第六章 第4讲　机械能守恒定律

1第4讲机械能守恒定律如图甲,弹跳鞋是一种新型体育用品鞋,其底部装有弹簧。使用时人对弹簧施加压力,使弹簧形变后产生竖直向上的弹力,将人向上弹离地面。某次上升过程中人的动能Ek随重心上升高度h变化的图像如图乙所示,上升高度为h1时动能达到最大值,图中h2～h3段为直线,其余部分为曲线,已知弹簧始终处于弹性限度内,空气阻力忽略不计。(1)人的加速度达到最大值时人的重心高度在哪一位置?(2)弹跳鞋离开地面时人的重心高度在哪一位置?(3)整个上升过程中,人的机械能是怎样变化的?**1.(多选)如图所示,攻防箭是一项人们很喜爱的团体活动。若将质量为m的箭(可视为质点)从地面(初始高度可忽略)以与水平方向成某一角度斜向上射出,初速度为v0,最高点离地高H,不计一切阻力,取地面为零势能参考平面,下列说法正确的是()[A]箭在最高点的机械能为mgH[B]箭在最高点的机械能为mv02[C]箭刚要落地时的速度与抛出时速度相同[D]箭刚要落地时的机械能大于mgH【答案】BD2.如图所示,质量为m的木块放在光滑的水平桌面上,用轻绳绕过桌边的定滑轮与质量为M的砝码相连,已知M=3m,让绳拉直后使砝码从静止开始下降。若砝码底部与地面的距离为h,砝码刚接触地面时木块仍没离开桌面,此时木块的速率为()2[A]6gh[B]mgh[C]2gh[D]3gh【答案】A3【答案】机械能mgh有关无关减少增加减少弹性形变减少增加动能势能保持不变不做功为零考点一对机械能守恒的理解与判断判断机械能守恒的三种方法[例1]【对机械能守恒的理解与判断】(多选)有以下物理过程:图甲为跳伞运动员匀速下落;图乙为地面上放置一固定斜面B,物块A从B上匀速下滑;图丙为物体A压缩弹簧的过程;图丁为不计任何阻力和定滑轮与绳子质量,物体A加速下落,物体B加速上升过程。关于这几个物理过程,下列判断正确的是()[A]图甲所示过程中跳伞运动员的机械能不守恒[B]图乙所示过程中物块A的机械能守恒[C]图丙所示过程中物体A的机械能守恒[D]图丁所示过程中物体A、B组成的系统机械能守恒【答案】AD4【解析】题图甲中跳伞运动员和题图乙中匀速下滑的物块A的动能均不变,重力势能减少,则机械能不守恒,故A正确,B错误;题图丙为物体A将弹簧压缩的过程,弹簧对A的弹力做负功,A的机械能减少,即物体A的机械能不守恒,故C错误;题图丁为不计任何阻力和定滑轮与绳子质量时,A加速下落,B加速上升过程中,对A、B构成的系统,此过程只有重力势能和动能的相互转化,可知A、B组成的系统机械能守恒,故D正确。考点二单物体的机械能守恒问题1.机械能守恒定律的表达式说明:单个物体应用机械能守恒定律时选用守恒观点或转化观点进行列式。2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤[例2]【单物体在单一过程中的机械能守恒】(2025·福建福州开学考试)(多选)如图,一质量为m的苹果从树上距地面高度为H的A点由静止自由下落,恰好落入树下一深度为h的坑。以地面为零势能面,重力加速度为g,则苹果()5[A]在A点具有的重力势能为mgH[B]在坑底具有的重力势能为mgh[C]在坑底具有的机械能为mg(H+h)[D]从A点落到坑底的过程中,重力势能减少量为mg(H+h)【答案】AD【解析】以地面为零势能面,苹果在A点具有的重力势能为mgH,在坑底具有的重力势能为-mgh,故A正确,B错误;苹果下落过程只有重力做功,满足机械能守恒定律,则苹果在坑底具有的机械能为mgH,故C错误;从A点落到坑底的过程中,重力做功为W=mg(H+h),该过程重力势能减少量为mg(H+h),故D正确。