高三数学二轮复习讲练测第7讲 三角函数求ω归类（解析版）（新高考专用）

当3=11时，----+小二4五，"£Z,,:d>I—r;・小=---,

424

此时F（如在（占，斗）不单调，不满足题意；

1836

当3=9时，——+4>=A>keZ,*.*d>|^—>=~»

424

此时F（x）在（占，斗）单调，满足题意；故3的最大值为9,故选反

1836

【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查，题目新颖，是一道考查能力

的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①/（x）=4sin®E+*）（Aw0©¥0）的单调区间

长度是最小正周期的一半;②若/（力=M皿8+伊）（400初工0）的图像关于直线犬二再对

称,则/（须）=4或〃*二一4

题型全归纳

【题型一】只有单调性求3

【讲题型】

例题1.已知函数/(x)=sin(0%+2^)—2sin*8s(的+e)(co>0,*eR)在

调递增，则①的取值范围是（）

（115351,35

A.0,-B.-,-C.D.0,-i

I3」]_33j|_23JI3」L23」

【答案】I）

【分析】根据正弦和角与差角公式化简函数式，结合正弦函数的单调递增区间求得了（元）的

单调增区间，由在（见上单调递增即可确定①的取傕范围.

【详解】根据正弦和角与差角公式化简函数式可得〃x）=sin（5+2°）-2sin*cos（5+0）

=sin[(5+°)+*]-2sinocos(5+°)

=sin(6wx+(p)cos(p+cos(<y.r+°)sin夕一2sin0cos[cox+°)

=sin(3x+o)coso-cos(6ar+0)sin0=sin(5+0—0)=sin5,(3>0,(pwR).

根据正弦函数单调递增区诃可知-2+24开《《"<2+2攵7,（kwZ）上单调递增,

22

化简得-g+也+出，keZ；・••函数/（x）的单调增区间为

2（oco2（o（D

42k.Tr冗2k冗

---+---,一+—,(A:eZ).

2(oco2(Dco

上单调递减,可得<,(A：GZ).又69>0,

乙Z——+——>—

2(Dco2

135

当&=0时，可得当左=1时，可得5工/4记故选：I).

例题2.&>0,函数f(x)=sin号sin空段在f彳上单调递增，则。的范围是()

A.(o,：B.(0於C.(0,2]D.[2,+oo)

【答案】B

【分析】根据诱导公式和二倍角的正弦公式可得/(x)=；sin3r,再求出“幻的增区间

冗2k兀7t2k兀

----+----,——+根据号q=W焉列式可解得结果・

269CD2(0CD

1I1乃乃

【详解】由题得/(x)=sin-axcos—的=-sinfyx,由——+2k/r<<yx<—+2k7r,keZ,

22222

得手十方"才工’旧，所以N的单倜递增区间为匕丁丁，京

―，因为函数/(小轲妙在一抬上单调递增，所以-抬=*焉

nn

--3--

所以2①3,乂”>0,所以0工］.故选：B.

工2

2(o4

【讲技巧】

函数y=Asin®x+4+8(A>0,。>0)的单调性性质：

由一g+2E++2E(攵eZ)求增区间；由g+2E44言+2也(々wZj求

减区间.

【练题型】

1.已知函数/（力=6$皿3）8$（如）+8$23；-3（3>0）,若/（X）在一会5上单调递增,

则①的取值范围为（）

A.（0,2]B.（0,1]C.（|,1D.（og

【答案】D

【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数/（x）,根据/"）在一看4上单调递增，

建立不等关系，解出。的取值范围.

(D7C7T7T

-------+-2——

362

【详解】因为/（x）邛sin25+"芋8—=sin（25+：）,由题意得,

(071冗，71

——+—<—,

262

22

解得又3>0,所以故选：D

2.设3>0,若函数/（x）=2sinar在上单调递增，则”的取值范围是—

34

【答案】（（）,力3

【分析】

根据正弦函数的单调性，求出函数/'（x）=2sins:的单增区间，由-1+2版+2氏乃

-~+2k^

」_____<.£

（%eZ）,可得：一；+2%-工（工；+2改乃,所以

83,整理即可得解.

