福建省莆田市莆田第五中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页莆田五中2024-2025学年下学期高二年级数学期中考试卷（考试时间120分钟考试满分150分）一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）（

）A．48 B．36 C．24 D．8已知，，则向量在向量上的投影向量是（

）A．35，35，−1 B．338，3．若随机变量的分布列为1230.20.5则下列结论正确的是（

）A．E(X)=2.1 B．D(X)=0.49C．E(3X+1)=7.3 D．D(3X+1)=5.414．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点满足，若，则（

）A．B．C．D．5．二项式x+1x6A．种B．种C．种D．种6．在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为（

）A．9 B．-9 C．3D．-37．6位学生在厦门方特游玩三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（

）A．180种 B．210种 C．240种 D．360种8．已知函数，若，，且时，都有，则实数a的取值范围是（

）A．B．C．D．

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.给出下列命题，其中正确的是（

）若非零空间向量满足，则有若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则或若向量，且，则D．若向量，且共面，则已知事件A，B，且，，，则（

）A． B． C． D．已知函数，下列说法正确的是（）的单调递减区间是在点处的切线方程是若方程只有一个解，则D．设，若对，使得成立，则三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12．已知函数，是的导函数，则．13．用4种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有种.14．甲乙丙三个班级共同分配9个三好学生名额，每班至少1个名额，用X表示这三个班级中分配的最少名额数，则X的数学期望.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．已知，N，若的展开式中，．(1)求的值；(2)求的值．在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在上面（横线处）问题中，解决上面两个问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．16．已知函数（为自然对数的底数）.(1)求函数的单调递减区间；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.17．如图，在四棱锥中，，，，，，为等边三角形.(1)若为的中点，求证：平面；(2)求二面角的正弦值.18．第22届亚运会在中国杭州举行，中国代表团斩获201枚金牌，稳居榜首.为了普及亚运会知识，某校组织了亚运会知识竞赛，设置了A，B，C三套不同试卷.现将每份试卷分别装入大小、外观均相同的竹筒中，再放入甲、乙两个抽题箱内，其中甲箱装有A卷竹筒4个、B卷竹筒3个、C卷竹筒2个、乙箱装有A卷竹筒2个、B卷竹筒2个、C卷竹筒5个.(1)若从甲箱中取出一个竹筒，求该竹筒装有A卷的概率.(2)若从甲、乙箱中各取出一个竹筒，记取出的装有B卷的竹筒数为随机变量，求的分布列与数学期望.(3)若先从甲箱中随机取出一个竹筒放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个竹筒，求从乙箱取出的竹筒装有C卷的概率.19．已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若存在极大值，且极大值不大于，求实数a的取值范围.参考答案一、单选题题号12345678答案ACDBDACD二、多选题题号91011答案BCDACDBD三、填空题12．24【分析】先求导数，再分别计算、、后可求解答案.【详解】因为，所以，所以，即，，，故．故答案为：13．72【分析】先对1，2，3三个区域涂色，再讨论1和5区域是否同色，结合排列数分析求解.【详解】先对1，2，3三个区域涂色，有种涂法，当1和5区域同色时，有种涂法；当1和5区域不同色时，有种涂法；综上所述：共有种涂法.故答案为：72.14．【分析】由隔板法求得总的情况数，利用分组分配的思想求得不同取值下情况数，结合古典概型写出分布列，根据均值的计算，可得答案，【详解】由题意可得的可能取值为，且总的情况数为，当时，分组情况有，，，，情况数分别为；当时，分组情况有，，情况数分别为；当时，分组情况有，情况数为.则，，，可得的分布列如下：所以.故答案为：.15．(1)(2)0【分析】（1）利用二项式系数的性质分别求解；（2）利用赋值法求项的系数和.【详解】（1）在二项式的展开式中，若选填①，只有第6项的二项式系数最大，则展开式中有11项，即；若选填②，第4项与第8项的二项式系数相等，则，即；若选填③，所有二项式系数的和为，则，即．故；（2）由（1）知，于是中，取，得；取，得∴所求16．(1)、(2)【分析】（1）求出函数的定义域，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递减区间；（2）由参变量分离法可得出对任意的恒成立，利用导数求出函数在时的最小值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）函数的定义域与，且，令，得或，所以，函数的单调递减区间为、.（2）对任意的，.由于，则，令，其中，则，令，则.当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以，，则，因此，实数的取值范围是.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点，连接，根据条件得到是平行四边形，从而有，再利用线面平行的判定定理，即可证明结果；（2）建立空间直角坐标系，求出平面与面的法向量，再利用面面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）取中点，连接，因为为的中点，所以且，又且，所以且，所以是平行四边形，得到，又面，面，所以平面.（2）过作于，因为，，，，所以，又为等边三角形，所以，又，所以，得到，又，，面，所以面，又面，所以面面，取中点，连接，则，又面面，面面，面，所以面，过作，以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由，，知，所以，，，设平面的一个法向量为，由，得到，取，得到，所以，设平面的一个法向量为，由，得到，取，得到，所以，设二面角的平面角为，，因为，所以.18．(1)；(2)分布列见解析，；(3).【分析】（1）结合组合知识，根据古典概型计算即可得解；（2）分别计算从甲乙箱中取出B卷的概率，再计算随机变量的概率得出分布列，求出期望；（3）根据全概率公式求解即可.【详解】（1）记“从甲箱中取出的竹筒装有A卷”为事件，则.（2）由题意，得从甲箱中取出的竹筒装有B卷的概率，从乙箱中取出的竹筒装有B卷的概率.随机变量的所有可能取值为0，1，2，则，，，

所以的分布列为012所以数学期望.（3）设事件为“从乙箱取出的竹筒装有C卷”，事件，，分别为“从甲箱中取出的竹筒装有A卷、B卷、C卷”，则18．(1)(2)2【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线的斜率，由此可得结果.（2）讨论的范围，得到时，的极大值为，通过构