[例3]【单物体在多过程中的机械能守恒】(2025·北京海淀区阶段检测)如图所示,竖直平面内的四分之三圆弧形光滑管道半径略大于小球半径,管道中心到圆心距离为R,A端与圆心O等高,AD为水平面,B端在O的正下方,小球自A点正上方由静止释放,自由下落至A点时进入管道。(1)如果管道与小球接触的内侧壁(图中较小的四分之三圆周)始终对小球没有弹力,小球释放点距离A点的最小高度为多大?(2)如果小球到达B点时,管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍。求:①小球运动到管道最高点E时对管道的弹力;②落点C与A的水平距离。【答案】(1)1.5R(2)①3mg,方向竖直向上【解析】(1)如果管道与小球接触的内侧壁始终对小球没有弹力,则小球到达最高点时的最小速度满足以水平面AD为参考平面,从开始下落到到达管道的最高点,由机械能守恒定律有mghA=mgR+mv2,解得hA=1.5R,6则小球释放点距离A点的最小高度为1.5R。(2)①在B点,管壁对小球的弹力F=9mg,小球做圆周运动,由牛顿第二定律得F-mg=m,小球从B点到到达管道最高点E的过程中,以B所在水平面为参考平面,由机械能守恒定律得mvB2=mg×2R+mvE2,在E点由牛顿第二定律得F′+mg=m,联立解得F′=3mg,根据牛顿第三定律可知小球运动到管道最高点E时对管道的弹力为3mg,方向竖直向上。②小球离开管道后做平抛运动,在竖直方向上有Rgt2,在水平方向上有x=vEt,解得x=22R,则落点C与A的水平距离为(22-1)R。考点三多物体系统的机械能守恒问题几种实际情境的分析多物体系统类型常见情境模型特点轻绳连接的系统(1)两物体沿绳方向的分速度大小相等。(2)对于单个物体,一般绳上的力会做功,机械能不守恒,但对于绳连接的系统,机械能可能守恒轻杆连接的系统(1)平动时两物体的线速度相等,转动时两物体的角速度7相等。(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。(3)对于杆和物体组成的系统,若忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功,则系统的机械能守恒[例4]【轻绳连接的系统】(2025·广东惠州期末)阿特伍德机是英国科学家阿特伍德发明的著名力学实验装置,如图所示为阿特伍德机的简化示意图。质量均为M的两个重物A、B通过轻绳跨过光滑轻滑轮,保持静止状态。现将质量为m的小物块C轻放在A上,让装置动起来,从开始运动到A和C下落高度h过程中,重力加速度为g,下列说法正确的是()[A]A和B构成的系统机械能守恒[B]A和C向下运动的加速度大小为[C]轻绳的弹力大小为FT[D]A的末速度大小为【答案】B【解析】物块C对A和B构成的系统做功,所以A和B构成的系统机械能不守恒,A错误;对A、B、C系统,根据牛顿第二定律得mg=(2M+m)a,解得,B正确;对B根据牛顿第二定律得FT-Mg=Ma,解得FT,C错误;根据机械能守恒定律得8[例5]【轻杆连接的系统】(2025·江苏南通开学考试)如图所示,在竖直平面内有光滑轨道ABCD,其中AB是竖直轨道,CD是水平轨道,AB与BC相切于B点,BC与CD相切于C点。一根长为2R的轻杆两端分别固定着两个质量均为m的相同小球P、Q(视为质点),将轻杆锁定在图示位置,并使Q与B等高。现解除锁定释放轻杆,轻杆将沿轨道下滑,重力加速度为g。求:(1)P球到达C点时的速度大小;(2)P球到达B点时的速度大小。【答案】【解析】(1)P球到达C点时由机械能守恒定律得解得(2)如图所示,设当P球到达B点时杆与水平面的夹角为θ,则有解得θ=30°;当P球到达B点时,由于两球在沿杆方向的分速度大小相等,则有vQcos30°=vPcos60°,P、Q系统机械能守恒,则有解得(满分:60分)对点1.