COCt）-+2^

Z_______>£

CD4

【详解】

根据正弦函数的单调性，可得：-1+2&乃+（丘Z）,

——+2%]

冗乃—......<--f/3〃

所以：一婷2%/2丘，解得：s3,整理可得：@宁6匚当&=。

—-兀

co--ty------------—+2k7r69<2+8/c

2______>£

(D4

有解，解得。3.故答案3为：(0,1].

3.已知函数/⑴=2sins(3>0)在区叫一曷]上是增函数，且在区间[0,汨上存在唯一的

%使得/■(%)=2,则3的取值不可能为()

A.\12B.\C.4\D.1

*5D

【答案】A

【分析】

由函数八幻是奇函数，可知人外在卜葭]上是增函数，从而得到1(一9工%即3工1，

又因为函数/(%)在区间[0,加上存在唯一的"。使得/'Go)=2,可得到3凡=2kn+^(kGZ),

结合3%€[0,几问，可得到0W2k+1w3,从而得到3ML即可选出答案。

【详解】

函数f(x)-2sins3>0)在区间[冶图上是增函数，又因为fCt)-2对皿是R上奇函数，

根据对称性可知函数/(%)在卜星]上是增函数,则]一(-9丹=5解得3工1'

因为&e[0,n],所以3%e[0,na)]f

因为函数/(幻在区间[0,用上存在唯一的勺使得/Go)=2,

所以/(%0)=2sin3%0=2,则3%0=2/CTT+](%Ez),则0W2/ar+]W解得0£2k+

只有当k=0时，满足题意，故]43工1，所以只有选项A不可能取到。

【题型二】对称轴求3

【讲题型】

例题1.已知向量4=(5足垓,853),〃=(1,-1),函数/(A)=ab，且①>5，X€R,若/㈤的

任何一条对称轴与X轴交点的横坐标都不属于区间(3万,4万)，则3的取值范围是()

A.［口竺］52当

12161216

cJ7,ll19,n111,ll15.

C.(-,—13r—,—D.(-,—Mr—,—]

21212162161216

【答案】B

【解析】

f(x)=sin<yx-cos(oxt/(x)=5/2sin(/yx——)，由/>一,得丁==〈4乃，—>—<co<\,

42co22

由对称轴公1-7=]+女乃"='弓乃+就)，kwz,假设对称轴在区间(3乃,44)内，可知

3k1k.......…771111155妨丁0丁广一

〈十二〈/〈一+1，当k=L2,3时，—<(0<—,—<co<-,—<&)<-,现不属于区间

1644316121612164

(3乃,4万)，所以上面的并集在全集中做补集，得。2MH外选B.

212lo1210

例题2.设切为正实数，若存在a、b,^<a<b<2^,使得cos公z+cosd?=2,则①的取值

范围是_______

【答案】｛2｝。[3,内)

【分析】

由cos函+cos/?=2知cos函=1,cos就?=1,｛(oci,cob\c\(07r,1(on\,故已知条件等价于：

存在整数上/(Av/),使得公冗S2k7T<2brW2^r①,对。进行分类讨论求出口的取值范围.

【详解】

由cosaw+cos。匕=2知8$函=1,cos戒?=1,

[.,痴]0/心2劭r],故已知条件等价于：存在整数-优</),使得

(071<2k兀<21兀<2(07：①

当4时，区间。肛2。句的长度不小于4%,故必存在"满足式①;

当0V3V4时，注意到，3乃,2。乃]口(0,8万).

故只要考虑如下几种情况：

(1)core<2^<4^-<2CO7T,解得®=2；

(2)core<4^,<6^-<2M,解得3e[3,4].

综上，0£{2}u[3,+oo).故答案为：{2}D[3,S)

【讲技巧】

函数y=4sin(s+e)+8(A>0,3>0)对称轴的性质:

由+*=5+求对称轴.

【练题型】

1.若函数/(x)=sin2x+cos(2K-0)关于x=£对称，则常数。的最大负值为______.

4

【答案】-y

【分析】

根据函数的对称性，利用〃0)=/(卷)，建立方程进行求解即可.

【详解】若/*)关于x=C对称，则/(0)=/(1)，即sinO+cosp=sin;r+8s(;r-e),即

cos°=-cosw,则COS°=0,则9=&九+工，kwZ,当女二一1时，(P=--,故答案为：一2

222

2.已知函数/(.r)=sin皿+cos3(0>0).xwR,若函数/(.r)在区间(一包CD)内单调递增.

