2024北京二十中高三10月月考数学试题及答案

试题试题2024北京二十中高三10月月考数学时间：120分钟满分：150分一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列函数中，值域为且为偶函数的是（）A. B. C. D.4.已知，且，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.5.已知函数，若，，，则a，b，c从小到大排序是（）A. B. C. D.6.的值可以为（）A.−8 B. C.8 D.97.在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知函数，，，且在且单调，则的最大值为（）A.7 B.9 C.11 D.139.设an为等比数列，则“对于任意的，”是“数列为递减数列”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（）天“进步者”是“退步者”的2倍（参考数据：，，）A.35 B.37 C.38 D.39二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数=的定义域是_________.12.等差数列中，若为的前项和，则______．13.已知函数的部分图象如图所示，则______；______．14.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点间的距离为______.15.已知函数，（ⅰ）若在上单调，则的取值范围是_______；（ⅱ）若对任意的，，则的最大值为______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出相应文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．17.已知函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为．（1）求的值；（2）求在区间上的单调递增区间．18.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的最大值与最小值.19.在中，已知，请从下列三个条件中选择两个，使得存在，并解答下列问题：（1）求的大小；（2）求和的值．条件①：；条件②：；条件③：．20.设函数，其中．（Ⅰ）已知函数为偶函数，求的值；（Ⅱ）若，证明：当时，；（Ⅲ）若在区间内有两个不同的零点，求的取值范围．21.已知有限集X，Y，定义集合，表示集合X中的元素个数.（1）若，求集合和，以及的值；（2）给定正整数n，集合，对于实数集的非空有限子集A，B，定义集合①求证：；②求的最小值.

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】D【分析】根据并集的概念，可直接得出结果.【详解】因为集合，，所以.故选：D.2.【答案】B【分析】根据乘法运算可得，结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为，可知复数对应的点为，位于第二象限.故选：B.3.【答案】C【分析】对于A：根据余弦函数值域分析判断；对于BD：代值结合偶函数定义分析判断；对于C：根据偶函数定义以及二次函数分析判断.【详解】对于A：的值域为，故A错误；对于B：令，则，即，可知不为偶函数，故B错误；对于C：令，可知的定义域为R，且，可知为偶函数，当时，可知在内单调递增，则，结合偶函数的性质可知的值域为，故C正确；对于D：令，则，即，可知ℎx不为偶函数，故D错误；故选：C.4.【答案】C【分析】根据指数函数、幂函数单调性分析判断AC；对于BD：举反例说明即可.【详解】对于AC：因为，且、均在定义域R内单调递增，则，，故A错误，C正确；对于BD：例如，则，，故BD错误；故选：C.5.【答案】A【分析】直接代入计算即可得结论.【详解】由题可知：，，，由函数在定义域中是单调递增的函数，所以.故选：A.6.【答案】B【分析】分，两种情况求得的取值范围，可得结论.【详解】当时，，当且仅当，即时取等号，当时，，当且仅当，即时取等号，所以的取值范围为.故选：B.7.【答案】D【分析】根据正弦定理，结合三角形解的个数，即可列式求解.【详解】根据正弦定理，，则，若满足条件的有两个，则，解得，所以的取值范围是.故选：D.8.【答案】C【分析】由题意可得是函数的一条对称轴，进而可得，，计算可得或，结合在单调，可得结论.【详解】函数，所以，所以①，又，所以是函数的一条对称轴，所以②，由①②可得，又因为，所以，且或，又函数的最小正周期，又在单调，所以，所以，所以的最大值为.故选：C.9.【答案】C【分析】根据充分、必要条件、等比数列的单调性等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】因为an为等比数列，，所以，所以，因为，解得，又，数列，所以“对于任意的，”是“数列为递减数列”的充分条件；因为an为等比数列，所以数列为等比数列，又递减数列”，则可得，所以，所以“对于任意的，”是“数列为递减数列”的必要条件；所以“对于任意的，”是“数列为递减数列”的充要条件.故选：C.10.【答案】A【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可．【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍，列方程得，解得，即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍．