2024北京清华附中高三（上）统练四数学试题及答案

试题试题2024北京清华附中高三（上）统练四数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知集合，，则（）A． B．{1，2} C．[1，2] D．{1}2．已知复数，则z的共轭复数（）A． B． C．-i D．i3．已知，则（）A． B． C． D．4．已知，，，，则（）A．1 B．2 C．3 D．45．如图，在△ABC中，点D，E满足），．若（x，y∈R），则（）A． B． C． D．6．若是第二象限角，且，则（）A． B． C． D．7．已知数列为无穷项等比数列，为其前n项和，，则“存在最小项”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．若过点（a，b）可以作曲线的两条切线，则（）A． B． C． D．9．血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是（）A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒10．数列满足，，，该数列的前n项和为，则下列论断中错误的是（）A． B．C．非零常数T，，使得 D．，都有二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分．11．若，则实数x的取值范围是______．12．已知角θ的顶点为坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点A（1，a）在角θ的终边上，其中a为整数，且，则的一个取值是______．13．在矩形ABCD中，，，且点E，F分别是边BC，CD的中点，则______．14．已知函数．数列满足（n=1，2，3，…），则数列的前100项和是______．15．已知平面内点集A={P1，P2，…，Pn}（n>1）．A中任意两个不同点之间的距离都不相等．设集合．给出以下四个结论：①若n=2，则A=M：②若n为奇数，则A≠M：③若n为偶数，则A=M：④若．则k≤5．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6道小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16．（本小题14分）在等差数列中，，．（Ⅰ）求数列的通项公式：（Ⅱ）设，其中，求数列的前n项和．17．（本小题14分）已知函数，其中a＞0．且的图象与直线的两个相邻交点的距离等于π．（Ⅰ）求函数的解析式及最小正周期：（Ⅱ）若关于x的方程在区间上恰有两个不同解，求实数m的取值范围．18．（本小题14分）在△ABC中，．（1）求∠A；（2）若△ABC的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．使△ABC存在且唯一确定，求a的值．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求．第（2）问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分．19．（本小题14分）已知函数．（Ⅰ）求证：对∀a∈R．曲线在点处的切线恒过定点；（Ⅱ）当a＞2时，判断函数的零点的个数，并说明理由．20．（本小题14分）设函数．其中a＞0．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时．对于，不等式恒成立，求m的取值范围．21．（本小题15分）已知无穷数列，各项都是正整数，定义集合：，；（Ⅰ）已知，，直接写出集合Da，Db；（Ⅱ）若，，，求证：中有无穷多个1；（Ⅲ）若，均为等差数列，且Da，Db均为无限集，求证：Da=Db．

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B【分析】求出集合中元素范围，然后再求交集即可.【详解】，又则.故选：B.2.【答案】C【分析】先进行复数除法运算，再根据共轭复数概念辨析即可.【详解】，则z的共轭复数.故选：C.3.【答案】D【分析】根据反例可判断AC，根据不等式的性质，结合函数的单调性即可判断BD.【详解】对于A，若，显然满足，但不能得到，故A错误，对于B，由于，所以，又为单调递增函数，所以，故B错误，对于C，若，显然满足，，故C错误，对于D，若，则，函数在上单调递增，所以，当，则，函数在上单调递增，所以，当，则，综上可知D正确，故选：D4.【答案】D【分析】根据的最值，得到，故，求出答案.【详解】的最大值为1，最小值为，设的最小正周期为，又，，，，故，即，解得.故选：D.5.【答案】B【分析】利用平面向量的线性运算可得，再根据平面向量基本定理可得，从而可得答案.【详解】因为，又，所以，所以.故选：B【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理，属于基础题.6.【答案】D【分析】通过诱导公式求出，化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式求解即可.【详解】是第二象限角，且，tanα=−12,，故选：D.7.【答案】A【分析】分别从条件到结论、结论到条件两个方面考虑是否可推出,对于不能推出的结论，可通过举反例说明即可.【详解】设数列an的公比为，由，因“存在最小项”，则，且其单调递减或为常数列，故得，于是，即“存在最小项”是“”的充分条件；当时，因，不妨取，则此时的符号不能确定，故无最小项，即“存在最小项”不是“”的必要条件.综上可知，“存在最小项”是“”的充分不必要条件.故选：A.8.【答案】D【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.9.【答案】D【详解】从图象可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用该药物的血药浓度应大于最低有效浓度，药物发挥治疗作用，A正确；第一次服药后3小时与第2次服药1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，B正确，D错误；服药5.5小时后，血药浓度小于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，正好能发挥作用，C正确．故选D．10.【答案】C【分析】由已知可得A正确；由已知递推关系化简可得B正确；由已知递推关系总结数列的规律，再用反证法得到C错误；由已知递推关系找到前项和的规律再结合等比数列的前项和可得D正确.