高中人教A版 (2019)1.2 空间向量基本定理当堂检测题

高中人教A版(2019)1.2空间向量基本定理当堂检测题一、选择题（每题4分，共16分）1.空间向量a与b满足|a|=3，|b|=5，a与b的夹角为60°，则向量a与向量b的点积是（）A.15B.-15C.-9D.92.已知向量a与向量b的夹角为120°，向量a与向量b的点积是-10，则向量a的模长是（）A.10B.5√3C.5√2D.2√33.空间中两个非零向量a、b的夹角为60°，且a与b的点积为10，若|a|=4，则|b|的值是（）A.5B.10/3C.10/2D.10/√34.空间中两个向量a、b的夹角为30°，a与b的点积为3，若|a|=2，则|b|的值是（）A.√3B.2√3C.3√3D.2二、填空题（每题4分，共16分）5.设向量a与向量b的夹角为α，若|a|=5，|b|=4，则a与b的点积为________。6.空间中两个非零向量a、b的夹角为θ，若a与b的点积为12，且|a|=6，|b|=4，则θ的值为________。7.设向量a与向量b的夹角为β，若|a|=7，|b|=8，且a与b的点积为-56，则β的值为________。8.空间中两个非零向量a、b的夹角为φ，若a与b的点积为20，|a|=5，|b|=3，则φ的值为________。三、解答题（共20分）9.（10分）已知向量a与向量b的夹角为α，|a|=5，|b|=3，且a与b的点积为15，求cosα的值。10.（10分）已知向量a与向量b的夹角为β，|a|=6，|b|=4，且a与b的点积为-12，求sinβ的值。四、解答题（每题10分，共20分）11.已知向量a与向量b的夹角为75°，且|a|=√3，|b|=2，求向量a与向量b的点积。12.设向量a与向量b的夹角为π/3，|a|=4，|b|=5，若a与b的点积为-10，求cos(α-β)的值，其中α为向量a与向量b的夹角，β为向量a与向量b的夹角的补角。五、证明题（每题10分，共10分）13.证明：若向量a与向量b的夹角为α，且|a|=|b|=1，则a与b的点积等于cosα。六、应用题（每题10分，共10分）14.在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,3)，点B(4,5,6)，点C(7,8,9)。求向量AB与向量AC的点积，并判断向量AB与向量AC的夹角是锐角、直角还是钝角。本次试卷答案如下：一、选择题1.A解析：向量a与b的点积为|a||b|cosθ，其中θ为a与b的夹角。代入数值计算得：3*5*cos60°=15*1/2=7.5，故选A。2.B解析：向量a与b的点积为|a||b|cosθ，其中θ为a与b的夹角。由题意知cosθ=-10/|a||b|，代入|a|=10，|b|=4，得cosθ=-10/(10*4)=-1/2，θ=120°，所以β=180°-120°=60°，故选B。3.A解析：向量a与b的点积为|a||b|cosθ，其中θ为a与b的夹角。由题意知cosθ=10/(4*5)=1/2，θ=60°，故选A。4.A解析：向量a与b的点积为|a||b|cosθ，其中θ为a与b的夹角。由题意知cosθ=3/(2*2)=3/4，θ=arccos(3/4)，故选A。二、填空题5.20解析：向量a与b的点积为|a||b|cosθ，其中θ为a与b的夹角。代入数值计算得：5*4*cosα=20，故cosα=1，α=0°。6.π/3解析：向量a与b的点积为|a||b|cosθ，其中θ为a与b的夹角。由题意知cosθ=12/(6*4)=1/2，θ=arccos(1/2)，故θ=π/3。7.2π/3解析：向量a与b的点积为|a||b|cosθ，其中θ为a与b的夹角。由题意知cosθ=-56/(7*8)=-1/2，θ=arccos(-1/2)，故θ=2π/3。8.π/6解析：向量a与b的点积为|a||b|cosθ，其中θ为a与b的夹角。由题意知cosθ=20/(5*3)=4/3，θ=arccos(4/3)，故θ=π/6。三、解答题9.cosα=3/5解析：向量a与b的点积为|a||b|cosθ，其中θ为a与b的夹角。由题意知|a|=5，|b|=3，a与b的点积为15，代入公式计算得cosα=15/(5*3)=3/5。10.sinβ=2√3/3解析：向量a与b的点积为|a||b|cosθ，其中θ为a与b的夹角。由题意知|a|=6，|b|=4，a与b的点积为-12，代入公式计算得cosβ=-12/(6*4)=-1/2，故sinβ=√(1-cos²β)=√(1-(-1/2)²)=√(1-1/4)=√(3/4)=2√3/3。四、解答题11.向量AB与向量AC的点积为0，夹角为90°。解析：向量AB=(4-1,5-2,6-3)=(3,3,3)，向量AC=(7-1,8-2,9-3)=(6,6,6)。向量AB与向量AC的点积为3*6+3*6+3*6=0，故夹角为90°。12.cos(α-β)=-1/2解析：向量a与b的点积为|a||b|cosθ，其中θ为a与b的夹角。由题意知|a|=4，|b|=5，a与b的点积为-10，代入公式计算得cosα=-10/(4*5)=-1/2，cosβ=cos(π-α)=-cosα=1/2。由余弦定理得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(-1/2)*(1/2)+(√(1-(-1/2)²))*(√(1-(1/2)²))=-1/2。五、证明题13.证明：若向量a与向量b的夹角为α，且|a|=|b|=1，则a与b的点积等于cosα。解析：向量a与b的点积为|a||b|cosθ，其中θ为a与b的夹角。由题意知|a|=|b|=1，代入公式计算得a与b的点积为co