故选：A．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】【详解】∵函数=∴要使函数有意义，则∴∴函数=的定义域为故答案为12.【答案】【分析】先由等差数列的性质得，再由求和公式求解即可.【详解】由等差数列性质可知，则，所心.故答案为：.13.【答案】①.②.【分析】利用函数图象求得周期，可求得，进而利用函数过点，可求得进而验证可得结论.【详解】由图象可得周期为，所以，解得，所以，又函数过点，所以，又，所以或，当，，是函数的图象向左移动而得，符合题意；当，，是函数的图象向左移动而得，与图象不符合，故舍去.所以；.故答案为：；.14.【答案】【分析】根据题意，求得各个角度，即可得AD长，根据正弦定理，可得BD长，根据余弦定理，即可得答案.【详解】因为，，所以，，所以，又因为，所以，由正弦定理得：，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得.故答案为：15.【答案】①.；②..【分析】（1）利用导函数与函数的单调性的关系求解即可；（2）分类讨论可得，进而利用已知可得，可得，令，利用导数求得最大值即可.【详解】（i）由，得，当在上单调递增时，则恒成立，即在上恒成立，所以，当在上单调递减时，则恒成立，即在上恒成立，所以，所以的取值范围是.（ii）因为，，所以，当时，恒成立，所以在上单调递增，且当时，，不符合题意，当时，则当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，，，令，则，当时，，函数在在上单调递增，当时，，函数在在上单调递减，所以，所以，所以.所以的最大值为.故答案为：（i）；（ii）.【点睛】思路点睛：本题考查两个变量差的最大值问题，通过不等式恒成立，找到两个变量之间的关系是关键，进而转化为函数的最值处理即可.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出相应文字说明，演算步骤或证明过程．16.【答案】（1）（2）【分析】（1）设公比为，根据等差中项可得，根据等比数列通项公式列式求解即可；（2）由（1）可知：，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式运算求解.【小问1详解】设等比数列的公比为，且，因为，，成等差数列，则，即，解得或（舍去），所以的通项公式为.【小问2详解】由（1）可知：，则，所以.17.【答案】（1）（2）和【分析】（1）整理可得，结合最小正周期求的值；（2）由（1）可知：，以为整体，结合正弦函数的单调性分析求解.【小问1详解】由题意可得：，设的最小正周期为，由题意可知：，即，且，则，所以.【小问2详解】由（1）可知：，因为，则，且在，内单调递增，在内单调递减，令，，解得，，所以在区间上的单调递增区间为和.18.【答案】（1）（2）函数的最大值为2，最小值【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切点和切线斜率，即可得切线方程；（2）根据求导判断的单调性，结合单调性分析最值.【小问1详解】因为，则，可得，即切点坐标为，切线斜率为，所以切线方程为.【小问2详解】由（1）可得，且，则，令，则，解得；令，则，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，又因为，且，所以函数的最大值为2，最小值.19.【答案】（1）答案见详解（2）答案见详解【分析】（1）若选择①②：利用正弦定理可得，结合可知，则，即可得结果；若选择①③：由正弦定理可得，由可知，即可得结果；若选②③：根据三角形的性质分析得出矛盾；（2）由（1）可知：不能选②③.只能选择①②或选择①③，利用同角三角关系以及两角和差公式求，再利用正弦定理求的值.【小问1详解】若选择①②：，，在中，由正弦定理得．因为，即，可知，所以；若选择①③：，，在中，因为由正弦定理得．在中，，即，可知，所以；若选②③：，，因为，即，可知；又因为，即，可知；两者相矛盾，故不成立.【小问2详解】由（1）可知：不能选②③.若选择①②：在中，，即，可知，且，可得，则，可知，则，由正弦定理可得，又因为，所以；选择①③：在中，，即，可知，且，可得，则，且，可得，又因为，则，由正弦定理可得．20.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．【分析】（Ⅰ）利用偶函数的定义，化简后可得实数的值；（Ⅱ）利用导数分析函数在0,+∞上的单调性，进而可证得；（Ⅲ）令得，令，利用导数分析函数在区间上的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）函数为偶函数，所以，即，整理得对任意的恒成立，；（Ⅱ）当时，，则，，则，，，所以，函数在0,+∞上单调递增，当时，；（Ⅲ）由，得，设函数，，则，令，得．随着变化，与的变化情况如下表所示：极大值所以，函数在上单调递增，在上单调递减．又因为，，，且，如下图所示：所以，当时，方程在区间内有两个不同解，因此，所求实数的取值范围为．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，利用导数证明函数不等式，同时也考查了利用导数求解函数的零点个数问题，考查推理能力与数形结合思想的应用，属于中等题.21.【答案】（1）X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3；（2）①见解析；②【分析】（1）直接根据定义求解即可；（2）①分若A∪B中含有一个不在S中的元素和，且，两种情况讨论即可，当，且时，可通过得证；②结合①知，讨论若，