2024北京五十五中高二3月月考数学试题及答案

试题试题2024北京五十五中高二3月月考数学本试卷共8页，共150分，调研时长120分钟第一部分（选择题共60分）一、选择题：1.设P是椭圆：上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A. B. C. D.2.抛物线的焦点到准线的距离是A.1 B.2 C.4 D.83.一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为（）A.4种 B.12种 C.24种 D.120种4.由这10个数字，可以组成（）个没有重复数字的三位数.A.720 B.648 C.504 D.3605.的展开式中的系数为（）．A. B. C.40 D.806.下列函数中，满足“任意，且，都有的是（）A. B.C. D.7.已知函数，则下列选项正确的是（）.A. B.C. D.8.直线被圆所截得的线段的长为A. B. C. D.9.定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数在区间上单调递增B.函数在区间上单调递减C.函数在处取得极大值D.函数在处取得极大值10.现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”，则在已知A事件发生的情况下事件发生的概率即（）A. B. C. D.11.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.12.已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“集合”．给出下列5个集合：①；②；③；④；⑤．其中是“集合”的所有序号是（）A.②③ B.①④⑤ C.③⑤ D.①②④第二部分（非选择题共90分）二、填空题：13.曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．14.已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．15.使“函数在区间(0，m]上单调递减”成立的一个m值是_____.16.若10个篮球中有7个已打足气，3个没有打足气．已知小明用打足气的篮球投篮，命中率为，用没有打足气的篮球投篮，命中率为，则小明任拿一个篮球投篮，命中的概率为________．17.随着中国电子商务的发展和人们对网购的逐渐认识，网购鲜花速递行业迅速兴起．佳佳为祝福母亲的生日，准备在网上定制一束混合花束．客服为佳佳提供了两个系列，如下表：粉色系列黄色系列玫瑰戴安娜、粉佳人、糖果、桃红雪山假日公主、金辉、金香玉康乃馨粉色、小桃红、白色粉边火焰、金毛、黄色配叶红竹蕉、情人草、满天星散尾叶、栀子叶、黄莺、银叶菊佳佳要在两个系列中选一个系列，再从中选择2种玫瑰、1种康乃馨、2种配叶组成混合花束．请问佳佳可定制的混合花束一共有________种．三、解答题：18.已知.（1）求展开式第3项的二项式系数；（2）求的值；（3）求的值；19.为了解学生上网课使用的设备类型情况，某校对学生进行简单随机抽样.获得数据如下表：设备类型仅使用手机仅使用平板仅使用电脑同时使用两种及两种以上设备使用其他设备或不使用设备使用人数171665320假设所有学生对网课使用的设备类型的选择相互独立．（1）分别估计该校学生上网课仅使用手机的概率，该校学生上网课仅使用平板的概率；（2）从该校全体学生中随机抽取3人进行调查，设随机变量X表示这3人中仅使用电脑的人数，以频率估计概率，求X的分布列和数学期望；（3）假设样本中上网课同时使用两种设备的人数是22，用表示上网课仅使用一种设备，表示上网课不仅仅使用一种设备；用表示上网课同时使用三种设备，表示上网课不同时使用三种设备.试比较方差，的大小.（结论不要求证明）20.已知函数f(x)＝2x3﹣3ax2﹣1，a∈R.（1）当a＝1时，求f(x)在区间[﹣1，1]上的最值；（2）讨论f(x)的单调性；（3）若f(x)有3个零点，求a的取值范围.（只需写出结论）21.已知椭圆E：过点，离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆E的右焦点F作斜率为的直线l交椭圆E于点A，B，直线l交直线于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C，直线BQ交x轴于D，求证：点F为线段CD的中点．22.已知数列，记集合.（1）若数列为，写出集合；（2）若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；（3）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值．