且函数的图象关于直线x对称，则下列命题正确的是()

A.f((o)=\B./(-(y)=-x/2

C.f2(x+co)+f2(x-^)=2D./(x+24)=/(.r)

【解答】解：函数/(幻=5[|1(原+854办=血$111(3%+£)(a>0),xeR,

4

若函数/“）在区间（-电助内单调递增，.■「苏+工…―c,且疗+々工，

4242

求得疗“£.再根据函数/*）的图象关于直线x=°对称，.•.4+?=/,〃=?,'.

/.f（co）=V2sin（6y2+—）=V2sin—=V2，故排除A；

42

/(-^)=y/2sin(-<w-+-)=0,故排除B；

4

f2(x+⑷+/2(x-a))=2sin2(cox+<y2+—)+2sin2{(ox-<y2+—)=2cos2(fyx)+2sin3(a)x)=2

’44

故C正确;

由于/（.r）=^sin（^+-）的最小正周期为二=46，故2万不是/（%）的周期.故。错误,

4（0

故选：C.

3..已知函数〃x）=sin如+丁（/〉0）图象的一条对称轴为直线则”的最小值为

k10710

()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据对称性可得裔3+葛=＞版■（丘Z）,从而可•得结果.

【详解】因为sin（3°+当］=±1，所以二0+¥=£+觊伏©Z）,解得3=3+16NZeZ）,

116Io）16162

又。＞0,所以当左=0时，。取得最小值3.故选：B

【题型三】对称中心求3

【讲题型】

/L\

例题1.设函数/（X）=2COS（2X+°）的图象关于点—,0中心对称，则时的最小值为（）

【答案】I)

【分析】利用为对称中心，列出方程，求出|。卜-17兀+履，kwZ,求出|同的最小

6

值.

【详解】由题意得：2X§+Q=W+E,keZ,解得：。=-?+布，keZ,所以|同:一?+E

626o

keZ,当攵=1时，网取得最小值为：故选：D

例题2.函数/(x)=asincox+/?coscox=Asin(3r+w)R,A>0,3>0,|同<今的一个对称

中心为(-£,0),且/'(X)的一条对称轴为X=g,当“取得最小值时，一名

63az+t

A.1B.V3C.—D.—

42

【答案】C

【详解】由题得松+。=勺万(4wz)廿(-令+8=勺乃

ff(x)=Awcos(>ur+夕)，所以wx+(p=&%(&ez)vv-+<^=k/,

两式相减得卬4=伏2-勺)乃・.•%,=2.此时伊栏.所以

1,小

a=—mb=——m号■与故选c

22

【讲技巧】

函数V=Asin(5+0)+仅A>0,。>0)的对称中心性质:

由ox+°=反(kwZ)求对称中心.

【练题型】

jrK7171

1.已知函数/*）=Asin（5+0）,且/（=+%）=-/（；-穴）,/（二+工）=/（二一为，则实

3366

数&的值可能是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

分析：首先根据题的条件，确定出函数图像的对称中心的坐标和对称轴方程，之后借着对称

中心到对称轴的距离与函数周期的关系，得到了=一^,再结合7=至求得口=62-3,

6k-3co

从而求得结果.

7T7T

详解：根据题意可知，点（二,0）是图像的一个对称点，直线X二”是图像的一条对称轴，

30

所以会有三一丁二£一^二乡，从而可以求得7=广二优£"*）,所以有

43666k-3

从而得。=64-3,从而可以求得可以是3,故选B.

co6K-3

2.已知函数./'（幻=25皿3工+0）（a>0）,点4^是曲线），=/。）相邻的两个对称中心，点。是

Ax）的一个最值点，若J18C的面积为1,则①=（）

A.1B.-C.2I）.兀

2

【答案】D

【解析】利用正弦函数性质及4ABe的面积，可得周期，然后求得①.

1|7

【详解】由题意S△机・；|人四x»c|・；|八8卜2一［人用=1，所以;=1，即周期为了一2,

所以&.

故选：D.

3.已知函数/（幻=5皿也¥+夕）（3>0,04。4乃）是/?上的偶函数，其图象关于点M（丁,0）对

4

称，且在区间卜费］上是单调函数，则”的值是（）

99

A.-B.2C.§或2D.无法确定

【答案】C

【分析】根据/"）为偶函数及万可得#=再由对称中心例（子,0）可得

2，

（o=-（2k+\）,keN,结合函数的单调性可得”的值.

