IB课程HL数学AI2024-2025年期末试卷：数据分析与建模难题挑战与应用

IB课程HL数学AI2024-2025年期末试卷：数据分析与建模难题挑战与应用一、数据分析与描述统计要求：运用描述统计方法对给定数据集进行分析，并解释分析结果。1.已知某班级30名学生的数学成绩如下（单位：分）：78，85，92，88，90，75，93，76，79，84，86，88，87，91，89，83，92，77，85，90，78，91，93，87，88，84，89，85，92，91，90，93。请完成以下要求：a.计算这组数据的平均数、中位数、众数。b.描述数据的分布情况，并说明分布的偏态。c.计算标准差和方差，分析数据的离散程度。2.某城市某月每天的平均气温如下（单位：℃）：-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24。请完成以下要求：a.计算这组数据的平均数、中位数、众数。b.描述数据的分布情况，并说明分布的偏态。c.计算标准差和方差，分析数据的离散程度。二、概率与统计推断要求：运用概率与统计推断方法对给定数据进行分析，并解释分析结果。1.某公司生产的产品合格率为95%。现从该批产品中随机抽取10件进行检查，求以下概率：a.恰有2件不合格。b.至少有3件不合格。c.全部合格。2.某地区某月每天的平均降水量如下（单位：mm）：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60，65，70，75，80，85，90，95，100，105，110，115，120。假设该地区该月平均降水量为100mm，求以下概率：a.某天降水量超过120mm。b.某天降水量在80mm至100mm之间。c.某天降水量在50mm至70mm之间。四、线性回归与相关分析要求：运用线性回归分析给定数据集，并计算相关系数。1.某地某月降雨量（单位：mm）与该月降水量（单位：mm）的观测数据如下：[20,35,50,65,80,95,110,125,140,155]。请完成以下要求：a.建立降雨量与降水量之间的线性回归模型。b.计算回归方程的斜率和截距。c.计算相关系数，并分析两个变量之间的关系。2.某产品生产过程中的产量（单位：件）与所需原材料消耗量（单位：kg）的观测数据如下：[10,15,20,25,30,35,40,45,50,55]。请完成以下要求：a.建立产量与原材料消耗量之间的线性回归模型。b.计算回归方程的斜率和截距。c.计算相关系数，并分析两个变量之间的关系。五、假设检验与置信区间要求：运用假设检验方法对给定数据进行分析，并计算置信区间。1.某公司声称其产品的使用寿命中位数为1200小时。为了验证这一说法，随机抽取了15件产品，测得其使用寿命如下（单位：小时）：1100，1200，1300，1400，1150，1250，1350，1450，1150，1250，1350，1450，1150，1250，1350。假设使用寿命服从正态分布，标准差为100小时。请完成以下要求：a.构建假设检验的零假设和备择假设。b.计算样本中位数，并判断是否拒绝零假设。c.计算使用寿命的95%置信区间。2.某地区某月平均气温为12℃。为了验证这一说法，随机抽取了10天，测得其气温如下（单位：℃）：11，13，12，14，11，13，12，15，11，14。假设气温服从正态分布，标准差为2℃。请完成以下要求：a.构建假设检验的零假设和备择假设。b.计算样本均值，并判断是否拒绝零假设。c.计算气温的95%置信区间。六、时间序列分析与预测要求：运用时间序列分析方法对给定数据进行分析，并预测未来值。1.某公司近五年的销售额如下（单位：万元）：1000，1200，1500，1800，2000。请完成以下要求：a.对销售额数据进行趋势分析和季节性分析。b.建立时间序列模型，并预测下一年度的销售额。c.分析预测结果的可靠性。2.某地区近三年的平均降水量如下（单位：mm）：400，450，460，500，530，560，580，600，620，640。请完成以下要求：a.对降水量数据进行趋势分析和季节性分析。b.建立时间序列模型，并预测下一年度的平均降水量。c.分析预测结果的可靠性。本次试卷答案如下：一、数据分析与描述统计1.a.平均数：(78+85+92+88+90+75+93+76+79+84+86+88+87+91+89+83+92+77+85+90+78+91+93+87+88+84+89+85+92+91+90+93)/30=86.5中位数：将数据从小到大排序后，位于中间的数值，即第15和第16个数的平均值：(87+88)/2=87.5众数：出现次数最多的数值，即88和91，因为它们都出现了3次。b.数据分布情况：数据集中在85到93之间，呈正偏态分布，即数据向右偏斜。c.标准差：使用计算器或统计软件得到标准差约为6.71方差：标准差的平方，约为45.622.a.平均数：(5+10+15+20+25+30+35+40+45+50+55+60+65+70+75+80+85+90+95+100+105+110+115+120)/24=55中位数：将数据从小到大排序后，位于中间的数值，即第12和第13个数的平均值：(60+65)/2=62.5众数：出现次数最多的数值，即没有重复的数值，所以没有众数。b.数据分布情况：数据集中在50到70之间，呈正偏态分布，即数据向右偏斜。c.标准差：使用计算器或统计软件得到标准差约为14.96方差：标准差的平方，约为222.85二、概率与统计推断1.a.恰有2件不合格的概率：使用二项分布公式计算，P(X=2)=(10choose2)*(0.95)^2*(0.05)^8≈0.1615b.至少有3件不合格的概率：1-P(X<3)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2))≈0.6125c.全部合格的概率：P(X=10)=(10choose10)*(0.95)^10*(0.05)^0≈0.05632.a.某天降水量超过120mm的概率：P(X>120)=1-P(X≤120)=1-(P(X=5)+P(X=10)+...+P(X=120))≈0.0186b.某天降水量在80mm至100mm之间的概率：P(80≤X≤100)=P(X=80)+P(X=85)+...+P(X=100)≈0.4102c.某天降水量在50mm至70mm之间的概率：P(50≤X≤70)=P(X=50)+P(X=55)+...+P(X=70)≈0.3689三、线性回归与相关分析1.a.线性回归模型：y=1.5x+5b.斜率：1.5，截距：5c.相关系数：使用计算器或统计软件得到相关系数约为0.9962.a.线性回归模型：y=3.75x+25b.斜率：3.75，截距：25c.相关系数：使用计算器或统计软件得到相关系数约为0.998四、假设检验与置信区间1.a.零假设H0：使用寿命中位数为1200小时，备择假设H1：使用寿命中位数不为1200小时。b.样本中位数：1200，由于样本中位数等于声称的中位数，且没有提供p值或z值，无法直接判断是否拒绝零假设。c.置信区间：使用t分布计算，假设标准差为100，自由度为14，置信水平为95%，得到置信区间为[1090.6,1309.4]。2.a.零假设H0：气温平均值为12℃，备择假设H1：气温平均值不为12℃。b.样本均值：12，由于样本均值等于声称的平均值，且没有提供p值或z值，无法直接判断是否拒绝零假设。c.置信区间：使用t分布计算，假设标准差为2，自由度为9，置信水平为95%，得到置