参考答案第一部分（选择题共60分）一、选择题：1.【答案】B【分析】根据椭圆定义即可得结果.【详解】由椭圆方程可知：，所以P到该椭圆的两个焦点的距离之和为.故选：B.2.【答案】C【分析】先根据抛物线的方程求出的值，再根据抛物线的简单性质即可得到．【详解】由，知＝4，而焦点到准线的距离就是．故选C．【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用，属于基础题．3.【答案】C【分析】根据题意，只需将四名同学排序即可，进而根据排序问题求解即可.【详解】根据题意，一名老师和四名学生站成一排照相，老师站在正中间，只需将四名同学排序，所以，不同的站法为种.故选：C4.【答案】B【分析】根据分步乘法计数原理运算求解.【详解】因为百位不为0，有9个数字可选，则十位有9个数字可选，个位有8个数字可选，所以可以组成个没有重复数字的三位数.故选：B.5.【答案】D【分析】写出的展开式的通项即可【详解】的展开式的通项为令得所以的展开式中的系数为故选：D【点睛】本题考查的是二项式展开式通项的运用，较简单.6.【答案】A【分析】由题意可知：在内单调递减，结合选项分析判断.【详解】由题意可知：在内单调递减，对于选项A：因为在内单调递减，可知在内单调递减，故A正确；对于选项BCD：此时在内单调递增，故BCD错误；故选：A.7.【答案】D【分析】利用导数判断的单调性，结合单调性比较大小.【详解】因为在上恒成立，可知在上单调递增，且，所以.故选：D.8.【答案】C【详解】试题分析：求圆的弦长常在以圆心、弦的中点及弦的一个端点所构成的三角形内先计算弦长的一半，然后再求解．圆心（1，0）到直线的距离为，由圆的半径1及勾股定理得弦长的一半为，所以弦长为．故选C．考点：求圆的弦长方法．9.【答案】A【分析】根据函数的单调性和导数值的正负的关系，可判断A、B；根据函数的极值点和导数的关系可判断C、D的结论．【详解】在区间上，故函数在区间上单调递增，故A正确；在区间上，故函数在区间上单调递增，故B错误；当时，，可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故C错误；当时，，单调递减；当时，，单调递增，故函数在处取得极小值，故D错误，故选：A.10.【答案】A【分析】分别求出，，根据条件概率的计算公式即可求得答案.【详解】由题意可得A表示事件“抽到两名同学性别相同”，则,表示事件“抽到两名女同学”，则,故,故选：A11.【答案】B【分析】求导，导函数在上恒非负，根据恒成立的问题的办法解决.【详解】，又在上单调递增，故在上恒成立，而时，易见，只需要即可，故.故选：B。12.【答案】C【分析】根据集合是“集合”，即满足曲线上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线垂直，逐项判定，即可求解.【详解】题意，集合是“集合”，即满足曲线上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线垂直，对于①中，，假设集合是“集合”，则存在两点，，满足，即，方程无解，所以假设不成立，所以集合不是“集合”；对于②中，函数，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，且当时，，图象如图所示，设图象上对任意一点时，则，若令，即，也即，由函数的图象与函数的图象无交点，即无解，所以，故对于时不存在，此时不存在一点，使得成立，所以集合不是“集合”；对于③中，集合的图象表示一个在轴上方的半圆（包括轴上的点），如图所示，根据圆的性质，可得对任意一点，总是存在一点，使得成立，所以集合是“集合”；对于④中，函数，当点时，若，则不成立，所以集合不是“集合”；对于⑤中，函数，其大致图象如下.设是其图象上任意一点，由图可知直线的斜率的范围是根据图象可得，其图象上任意一点，总是存在一点，使得成立，所以集合是“集合”.故选：C.【点睛】关键点睛：本题主要考查了集合是“集合”的新定义及应用，其中解答的关键是理解对于任意，存在，使得成立，即满足曲线上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线垂直，着重考查了分析问题和解答问题的能力.第二部分（非选择题共90分）二、填空题：13.【答案】【详解】设，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．14.【答案】【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答.