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，，所以，故B正确；对于C，由可得，由可得，由可得，而，所以，设存在非零常数，使得，则，矛盾，所以不存在非零常数，使得，故C错误；对于D，当时，，当时，，即时，有相邻两项的和为零，即有接下来个项和为零；当时，，即时，有相邻两项的和与相邻四项为零，即有接下来个项和零；当时，，所以，故D正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于能理解的意义，即表示数列中前两项和为外的到项，到项，到项和分别为零.二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分．11.【答案】【分析】根据对数函数单调性及定义域得到不等式，求出x的取值范围.【详解】，解得，故实数x的取值范围为.故答案：12.【答案】（，，均可）【分析】由求得的取值范围，结合三角函数的定义进而可得解.【详解】，即，解得，又，故的值可为、、、、，则，即的值可以是或或.故答案为：（，，均可）.13.【答案】【分析】由平面向量的数量积的运算性质求解即可【详解】如图所示，因为矩形中，分别是的中点，所以，，所以．故答案为：14.【答案】【分析】根据三角函数知识，利用为奇数时，，为奇数时时，，为偶数时，，可求出，再相加即可得到答案.【详解】因为，所以，，，所以，，，，，，所以.故答案为：【点睛】本题考查了特殊角的余弦函数值和诱导公式，考查了数列的前项和，考查了分组求和，属于基础题.15.【答案】①③④【分析】先证明，得到①③正确，②错误，然后在和的情况下推导出矛盾，从而得到，即④正确.【详解】由于A中任意两个不同点之间的距离都不相等，故所有个向量两两不相等.这表明对任意的，当且仅当，有.将其转换为更通俗的语言就是：对于点，当且仅当是集合里除了以外的点中到的距离最短的点.所以，对每个，显然存在另一个到距离取到最小值的点，则此时就有，从而，这就直接说明了.所以①③正确，②错误；对于④，假设，.由于，故两两不同，且对每个，点都是中除外到距离最短的点.特别地，都是到各自的距离最短（不包括其本身）的点.不妨设，并记为点，则是到各自的距离最短（不包括其本身）的点.对两个不同点，记直线的倾斜角为.假设存在使得，不妨设，则，这与是到的距离最短（不包括本身）的点矛盾.所以两两不相等，不妨设.由于，，故，，所以.故，同理.而对，有或，故.所以，这意味着，矛盾.这表明假设不成立，所以，④正确.故答案为：①③④【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对集合新定义的理解，以及三角形中边长的大小关系与角度的大小关系之间的对应，即所谓的“大边对大角”.三、解答题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据等差数列的通项公式列式可解得，，从而可得数列an的通项公式；（2）求出，再根据等差数列与等比数列的前项和公式可求得结果.【小问1详解】设等差数列an的公差为，则有解得，.所以数列an的通项公式为.【小问2详解】.因为数列是首项为，公比为的等比数列，所以.17.【答案】（1）;.（2）【分析】（1）根据二倍角公式和诱导公式化简可得的解析式，由已知条件求得函数的最小值为，计算即可得解；（2）原问题转化为在区间上有两个不同解，再根据正弦函数的图象与性质，得解.【小问1详解】函数函数的最小正周期为，因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，所以函数的最小值为，所以，解得，所以.【小问2详解】由，知，因为，所以，由于在区间上有两个不同解，所以，即.18.【答案】（1）（2）选②或③，【分析】（1）利用正弦定理：边转角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果；（2）条件①，由，角可以是锐角或钝角，不满足题设中的条件，故不选①；条件②，利用条件建立，边与的方程组，求出与，再利用余弦定理，即可求出结果；条件③，利用正弦定理，先把角转边，再结合条件建立，边与的方程组，求出与，再利用余弦定理，即可求出结果；【小问1详解】因为，由正弦定理得，，又，所以，得到，又，所以，又，所以，得到，所以.【小问2详解】选条件①：由（1）知，，根据正弦定理知，，即，所以角有锐角或钝角两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件.选条件②：因为，所以，又，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以.选条件③：因为，所以，由，得到，又，由(1)知，所以又由正弦定理得，，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以.19.【答案】（1）证明见解析（2）2【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，再证明其经过定点即可；（2）根据函数的定义域分和两种情况讨论函数的零点情况，利用求导判断函数的单调性，再借助于零点存在定理判断零点个数即得.【小问1详解】由求导可得，，依题意，，故曲线y=fx在点处的切线为，即，因，故有，解得，即切线恒过点，得证；【小问2详解】的定义域为，由（1）已得：，，①当时，，则在上单调递增.由，而，因（下面证明），故，即，由零点存在定理可得，fx在上有且仅有一个零点，即fx在上只有一个零点；下证：.设，则，即在上单调递增，故，即成立.②当时，，则在上单调递增.由，因，则，而，故，又，因在上单调递增，故f(a+1)>a−1a>2−即，由零点存在定理可得，fx在上有且仅有一个零点,即fx在上只有一个零点.综上所述，时，在上有两个零点.20.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）求导可得，令，可得或，分，，讨论可求单调区间；（2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，由题意可得，进而分类讨论可求取值范围．【小问1详解】由fx可得，令，可得，解得或，当时，，若，f'x>0，函数在上单调递增，若，f'x<0，函数在上单调递减，若，f'x>0，函数在上单调递增；当时，，此时f'x≥0，函数在上单调递增；当时，，若，f'x>0，函数在上单调递增，若，f'x<0，函数在上单调递减，若，f'x>0，函数在上单调递增；综上所述：当时，在和上单调递增，在上单调递减，当时，函数在上单调递增，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】当时，fx=由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，所以，又，因为对于，不等式恒成立，所以，由成立，所以①成立，故时，可得对于，不等式恒成立，当时，对于，不等式恒成立，若时，也有①