【详解】由/（幻是偶函数，得/（一幻=/（幻，即sin（—s+*）=sin（3x+。），

所以一35。4113=8584118对任意*都成立，且3>0,所以得COS8=0.

依题设0工。<乃，所以解得夕=］,故/*）=cos8.

因为的图象关于点用（当,0）对称，竽=1+E,UN.

442

所以vo=2（2AT「）/eN.

3

又/“）在区间］（kJ］上是单调函数，所以（X型之《，故Ov°K2.

2J2。2

2

故/=§或6y=2.故选：C.

【题型四】极（最）值点“恰有”型求3

【讲题型】

例题L已知函数4）2in（。若）3。）的图象在区间［。…上恰有3个最高点，则出

的取值范围为（

19万27乃]9113乃)177r25乃)

D.[4万,61)

A.~'~4~)B.C.

【答案】c

【分析】

根据区间［0,1］,求出3广£的范围，由于在区间［0,口上恰有3个最高点，建立不等关

4

系，求解即可.

【详解】

函数/*(*)=2sin(3户工)(W>0),1］上，w—E［—,w+—］,

4444

图象在区间［0,1］上恰有3个最高点，

A4^+-<^+-<6^-+-,解得：—<^<—.故选：C.

24244

例题2.•己知函数-2sin(s,十0)的图象在区间［0,1］上蛤有1个纵坐标是最高点,

4

则口的取值范围为O

r45乃、cr乃5乃、〃r49不、八S九、

A.B.C.D.{—,27V)

4422442

【答案】C

【分析】

根据区间［0,1］上，求出ax+f的范围，由于在区间［0,1］上恰有1个最高点，建立不等

4

式关系，求解即可.

【详解】函数/'(x)=2sin(s+?)(a〉0),V^G［0,1］±,：.a)x+^e5M+?，

图像在区间［0,1］上恰有1个最高点，.•.gw口十］〈当，解得：故选：C.

24244

【讲技巧】

涉及到对称轴对称中心以及单调性多个同时出现时,

WX+Q=k/gWZ),或者>以+0=0用+］等等时，不要把所有的都写成一个k,因为需要

多个式子，而这些式子的不一定一致，即它们本身不一定相等.实际上建议换成不同的

字母教合适。

【练题型】

1.己知函数/(x)=2sin(公r+。>0的图像在区间［-1,l］上恰有三个最低点，则@为取

值范围为一

117T13兀、

【答案】

【分析】

直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的单调递区间的应用求出结果.

解：XG［-I,i］,.•.如+卜［-©+1Q+刍3>0).根据正弦型函数图象的特点知，y粘左侧

444

有1个或2个最低点.

①若函数图象在y轴左侧仅有1个最低点，则?”©+［<¥，解得手，，。〈半，

24244

.,「◎+£6(-51，-3加，此时在y轴左侧至少有2个最低点.••・函数图象在y轴左侧仅有1

4

个最低点不符合题意；

②若函数图象在y轴左侧有2个最低点，则芬,,3+£<¥，解得苧”。<学，又

24244

9不冗5Kn，,.119不

--<-<y+-„,贝IJ,

24244

故当”0〈手，...@w［等，学)时,/㈤在［T,1)恰有3个最低点.

4444

综上所述，◎€［学,学).故答案为：半).

4444

2.已知函数〃x)=4sin的+g®>0),圆C的方程为(x—5):_/=25,若在圆C内部恰

好包含了函数/'(工)的三个极值点，则”的取值范围是

25人7万311

【答案】

、石，而

【分析】

易得直线y=4与圆c交于A,8两点，其中勺=2,4=8,,则问题转化为：求〃x）=4sin

（o恰有三个极值点落在区间（2,8）内的0的范围.换元之后数形结合可求解.

