2017-2018学年高中数学北师大选修1-1阶段质量检测（三）变化率与导数

阶段质量检测(三)变化率与导数[考试时间：90分钟试卷总分：120分]题号一二三总分15161718得分第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1＋eq\f(1,x2)B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2)C．(5x)′＝5xlog5e D．(x2cosx)′＝2xsinx2．设函数y＝－3x＋2在区间[－4，－2]上的平均变化率为a，在区间[2,4]上的平均变化率为b，则下列结论中正确的是()A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．不确定3．运动物体的位移s＝3t2－2t＋1，则此物体在t＝10时的瞬时速度为()A．281 B．58C．85 D．104．若曲线f(x)＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－15．曲线f(x)＝x＋eq\f(1,3)x3在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)))处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为()A．3 B．2C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,9)6．曲线f(x)＝2x3－3x在点P处的切线斜率为3，则P点坐标为()A．(1，－1) B．(－1，－5)C．(－1,1) D．(1，－1)或(－1,1)7．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝()A．－2 B．2C．1 D．－48．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－3,3]表示的曲线过原点，且在点(1，f(1))和点(－1，f(－1))处的切线斜率均为－2，则f(x)的奇偶性为()A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数9．(江西高考)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为()A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－1,0)10．若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－eq\r(3))x＋eq\f(3,4)上移动，点P处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))答题栏题号12345678910答案第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)11．设f(x)＝eq\f(1,sinx)＋eq\f(1,cosx)，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝________.12．点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．13．设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为____________________．14．已知f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2＋bx＋c的图像存在与直线y＝1平行的切线，则b的取值范围是________________________________________________________________________．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝eq\f(t－1,t2)＋2t2(路程单位：m，时间单位：s)，求s′(3)，并解释它的实际意义．16．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f(x)．(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；(2)f(x)是二次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.17．(本小题满分12分)已知两曲线f(x)＝x3＋ax和g(x)＝x2＋bx＋c都经过点P(1,2)，且在点P处有公切线，试求a，b，c的值．18．(本小题满分14分)已知直线l1为曲线f(x)＝x2＋x－2在点P(1,0)处的切线，l2为曲线的另一条切线，且l2⊥l1.(1)求直线l2的方程；(2)求直线l1，l2与x轴所围成的三角形的面积S.答案1．选B∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1－eq\f(1,x2)；(5x)′＝5xln5；(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2x·cosx－x2sinx，∴B选项正确．2．选C一次函数y＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率都为常数k.∵y＝－3x＋2在区间[－4，－2]，[2,4]上的平均变化率都为常数－3，∴a＝b＝－3.3．选Bt＝10时的瞬时速度即为t＝10时的导数值，s′＝6t－2.∴t＝10时，s′＝6×10－2＝58.4．选A由f′(x)＝2x＋a，得f′(0)＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.5．选D由题意，f′(x)＝1＋x2，故切线的斜率为k＝f′(1)＝2，又切线过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)))，∴切线方程为y－eq\f(4,3)＝2(x－1)，即y＝2x－eq\f(2,3)，切线和x轴、y轴交点为(eq\f(1,3)，0)，(0，－eq\f(2,3))．故所求三角形的面积＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9).6．选D设切点为(x0，y0)，则6xeq\o\al(2,0)－3＝3.∴xeq\o\al(2,0)＝1，则x0＝±1.当x0＝1时，y0＝－1；x0＝－1时，y0＝1，故选D.7．选D∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴令x＝1得，f′(1)＝2＋2f′(1)．∴f′(1)＝－2，即f(x)＝x2－4x.∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.8．选A∵f(0)＝0，∴c＝0，f′(x)＝3x2＋2ax＋b.得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝3＋2a＋b＝－2，,f′－1＝3－2a＋b＝－2，))解得a＝0，b＝－5，∴f(x)＝x3－5x，x∈[－3,3]，f(x)为奇函数．9．选C令f′(x)＝2x－2－eq\f(4,x)＝eq\f(2x－2x＋1,x)＞0，利用穿针引线法可解得－1＜x＜0或x＞2，又x＞0，所以x＞2.10．选By′＝3x2－6x＋3－eq\r(3)＝3(x－1)2－eq\r(3)≥－eq\r(3)，即tanα≥－eq\r(3)，所以α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)).11．解析：f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sinx)＋\f(1,cosx)))′＝－eq\f(cosx,sin2x)＋eq\f(sinx,cos2x)，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\f(－\f(1,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＋eq\f(\f(\r(3),2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝－eq\f(2,3)＋2eq\r(3).答案：－eq\f(2,3)＋2eq\r(3)12．解析：∵y′＝3x2－10，设切点P(x0，y0)(x0<0，y0>0)，则曲线C在点P处切线的斜率k＝3xeq\o\al(2,0)－10＝2，∴x0＝－2.∴点P的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15)13．解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3为偶函数，∴a＝0，∴f′(x)＝3x2－3，f′(0)＝－3，∴所求切线方程为y＝－3x.答案：y＝－3x14．解析：由题意知，存在x使f′(x)＝3x2－x＋b＝0，故Δ＝1－12b≥0，得b≤eq\f(1,12).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,12)))15．解：∵s(t)＝eq\f(t－1,t2)＋2t2＝eq\f(t,t2)－eq\f(1,t2)＋2t2＝eq\f(1,t)－eq\f(1,t2)＋2t2，∴s′(t)＝－eq\f(1,t2)＋2·eq\f(1,t3)＋4t，∴s′(3)＝－eq\f(1,9)＋eq\f(2,27)＋12＝eq\f(323,27)，即物体在t＝3s时的瞬时速度为eq\f(323,27)m/s.16．解：(1)由题意设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝d＝3，,f′0＝c＝0，,f′1＝3a＋2b＋c＝－3，,f′2＝12a＋4b＋c＝0，))解得a＝1，b＝－3，c＝0，d＝3.故f(x)＝x3－3x2＋3.(2)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.所以x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，化简得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1，此式对任意x都成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b，,b＝2c，,c＝1，))得a＝2，b＝2，c＝1，即f(x)＝2x2＋2x＋1.17．解：∵点P(1,2)在曲线f(x)＝x3＋ax上，∴2＝1＋a，∴a＝1，函数f(x)＝x3＋ax和g(x)＝x2＋bx＋c的导数分别为f′(x)＝3x2＋a和g′(x)＝2x＋b，且在点P处有公切线，∴3×12＋a＝2×1＋b，得b＝2，又由点P(1,2)在曲线g(x)＝x2＋bx＋c上可得2＝12＋2×1＋c，得c＝－1.综上，a＝1，b＝2，c＝－1.18．解：(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，由题意可知k1＝f′(1)＝3，故直线l1的方程为y＝3x－3，由l1⊥l2，可知直线l2的斜率为－eq\f(1,3)，设l2与曲线相切于点Q(x0，y0)，则k2＝f′(x0)＝－eq\f(1,3)，解得x0＝－eq\f(2,3)，代入曲线方程解得y0＝－eq\f(20,9)，故直线l2的方程为y＋eq\f(20,9)＝－eq\f(1,3)(x＋eq\f(2,3))，化简得到3x＋9y