福建省师大附中2016届高三上学期期中考试数学（文）试题

福建省师大附中2016届高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题1.设函数f(x)=x^3-3x+1，若存在实数a，使得f(a)=0，则方程f'(x)=0的根的个数为：A.1B.2C.3D.无法确定2.已知数列{an}中，a1=1，an+1=an^2+an+1，则数列{an}的通项公式为：A.an=(1/2)^nB.an=(1/2)^(n-1)C.an=(1/2)^n+1D.an=(1/2)^(n-1)+13.在直角坐标系中，抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F，点P(x,y)在抛物线上，则|PF|+|PF'|的最小值为：A.pB.2pC.2√2pD.4p4.设a、b是实数，且|a|=|b|=1，则下列等式中正确的是：A.a^2+b^2=2B.a^2-b^2=0C.a^2+b^2=0D.a^2-b^2=25.已知等差数列{an}中，a1=2，公差d=3，若数列{bn}的通项公式为bn=2an+1，则数列{bn}的前10项和为：A.220B.230C.240D.250二、填空题1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，若f(x)在x=1时取得最小值，则b的值为______。2.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=35，S10=110，则该等差数列的公差d为______。3.在平面直角坐标系中，若点A(-2,3)、B(1,2)和C(x,y)共线，则x的值为______。4.若函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处取得极值，则该极值为______。5.已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，则数列{an}的通项公式为______。三、解答题1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，若f(x)在x=1时取得最小值，求a、b的值。2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=35，S10=110，求该等差数列的公差和前20项和。3.在平面直角坐标系中，若点A(-2,3)、B(1,2)和C(x,y)共线，求x和y的值。4.已知函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处取得极值，求该极值。5.已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，求该数列的通项公式。四、解答题6.设函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求证：对于任意实数x，都有f(x)+f(1/x)=3。五、解答题7.已知数列{an}的通项公式为an=3n-2，求该数列的前n项和Sn，并证明Sn是关于n的二次函数。六、解答题8.在平面直角坐标系中，已知点A(2,3)和点B(4,-1)，求过这两点的直线方程，并求该直线与x轴和y轴的交点坐标。本次试卷答案如下：一、选择题1.B解析：函数f(x)=x^3-3x+1的导数为f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，得x^2=1，即x=±1。由于f(x)在x=1时取得最小值，故f'(x)=0的根的个数为2。2.A解析：由an+1=an^2+an+1，得an^2+an+1-an=an+1-an，即an(an+1-1)=an+1-an。当n≥2时，有an=an-1(an-1-1)。代入a1=1，得a2=1(1-1)=0，a3=0(0-1)=-1，a4=-1(-1-1)=-2，以此类推，可得an=(1/2)^n。3.C解析：抛物线y^2=2px的焦点为F(p/2,0)。点P(x,y)在抛物线上，则|PF|=√[(x-p/2)^2+y^2]。由于y^2=2px，代入得|PF|=√[(x-p/2)^2+2px]。|PF'|=|PF|=√[(x-p/2)^2+2px]。所以|PF|+|PF'|=2√[(x-p/2)^2+2px]。当x=p/2时，|PF|+|PF'|取得最小值，最小值为2√2p。4.B解析：由|a|=|b|=1，得a^2=b^2=1。所以a^2-b^2=1-1=0。5.A解析：数列{bn}的前10项和为b1+b2+...+b10=(2a1+1)+(2a2+1)+...+(2a10+1)=2(a1+a2+...+a10)+10。由等差数列求和公式，得a1+a2+...+a10=5(a1+a10)/2=5(2+2*9)/2=5*10=50。所以b1+b2+...+b10=2*50+10=110。二、填空题1.-2a解析：函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1时取得最小值，则f'(1)=0。由f'(x)=2ax+b，得2a+b=0，即b=-2a。2.3解析：由等差数列求和公式，得S5=5(a1+a5)/2=5(2+4d)/2=5(2+2d)=35，S10=10(a1+a10)/2=10(2+9d)/2=10(2+4.5d)=110。解得d=3。3.-2解析：由点A(-2,3)、B(1,2)和C(x,y)共线，得斜率kAB=kAC。斜率kAB=(3-2)/(-2-1)=-1/3，斜率kAC=(y-3)/(x-(-2))。解得y=2x+1，代入得x=-2。4.-1解析：函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处取得极值，则f'(1)=0。由f'(x)=3x^2-3，得3*1^2-3=0，即f'(1)=0。代入f(x)得f(1)=-1。5.2^n-1解析：由an+1=2an+1，得an=2an-1+1。代入a1=1，得a2=2*1+1=3，a3=2*3+1=7，以此类推，可得an=2^n-1。三、解答题1.解：由f(x)=ax^2+bx+c在x=1时取得最小值，得f'(1)=0。由f'(x)=2ax+b，得2a+b=0。又因为f(1)=a+b+c取得最小值，得a+b+c=1。解得a=1，b=-2，c=0。2.解：由S5=35，得5(a1+a5)/2=35，解得a1+a5=14。由S10=110，得10(a1+a10)/2=110，解得a1+a10=22。由等差数列的性质，得a5=a1+4d，a10=a1+9d。解得d=3，a1=2。所以Sn=5(a1+a10)/2*n=5(2+22)/2*n=5*12*n=60n。3.解：由点A(-2,3)、B(1,2)和C(x,y)共线，得斜率kAB=kAC。斜率kAB=(3-2)/(-2-1)=-1/3，斜率kAC=(y-3)/(x-(-2))。解得y=2x+1，代入得x=-2，y=2*(-2)+1=-3。4.解：函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处取得极值，则f'(1)=0。由f'(x)=3x^2-3，得3*1^2-3=0，即f'(1)=0。代入f(x)得f(1)=-1。5.解：由an+1=2an+1，得an=2an-1+1。代入a1=1，得a2=2*1+1=3，a3=2*3+1=7，以此类推，可得an=2^n-1。四、解答题6.解：证明：对于任意实数x，有f(x)+f(1/x)=3。证明过程如下：f(x)=x^3-6x^2+9x+1f(1/x)=(1/x)^3-6(1/x)^2+9(1/x)+1f(x)+f(1/x)=x^3-6x^2+9x+1+(1/x)^3-6(1/x)^2+9(1/x)+1=(x^3+1/x^3)-(6x^2+6/x^2)+9(x+1/x)+2=(x^3+1/x^3)+2-6(x^2+1/x^2)+9(x+1/x)=(x+1/x)^3-3(x+1/x)+2=(x+1/x)^3-3(x+1/x)+3-1=(x+1/x-1)^3+1=(x+1/x-1)^3+1^3=(x+1/x-1+1)(x+1/x-1)^2=(x+1/x)^2=(x^2+2+1/x^2)=(x^2+1/x^2)+2=3五、解答题7.解：数列{an}的前n项和为Sn=3(1+2+...+n)-2n=3n(n+1)/2-2n=3n^2/2+n-2n=3n^2/2-n。证明：Sn=3n^2/2-n是关于n的二次函数。证明过程如下：设Sn=an^2+bn+c，代入n=1，得a+b+c=3*1^2/2-1=1/2。代入n=2，得4a+2b+c=3*2^2/2-2=5。代入n=3，得9a+3b+c=3*3^2/2-3=12。解得a=3/2，b=-3/2，c