浙教版第05讲圆（知识清单11大题型好题必刷）

第05讲圆（知识清单+11大题型+好题必刷）题型梳理题型梳理题型一圆的基本概念辨析题型二求过圆内一点的最长弦题型三圆的周长和面积问题题型四判断点与圆的位置关系题型五利用点与圆的位置关系求半径题型六三角形外接圆的概念辨析题型七求三角形外心坐标题型八求特殊三角形外接圆的半径题型九判断三角形外接圆的圆心位置题型十判断确定圆的条件题型十一点与圆上一点的最值问题知识清单知识清单知识点1．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．知识点2．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．知识点3．确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．知识点4．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．题型方法题型方法【题型一】圆的基本概念辨析【例1】（2425九年级上·浙江宁波·开学考试）下列说法中，正确的是（

）．A．同心圆的周长相等 B．相等的圆心角所对的弧相等C．面积相等的圆是等圆 D．平分弧的弦一定经过圆心【答案】C【知识点】圆的基本概念辨析【分析】本题考查的是对圆的认识，主要考查的是直径，弦，弧，半圆，等弧，等圆，这几个基本概念．掌握以上几个基本概念是解答本题的关键．A周长相等的两个圆，半径就相等，就能重合，所以是等圆，不是同心圆；B在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，不能缺少“在同圆或等圆中”这个条件；C利用等圆的条件进行分析解答；D根据垂径定理即可得出结论．【详解】解：A、圆心相同，半径不相等的圆是同心圆，所以周长不相等，故A选项错误，不符合题意；B、在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故B选项错误，不符合题意；C、面积相等的圆半径一定相等，所以是等圆，故C选项正确，符合题意；D、平分弧的弦不一定经过圆心，故D选项错误，不符合题意；故选：C．【举一反三】1．（2425九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知是半径为5的圆的一条弦，那么的长不可能是（

）A．1 B．5 C．3 D．11【答案】D【知识点】圆的基本概念辨析【分析】本题考查了圆的半径，直径，弦的关系，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键．根据圆的相关概念，及直径是圆中最长的弦的相关知识进行判定即可求解．【详解】解：已知半径为5的圆，∴该圆的中最长的弦即为直径，值为，∴弦最长不能超过，∴D选项不符合题意，故选：D．【答案】/65度【知识点】圆的基本概念辨析、等边对等角【分析】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，解题的关键是构造出辅助线，本题属于基础题型．连接，根据圆的半径都相等即可求出答案．【详解】解：连接，故答案为：．(1)求二次函数的解析式：【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、圆的基本概念辨析、线段周长问题(二次函数综合)【分析】对于（1），根据待定系数法求出关系式即可；（2）如图所示，连接，∴点M在线段的垂直平分线上，即点M在对称轴上，∴点M在的垂直平分线上，【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数与几何图形，两点之间的距离公式，圆的确定，利用割补法求不规则三角形的面积是解题的关键．【题型二】求过圆内一点的最长弦【例2】（2425九年级上·浙江宁波·开学考试）已知中最长的弦为，则的半径为（

）．A．2 B．3 C．6 D．12【答案】B【知识点】求过圆内一点的最长弦【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键．根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果．故选B．【举一反三】【答案】D【知识点】求过圆内一点的最长弦【分析】本题考查了圆的认识，根据直径是圆中最长的弦即可求解．故选：D．2．（2324九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是．

【答案】2【知识点】求过圆内一点的最长弦、与三角形中位线有关的求解问题【详解】解：如图，连接并延长，交圆于点D，连接，∵点M，N分别是AB，BC中点，点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长．∵是直径，故答案为：2

【点睛】本题考查中位线定理，圆的基本概念弦与直径；掌握中位线定理是解题的关键．3．（2425九年级上·浙江金华·阶段练习）请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解【知识点】线段垂直平分线的判定、求过圆内一点的最长弦、等腰三角形的性质和判定、矩形性质理解【分析】（1）连接，并延长交上于一点D，则是直径，符合题意，即可作答．本题考查的是作图，主要涉及等腰三角形的性质、矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识解决问题．【详解】（1）解：是中一条最长的弦，如图所示：（2）解：底边的中线如图所示：（3）解：直线即为所求．如图所示：【题型三】圆的周长和面积问题【例3】（2223九年级上·浙江金华·阶段练习）由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（