对机械能守恒的理解与判断91.(4分)(2024·山西太原模拟)篮球运动是深受学生喜爱的一项体育运动。某同学练习投篮,篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示。若不计空气阻力,下列关于篮球在空中运动时的速度大小v,加速度大小a,动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系,可能正确的是()[A][B][C][D]【答案】C【解析】篮球运动过程中仅受重力,竖直方向做匀变速直线运动,水平方向做匀速直线运动,则其合速度随时间一定不会是均匀变化的,故A错误;运动过程中,只有重力作用,加速度一直为重力加速度且机械能守恒,故B、D错误;竖直方向做匀变速直线运动,有h=vyt-gt2,其运动过程中,只有重力做功,则某时刻的动能Ek=Ek0-mgh=Ek0-mg(vyt-gt2)=Ek0+mg2t2-mgvyt,其中Ek0为初动能,vy为初始竖直方向速度,由此可知,Ek-t图线应是开口向上的抛物线,故C正确。对点2.单物体的机械能守恒问题2.(6分)(多选)从地面竖直向上抛出一物体,取地面为零势能参考平面,该物体的Ek和Ep随上升高度h的变化如图所示。重力加速度g取10m/s2,由图中数据可得()[A]物体的质量为2kg[B]h=2m时,物体的动能Ek=50J[C]h=0时,物体的速度大小为45m/s[D]物体的速度大小为20m/s时,距地面的高度h=2m【答案】BC【解析】由题图可知,上升的最大高度为4m,由重力势能公式Ep=mgh,可得m=2.5kg,A错误;由题图可知h=2m时,物体的动能Ek=50J,根据Ekmv2,可得物体的速度大小为v=210m/s,B正确,D错误;h=0时,物体的速度大小为v′=45m/s,C正确。3.(4分)(2024·江苏镇江阶段检测)细长轻绳下端拴一小球,在悬挂点正下方摆长处有一个钉子A,如图所示。现将单摆向左拉开某一个角度α,然后无初速度释放。在轻绳运动到竖直位置与钉子碰撞后的瞬间,绳子上的力的大小突变为原来的倍,不考虑运动的阻力及碰撞过程的能量损失,以下关于角度α的数值正确的是()[A]30°[B]37[C]45°[D]60°【答案】D【解析】根据题意,设摆长为L,小球质量为m,小球摆到最低点瞬间速度为v,小球从最高点摆到最低点过程中,机械能守恒,则有mgL(1-cosαmv2,设小球摆到最低点时,绳子拉力为F,则与钉子碰撞后的瞬间绳子拉力为F,由牛顿第二定律,在最低点与钉子碰撞前有F-mg=m,在最低点与钉子碰撞后有F-mg=m,联立解得α=60°,故选D。24.(4分)(2024·全国甲卷,17)如图,一光滑大圆环固定在竖直平面内,质量为m的小环套在大圆环上,小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部,Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小()[A]在Q点最大[B]在Q点最小[C]先减小后增大[D]先增大后减小【答案】C【解析】设大圆环半径为R,小环所在位置与圆心的连线和竖直方向夹角为θ,大圆环对小环的作用力刚好为零时,受力分析如图所示,由牛顿第二定律得m根据动能定理得mgR(1-mv2,联立解得故小环运动到Q点时对大圆环的作用力不是最小,B错误;设大圆环对小环的作用力大小为F,大圆环对小环的作用力刚好为零时小环处于A点,到达A点前,由牛顿第二定律得mgcosθ1-F1=m,根据动能定理得mgR(1-cos