△ADB中，CA＝CB＝6，∴S△ABC＝×6×6＝18，∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，∴OM＝ON，∵＝＝＝＝2，∴S△AOC＝18×＝12；故选：C．7．解：设第1个正方形的边长a1＝2，根据题意得，第2个正方形的边长为a2＝a1，第3个正方形的边长为a3＝a2＝（a1）＝（）2a1，第4个正方形的边长为a4＝a3＝（）2a1＝（）3a1，…，第2022个正方形的边长a2022＝（）2021a1，∵a1＝2，∴a2022＝2（）2021．故选：B．8．解：过点F作FH⊥AD于点H，过点E作EG⊥AD于G∵△ACE是等腰直角三角形，AC＝a∴EG＝AC＝∵BD＝b，FB＝FD＝b，FH⊥AD∴BH＝BD＝在Rt△BHF中FH＝＝＝设BC＝x则S△ABF＝AB•FH＝（a﹣x）×bS△CDE＝CD•EG＝（b﹣x）×∴S△CDE﹣S△ABF＝（b﹣x）×﹣（a﹣x）×b＝（﹣）x﹣∵当BC的长度变化时，S始终保持不变∴﹣＝0∴a＝故选：A．9．解：由题意，△ABC，△AFG，△CGH，△DEB都是等腰直角三角形，四边形BFGH是矩形，设AF＝FG＝a，GH＝CH＝b，∵EF＝AF＝a，∴BE＝BD＝b﹣a，∵S2+S3﹣S4＝6，∴a2+b2﹣[ab﹣（b﹣a）2]＝6，整理得（b﹣a）2＝6，∴S1＝（b﹣a）2＝3，故选：B．10．解：如图，取CF的中点T，连接DT，AT．∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，∴∠CAF＝∠CDF＝90°，∴AT＝DT＝CF，∴TD＝TC＝TA，∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，∵∠ADB＝45°，∴∠ADT+∠TDC＝135°，∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，∴AT⊥CF，∵CT＝TF，∴AC＝AF，∴∠AFC＝45°，∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，∵∠BDF＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°，故选：C．二．解答题（共14小题）11．解：（1）过点E作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝8cm，BD是斜边上高∴BD平分∠ABC∴EM＝EN∵AP＝t，BQ＝2t∴∴△BQE的面积始终是△APE的面积的2倍（2）∵BD平分∠ABC∴∠PBE＝∠QBE在△BPE与△BQE中∴△BPE≌△BQE（AAS）∴BP＝BQ∵BP＝AB﹣AP＝8﹣t∴8﹣t＝2t解得：t＝∴t＝时，∠BPE和∠BQE相等12．解：（1）如图（1），∵AB∥CD，∴∠1＝∠EGD，又∵∠2＝2∠1，∴∠2＝2∠EGD，又∵∠FGE＝60°，∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，∴∠1＝40°；（2）如图（2），∵AB∥CD，∴∠AEG+∠CGE＝180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，又∵∠FEG+∠EGF＝90°，∴∠AEF+∠FGC＝90°．13．解：（1）如图1，∵∠ABC＝60°、∠DBE＝90°，∴∠EBC＝∠ABC+∠DBE＝150°，故答案为150°；（2）如图2，∵∠ABC＝60°、∠DBE＝90°，∴∠ABC+∠DBE＝150°，∵∠EBC＝170°，∴∠α＝∠EBC﹣（∠ABC+∠DBE）＝170°﹣150°＝20°，故答案为20°．（3）如图3，∵∠ABC＝60°、∠DBE＝90°，∴∠ABC+∠DBE＝150°，∵∠DBC＝∠ABC﹣α，∵∠EBC＝118°，∴∠DBE+∠DBC＝90°+（60°﹣α）＝118°，∴α＝32°；（4）如图3，∵∠ABE＝90°﹣α，∠DBC＝60°﹣α，∴∠ABE﹣∠DBC＝90°﹣α﹣（60°﹣α）＝30°．14．解：（1）∠BOC+∠AOD＝180°，理由如下：当0＜t＜9时，∠BOC＝90°﹣10t°，∠AOD＝90°+10t°，∴∠BOC+∠AOD＝90°﹣10t°+90°+10t°＝180°；（2）①如图3所示：∵OA∥CD，∴∠AOC＝∠C＝30°，即10t°＝30°，解得：t＝3；②如图4所示：∵OA∥CD，∴∠AOD＝∠CDO＝60°，即360°﹣10t°﹣90°＝60°，解得：t＝21；综上所述，当t为3秒或21秒时，边OA∥CD．15．（1）证明：∵∠EAB＝180°﹣∠BAC﹣∠FAC，∠BAC＝90°，∠FAC＝30°，∴∠EAB＝60°，又∵∠ABC＝60°，∴∠EAB＝∠ABC，∴EF∥GH；（2）解：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝α．∴∠ACB＝90°﹣α，∵BC平分∠ABH，∴∠ABC＝∠HBC＝α，∵EF∥GH，∴∠ECB＝∠HBC＝α，∴∠ECA＝∠ECB﹣∠ACB＝α﹣（90°﹣α）＝2α﹣90°；（3）解：不发生变化，理由是：经过点A作AM∥GH，又∵EF∥GH，∴AM∥EF∥GH，∴∠FCA+∠CAM＝180°，∠MAB+∠ABH＝180°，∠CBH＝∠ECB，又∵∠CAM+∠MAB＝∠BAC＝90°，∴∠FCA+∠ABH＝270°，又∵BC平分∠ABH，CD平分∠FCA，∴∠FCD+∠CBH＝135°，又∵∠CBH＝∠ECB，即∠FCD+∠ECB＝135°，∴∠BCD＝180°﹣（∠FCD+∠ECB）＝45°．16．