【详解】依题意可知，〃x）=4sin（的+?）的最值为±4,如图作出直线），=4,与圆C交

于A,B两点,由圆C的半径为5易得/=2,勺=8,要使圆C内部恰好包含了函数/（力

的三个极值点，则需/（x）=4sin（ox+?）恰有三个极值点落在区间（2,8）内，令/=5+?,

则1g（2口+?,8«+?）,故只需考虑y=4sin/在re（2©+?,8©+?）内恰有三个极值点，设

万,、+(&+乃，则有

这三个极值点分别为6=彳+Qr,ag+gi)乃4=2)keZ,

兀(4一1)4冗k冗

—+(k-\)7r<2M+—<—+kn.keZ,—+------—<C0<—4-——,kwZ、

232得

22122又

IT允/

一+(k+2)/r<8<v+—K—+(A+3)/r,keZ》二二+必—,keZ,

232488488

19425乃；当&=2时，诋得笔

刃＞因为当时无解；当〃时，

0,&N0.k=0=10e~48~1~48~

+化生〈工+化也恒成立，因此无解.

由鹿

当AN3时,

22

19万25笈743E

综上可知,

69G而，而77,而

」9乃25乃7万31乃

故答案为:、而，而77,TT

3.已知a=(2sin竽,cos?)力=(Gcos?,2cos竿)，函数=9在区间［0,9］上恰有3

22223

个极值点，则正实数①的取值范围为()

Qc75577

A.勺彳)B.(-,-］C.卬/D.(12］

【答案】B

7T4〃

【解析】先利用向量数量积和三角恒等变换求出〃x)=2sin(5+：)+l,函数在区间［0,丁］

63

上恰有3个极值点即为三个最值点，④r+g=g+M•/eZ解出，工=在+且/eZ,再建

62M(0

立不等式求出k的范围，进而求得3的范围.

【详解】解：/(x)=V3sincox+2cos-yfji+cosCDX-\-\=2sin(6?x+—)+1

2sn(0X6

令ox+7=<+GZ,解得对称轴X=—।-----,kwZ,，/'(0)=2,

623(oco

又函数/(x)在区间［0,?］恰有3个极值点，只需^+―<^<^+—

33(0CO?>M0)

解得!</工二.故选：B.

42

【题型五】极(最)值点“没有”型求3

【讲题型】

例题1..已知函数/（入一）=|期11的）2+331128-；（切＞0,。€/?）,若/（x）在区间（4,2））内没

有极值点，则”的取值范围是

37

【答案】

8，-16

【分析】

由题设得/（“=孝4］（2—7）,根据区间内没有极值点，应用整体代入法列不等式得

3

co>k--co>k+-

Q1

8Tuy,北且。即可求。的范围.

k3/72

co<—+—a)<—+—

216216

【详解】

告sin(25-»

/(x)=(sinfyx)2+-sin2^x--=-sin2cox--cos2cox=

2222

小«兀2兀）上23一色（2防-卜.一＞/）没有极值点,

c,兀,c4.7T..7Tac.7Z/兀.7T*.3兀

..2k兀----<2CO7V-----<4M-----<2k7r+—或2k兀+—<2a)兀-----<4M-----<2KTT+——,

24422442

(o>k--①之k+一

8

或，,)，而4。工一工一(2fyx-2)=23乃4万且3>0得：0<<y<-,

,k3,k1442

6V<—+—co<—+—

216216

3

・・・/=0,弓3或3/.故7答案为:(03,-u3377

16816\I1o6o8io16

例题2..已知函数/(x)=2sin®x+e)G>0,0V><的图象过点（0,6），且在区间

（兀,2冷内不存在最值，则①的取值范围是（）

12。」Iu丫_1_7

A，4B.C.D.u

3,3121233

【答案】1）

【分析】先将点（o,6）代入/（X）,求得。，由/（力在区间（兀2江）内不存在最值，得（兀2兀）

是/（力单调区间的真子集，利用数轴法得到不等式组，解之即可得到①的取值范围.

【详解】因为函数/a）=2sin®x+°）过点（0,@,

所以/（0）=后,即2sin[=G，故sinp=等，

因为。<8<^，所以>=彳,故/（x）=2sin妙+。

由++得一事+也+生，所以/（力的单调递增区间为

232069co6M6）

「57r2knn2kn~\.„

--+—,—+—,kwZ,

L6<y6966yco

同理：/（x）的单调递增区间为广~+变^普+竺^、keZ,

\_QC0COQCOco_

因为/（X）在区间（九2兀）内不存在最值，所以（兀,2兀）是“力单调区间的真子集，

5冗2be

万〉一11J____co>~—+2k

5712knn2kit.6(oC)6

当（兀,2兀）--+—，丁+一时，有，9解得即

6(os6(oco712阮

2兀<+---co<—+k

6coG)