联立解得F1=(3cosθ1-2)mg,θ1增大,F1减小;从A点到Q点,由牛顿第二定律有根据动能定理有mgR(1-cosθ2mv22,联立解得F2=(2-3cosθ2)mg,θ2增大,F2增大;从Q点到最低点的过程中,由牛顿第二定律有根据动能定理有mgR(1+cosθ3mv32,联立解得F3=(2+3cosθ3)mg,θ3减小,F3增大,根据牛顿第三定律可知,Q点不是小环对大圆环作用力最大的点,小环自顶端下滑至底部过程中对大圆环的作用力先减小后增大,C正确,A、D错误。对点3.多物体系统的机械能守恒问题5.(4分)(2025·山东济南开学考试)如图所示,物块A用不可伸长的轻绳绕过轻质光滑定滑轮与置于光滑水平面上的物块B连接,物块A、B的质量均为m,施加外力使物块A、B保持静止,此时轻绳恰好处于伸直状态。某时刻撤去外力,两物块同时由静止开始运动,当物块A下落高度为h时,其加速度大小为a,方向竖直向下,此时连接物块B的轻绳与水平方向的夹角为θ,整个过程物块B始终未离开水平面,已知重力加速度为g。当物块A下落高度为h时,下列说法正确的是()[A]物块B的加速度大小为[B]物块B的加速度大小为(g+a)cosθ[C]物块A的速度大小为[D]物块A的速度大小为【答案】D【解析】对物块A,根据牛顿第二定律有mg-FT=ma,对物块B,根据牛顿第二定律有FTcosθ=maB,解得aB=(g-a)cosθ,故A、B错误;对物块A和B整体,根据机械能守恒定律有mgmvA2+mvB2,物块A和B的速度有vA=vBcosθ,联立解得故C错误,D正确。6.(4分)(2024·湖南长沙模拟)一根长为L的轻杆OA,O端用铰链固定在地面上,另一端固定一质量为m的小球A,轻杆靠在高、质量为M=4m的物块B上,开始时轻杆处于竖直状态,受到轻微扰动,轻杆开始顺时针转动,推动物块B沿地面向右滑至图示位置(杆与地面),若不计一切摩擦,重力加速度为g,则此时小球A的线速度大小为()gL[A][B]gL[A][B]gLgL[C][D]gL[C][D]gL【答案】B【解析】小球A顺时针转动,物块B向右运动,如图所示,根据运动的分解有v1=vBsinθ,由v=ωr得,小球A转动过程中,系统机械能守恒,则有mgL(1-sinmVA2+MVB2,联立解得vA=vBgL,故选B。7.(14分)(2025·重庆渝中阶段检测)如图所示,质量为m的带孔物块A穿在竖直固定的细杆上,不可伸长的轻质柔软细绳一端连接物块A,另一端跨过轻质定滑轮连接质量为2m的物块B,已知定滑轮到细杆的距离为L,细绳的总长度为2L,现将系统从A与滑轮等高的位置由静止释放,已知重力加速度为g,忽略一切阻力,定滑轮大小不计,两物块均可视为质点,求:(1)从系统开始释放到A下落L过程中,物块B的重力势能增加量;(2)物块A下落的最大距离d。【答案】(1)2(2-1)mgL(2)L【解析】(1)设物块A下落L时,物块B上升的高度为h,由几何关系有h=L2+L2-L,物块B重力势能的增加量ΔEpB=2mgh,得ΔEpB=2(2-1)mgL。(2)物块A下落距离最大时,A、B速度为零,对A、B组成的系统,由机械能守恒定律有mgd=2mg(L2+d2-L),得L。8.(4分)(2024·广西二模)如图所示,一轻杆通过铰链连接在固定转轴O1上,可绕O1轴自由转动,轻杆另一端与一质量未知的小球A连接。一轻绳绕过轻质定滑轮O2,一端连接小球A,另一端连接一带挂钩、质量为m的物块B,已知O1与O2等高,图中θ1=60°,θ2=30°,此时小球A与物块B恰好静止。现在物块B下再挂物块C,由静止释放物块C后,小球A能上升到的最高点恰好与O1等高,重力加速度为g,不计一切摩擦。则所挂物块C的质量为[A]m