高升专数学（理）成人高考模拟试卷2025预测版押题版含函数单调性

高升专数学（理）成人高考模拟试卷，2025预测版押题版含函数单调性一、选择题要求：本部分共10题，每题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数$f(x)=x^3-3x$，则函数的单调递增区间是（）A.$(-\infty,-\sqrt{3})$，$(\sqrt{3},+\infty)$B.$(-\infty,-\sqrt{3})$，$(0,\sqrt{3})$C.$(-\sqrt{3},0)$，$(\sqrt{3},+\infty)$D.$(-\infty,0)$，$(0,+\infty)$2.设函数$f(x)=x^2+2ax+b$，其中$a>0$，$b\neq0$，则函数$f(x)$的图像与x轴有两个交点的充要条件是（）A.$a^2-b<0$B.$a^2-b>0$C.$a^2-b=0$D.$a^2+b<0$3.已知函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，则函数$f(x)$的单调递减区间是（）A.$(-\infty,-1)$B.$(-1,0)$C.$(0,+\infty)$D.$(-\infty,0)$4.函数$f(x)=x^3-3x+2$在区间$[0,2]$上的最大值是（）A.$-1$B.$0$C.$2$D.$3$5.设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，则函数$f(x)$的图像与x轴的交点个数是（）A.1B.2C.3D.46.已知函数$f(x)=x^2+2ax+b$，其中$a>0$，$b\neq0$，则函数$f(x)$的图像与x轴有两个交点的充要条件是（）A.$a^2-b<0$B.$a^2-b>0$C.$a^2-b=0$D.$a^2+b<0$7.函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，则函数$f(x)$的单调递增区间是（）A.$(-\infty,-1)$B.$(-1,0)$C.$(0,+\infty)$D.$(-\infty,0)$8.函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在区间$[0,2]$上的最小值是（）A.$-1$B.$0$C.$2$D.$3$9.设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，则函数$f(x)$的图像与y轴的交点坐标是（）A.$(0,-1)$B.$(1,0)$C.$(2,1)$D.$(3,2)$10.已知函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，则函数$f(x)$的单调递减区间是（）A.$(-\infty,-1)$B.$(-1,0)$C.$(0,+\infty)$D.$(-\infty,0)$二、填空题要求：本部分共5题，每题4分，共20分。11.函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在区间$[0,2]$上的最大值是______。12.函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在区间$[0,2]$上的最小值是______。13.函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$的单调递增区间是______。14.函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$的单调递减区间是______。15.函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的图像与y轴的交点坐标是______。三、解答题要求：本部分共2题，共40分。16.（20分）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求函数$f(x)$在区间$[0,2]$上的最大值和最小值。17.（20分）已知函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，求函数$f(x)$的单调递增区间和单调递减区间。四、应用题要求：本部分共1题，共10分。16.（10分）一公司生产某种产品，每天生产成本为800元，且每生产一件产品需花费20元。根据市场调查，如果售价定为100元/件，每天可以卖出100件；若售价每增加1元，销量就减少10件。求该公司的利润函数，并找出利润最大的售价和对应的最大利润。五、证明题要求：本部分共1题，共15分。17.（15分）证明：若函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$在$x=0$处的导数为0，则函数$f(x)$在$x=0$处取得极值。六、计算题要求：本部分共1题，共15分。18.（15分）已知函数$f(x)=2x^3-9x^2+12x+3$，求函数$f(x)$的极值点和拐点，并分析函数的凹凸性。本次试卷答案如下：一、选择题1.A解析：函数$f(x)=x^3-3x$的导数为$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=\pm\sqrt{3}$，当$x<-\sqrt{3}$或$x>\sqrt{3}$时，$f'(x)>0$，函数单调递增；当$-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}$时，$f'(x)<0$，函数单调递减。2.A解析：函数$f(x)=x^2+2ax+b$的判别式为$\Delta=4a^2-4b$，要使函数与x轴有两个交点，则$\Delta>0$，即$4a^2-4b>0$，简化得$a^2-b>0$。3.B解析：函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$的导数为$f'(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}$，由于导数恒大于0，所以函数在整个定义域上单调递增。4.C解析：函数$f(x)=x^3-3x+2$在区间$[0,2]$上单调递增，所以最大值在$x=2$处取得，$f(2)=2^3-3\times2+2=2$。5.B解析：函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的导数为$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$，通过判断导数的符号变化，可以确定函数在$x=1$处取得极小值，在$x=\frac{2}{3}$处取得极大值，因此图像与x轴有两个交点。二、填空题11.2解析：同选择题第4题解析。12.-1解析：函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在区间$[0,2]$上单调递增，所以最小值在$x=0$处取得，$f(0)=-1$。13.$(-\infty,-1)$，$(0,+\infty)$解析：同选择题第3题解析。14.$(-1,0)$解析：同选择题第3题解析。15.$(0,-1)$解析：函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的图像与y轴的交点坐标是在$x=0$时的函数值，即$f(0)=-1$。三、解答题16.（20分）解析：函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在区间$[0,2]$上的导数为$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$，通过判断导数的符号变化，可以确定函数在$x=1$处取得极小值，在$x=\frac{2}{3}$处取得极大值。计算得$f(1)=-1$，$f(\frac{2}{3})=\frac{7}{27}$，所以最大值为2，最小值为-1。17.（20分）解析：函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$的导数为$f'(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}$，由于导数恒大于0，所以函数在整个定义域上单调递增，没有单调递减区间。四、应用题解析：设售价为$p$元，销量为$q$件，则利润$y$为$y=pq-20q-800$。根据题意，$q=100-10(p-100)$，代入利润公式得$y=-10p^2+1900p-22000$。这是一个开口向下的二次函数，其顶点为利润最大值，顶点坐标为$p=-\frac{b}{2a}=\frac{1900}{20}=95$，代入得最大利润为$y_{\text{max}}=-10\times95^2+1900\times95-22000=7750$。五、证明题解析：函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$的导数为$f'(x)=3x^2-12x+9$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=3$，计算$f''(x)=6x-12$，$f''(1)=-6<0$，$f''(3)=6>0$，因此$x=1$是极大值点，$x=3$是极小值点，故$x=0$不是极值点。六、计算题解析：函数$f(x)=2x^3-9x^2+12x+3$的导数为$f'(x)=6x^2-18x+12$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=2$，计算$f''(x)=12x-18$，$f''(1)=-6<0$，$f''(2)=6>0$，因此$x=1$是极大值点，$x=2$是极小值点。计算得$f(1)=8$，$f(