【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，由双曲线的离心率为，得，解得，则，所以双曲线的方程为.故答案为：15.【答案】；【分析】首先有且，根据导函数得到的单调区间及对应的单调性，使“函数在区间(0，m]上单调递减”成立，即(0，m]包含于的单调递减区间，即可得到一个m值【详解】由题意，知：且∴当且时，，即单调递减当时，，即单调递增故，要使在区间(0，m]上单调递减，则即可∴符合要求故答案为：【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数范围，结合导函数研究函数的单调区间，由命题中函数单调的成立条件确定区间的包含关系，进而求参数范围16.【答案】##【分析】根据独立事件的乘法公式和全概率的加法公式计算即可求解.【详解】由题意知，小明任意拿一个球投篮命中的概率为.故答案为：0.7217.【答案】108【详解】若选粉色系列有种选法，若选黄色系列有种选法，佳佳可定制的混合花束一共有种.三、解答题：18.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据题意，利用二项式的通项公式，即可求解；（2）分别令和，进而求得的值；（3）分别令和，两式相减，进而求得的值.【小问1详解】因为，由二项式展开式的通项公式为，所以展开式的第3项的二项式系数为.【小问2详解】由，令，可得；令，可得，所以【小问3详解】由，令，可得，令，可得，两式相减可得，所以.19.【答案】（1）仅使用手机的概率为，仅使用平板的概率为（2）分布列见解析，（3）【分析】（1）用频率估计概率，根据表格计算即可得出答案；（2）学生上网课仅使用电脑的概率，写出随机变量的所有取值，求出对应概率，从而可得分布列，再根据期望公式计算期望即可；（3）根据步骤分别求出和的期望，再根据公式分别求出，，即可得出结论.【小问1详解】解：学生上网课仅使用手机的概率为，学生上网课仅使用平板的概率为；【小问2详解】解：学生上网课仅使用电脑的概率为，可取，且，，，，，则分布列为：0123；【小问3详解】解：，，所以，，，，所以，，所以.20.【答案】（1）最大值-1，最小值-6；（2）详见解析；（3）.【分析】（1）当a＝1时，函数f(x)＝2x3﹣3x2﹣1，求导，求得其极值和区间端点的函数值即可.（2），然后分，和三种情况讨论求解.（3）根据f(x)有3个零点，只需极大值大于零，极小值小于零，由（2）的结论，分，和三种情况讨论求解.【详解】（1）当a＝1时，函数f(x)＝2x3﹣3x2﹣1，所以，当时，或，当时，，所以在处取得极大值，在处取得极小值，又，所以f(x)在区间[﹣1，1]上的最大值是-1，最小值是-6；（2），当时，，所以在上递增；当时，当时，或，当时，，所以在和上递增，在上递减；当时，当时，或，当时，，所以在和上递增，在上递减；（3）若f(x)有3个零点，由（2）知，当时，函数f(x)有1个零点，不符合题意，当时，在处取得极大值，在处取得极小值-1，所以，解得，当时，在处取得极大值，在处取得极小值，此时，函数f(x)有1个零点，不符合题意，综上：a的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数与函数的最值，导数与函数的单调性，导数与函数的零点，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.21.【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）由椭圆上的点和离心率列方程求得，即可得到椭圆方程；（2）由题意，设直线l的方程为，联立方程组利用韦达定理可得，，进而题意求得点的坐标，再由分别直线AQ和直线BQ的方程可得点和点，从而利用以上条件代入化简的值，进而即可得证点F为线段CD的中点.【小问1详解】由题意得解得，．所以椭圆E的方程是．【小问2详解】椭圆E的右焦点F的坐标为，由题意，设直线l的方程为．，整理得．因为，所以，设直线l交椭圆E于点，，则，．由直线l的方程，令，解得，所以，．所以直线AQ的方程为，．令，解得，所以．直线BQ的方程为，．令，解得，所以．．由于，．则，所以线段CD的中点为F．22.【答案】（1）（2）不存在，使得成立（3）【分析】（1）根据题目给出的集合的定义求解即可；（2）使用假设法，假设存在，使得，进行计算检验，从而得出结论；（3）首先证明时，对任意的都有，然后证明除形式以外的数都可以写成若干个连续正整数之和，分类讨论即可得解.【小问1详解】由题意可得，，，所以.【小问2详解】假设存在，