解：（1）如图1，当α＝60°时，∠APC＝60°，△APB中，∠PAB＝∠APC﹣∠B＝60°﹣40°＝20°，（2）如图2，同（1）得：∠PAB＝α﹣40°，∵CE⊥AP，∴∠ADE＝90°，∴∠PAB+∠AED＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠PAB＝90°﹣（α﹣40°）＝130°﹣α，（3）如图3，当α＞50°时，△APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝α，∴∠CAP＝90°﹣α，∵CD⊥AP，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝90°﹣（50°+90°﹣α）＝α﹣50°，②如图4，当α＜50°时，∴∠AED＝90°﹣∠PAE＝90°﹣（α+40°）＝50°﹣α，综上，∠AED为α﹣50°或50°﹣α．17．（1）证明：延长AF到K，使EK＝AE，∵△ABC是等腰直角三角形，点O为斜边AC的中点，∴AO＝OC，∠AOE＝90°，∴CK＝2OE，CK∥OE，∴∠ACK＝∠AOE＝90°，∵AF是∠BAC的平分线，∴∠BAF＝∠CAF，∵∠AFB＝90°﹣∠BAF，∠K＝90°﹣∠FAC，∴∠AFB＝∠K，∵∠CFK＝∠AFB，∴∠CFK＝∠K，∴CF＝CK，∴CF＝2OE；（2）解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，点O为斜边AC的中点，∴BO⊥AC，∴∠ABC＝∠AOB＝∠COB＝90°，∴图中所有的直角三角形是△ABF，△AOE，△COE．18．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝67.5°，∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22.5°，在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝112.5°﹣67.5°＝45度；（2）不改变，理由：设∠CAE＝x，∵CA＝CE，∴∠E＝∠CAE＝x，∴∠ACB＝∠CAE+∠E＝2x，在△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠B＝90°﹣∠ACB＝90°﹣2x，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝x+45°，在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E，＝180°﹣（90°﹣2x）﹣x＝90°+x，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD，＝（90°+x）﹣（x+45°）＝45°．19．解：（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，∴AB＝AC＝8，∵动点Q从B点出发，以每秒1cm的速度向C点运动，∴BQ＝tcm，∵点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向点B运动，∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣t）cm，故答案为：tcm，（8﹣t）cm；（2）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠A＝45°，过点P作PH⊥BC于H，如图所示：则△BPH为等腰直角三角形，∴BH＝PH＝BP＝（8﹣t）＝8﹣t，∵t＝2，∴PH＝6，CQ＝BC﹣BQ＝8﹣2＝6，∴△PCQ的面积＝PH•CQ＝×6×6＝18（cm2）；（3）当PQ＝PC时，∵PH⊥BC，∴CH＝QH，∵BH＝8﹣t，∴CH＝BC﹣BH＝8﹣（8﹣t）＝t，QH＝BC﹣BQ﹣CH＝8﹣t﹣t＝8﹣2t，∴t＝8﹣2t，解得：t＝，∴当PQ＝PC时，t的值为s．20．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝，∴AC＝AB＝，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∵CD＝1，∴AD＝＝5，∵F是线段AD的中点，∴DF＝，∴CF＝＝；（2）过A作AH∥CD交BD于H，∴∠AHD＝∠CDH，∵点E是线段AC中点，∴AE＝CE，在△AEH与△CED中，，∴△AEH≌△CED（AAS），∴DE＝EH，AH＝CD，∴四边形AHCD是平行四边形，∵∠ADC＝90°，∴四边形AHCD是矩形，∴∠HAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAH＝∠FAC，∵DE⊥CF，∴∠DFG＝∠CDG，∴∠AHE＝∠DFG，∴∠AHB＝∠AFC，在△ABH与△ACF中，，∴△ABH≌△ACF（AAS），∴BH＝CF，∵BE＝BH+EH，∴CF+DE＝BE．21．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∵CD是AB边上的高，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠DCA，∵AF是∠BAC的平分线，∴∠BAF＝∠CAF，∵∠BAF+∠B＝∠CFE，∠CAF+∠DCA＝∠FEC，∴∠CFE＝∠FEC，∴CF＝CE；（2）解：过M作MF⊥AB于F，MG⊥CD于G，MH⊥AC于H，∵AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝BD，∠DCA＝∠DCB＝45°，∵DM平分∠BDC，AF平分∠BAC，∴MF＝MG，MF＝MH，∴MG＝MH，∴CM平分∠ACH，∴∠DCM＝＝67.5°，∵∠DEA＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴MEC＝67.5°，∴∠MEC＝∠MCE，∴MC＝ME．22．解：（1）∵CD⊥AB，∠A＝60°，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，