）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】C【知识点】圆的周长和面积问题【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可．【详解】解：由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为以2为半径的圆与以1为半径的圆组成的圆环的面积，故选：C．【点睛】本题考查的是圆的认识、圆的面积的计算，掌握圆的面积公式是解题的关键．【举一反三】1．（九年级上·浙江杭州·期中）在△ABC中，∠ACB为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作弧BAC，如图所示．若AB=4，AC=2，图中两个新月形面积分别为S1，S2，两个弓形面积分别为S3，S4，S1S2=，则S3S4的值是(

)

【答案】D【知识点】圆的周长和面积问题【分析】根据AB和AC的长和圆的面积公式可求得S1+S3，S2+S4的值，然后再两值相减即可得出结论．【详解】解：∵AB=4，AC=2，∴S1+S3=2，S2+S4=，∴（S1+S3）﹣（S2+S4）=（S1﹣S2）+（S3﹣S4）=∵S1S2=，∴S3S4=﹣=，故选：D．【点睛】本题考查了圆的面积，正确表示出S1+S3，S2+S4的值是解答的关键．【知识点】圆的周长和面积问题【分析】本题考查了圆环，根据圆环的面积公式计算即可求解，关键是熟练掌握圆环的面积公式．②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长记作，③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长，…④把分成条相等的线段，每个小圆的周长．分别求出，，；(2)类比探究：仿照（1）的探索过程，当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，求每个小圆的面积与大圆面积之间的关系．【知识点】圆的周长和面积问题【分析】本题考查了圆的周长、面积．正确求出小圆的半径是解题的关键．【题型四】判断点与圆的位置关系A．外 B．上 C．内 D．不能确定【答案】C【知识点】判断点与圆的位置关系【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．∴点A在内．故选：C．【举一反三】1．（2425九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点A、点B，点A表示实数6，点B表示实数b，半径为4．若点A在内，则实数b的取值范围是（

）A．b＜2 B．b＞10 C．b＜2或b＞10 D．2＜b＜10【答案】D【知识点】判断点与圆的位置关系【分析】首先确定的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出b的取值范围，即可得到正确选项．【详解】解：∵半径为4．若点A在内，∵点A所表示的实数为6，故选：D．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系,解决此题的关键是充分理解点与圆的位置关系．2．（2425九年级上·浙江杭州·期中）半径为，点A到圆心O距离为，则A在．（填“上”、“外”或“内”）【答案】内【知识点】判断点与圆的位置关系【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法．∴A在内．故答案为：内．3．（2024·浙江绍兴·二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系．(1)过，，三点的圆的圆心坐标为______；(2)在圆外【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置、判断点与圆的位置关系、求三角形外心坐标【分析】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系，根据垂径定理得出圆心位置是解答本题的关键．（1）连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，就是过，，三点的圆的圆心，由图形可得的坐标；（2）分别求出和的长度进行比较即可作出判断．【详解】（1）解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，是过，，三点的圆的圆心，【题型五】利用点与圆的位置关系求半径【例5】（2425九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（）【答案】D【知识点】利用点与圆的位置关系求半径【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．首先确定的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出b的取值范围，即可得到正确选项．【详解】解：∵半径为4．若点A在内，∵点A所表示的实数为6，故选：D．【举一反三】A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm【答案】B【知识点】利用点与圆的位置关系求半径【详解】解：点A在内，点B在外，故选：B．【答案】4【知识点】利用点与圆的位置关系求半径【分析】本题考查了点与圆上各点的距离的最大值与最小值的含义．故答案为：4．(3)1或2【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、利用点与圆的位置关系求半径、求一次函数自变量或函数值、已知两点坐标求两点距离m为正整数，【点睛】本题主要考查了“新定义”，反比例函数与一次函数，一次函数与二元一次方程组的应用，二次函数与一元二次方程的判别式，两点间距离公式，不等式解集．准确理解“新定义”是解答关键．【题型六】三角形外接圆的概念辨析【例6】（2425九年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．三角形的外心是三角形三条角平分线的交点C．等弧就是长度相等的两条弧D．圆中最长的弦是直径【答案】D【知识点】圆的基本概念辨析、三角形外接圆的概念辨析【分析】本题考查了圆的相关知识点，根据圆的相关知识点逐项分析即可得解，熟练掌握圆的相关知识点是解此题的关键．【详解】解：A、三个不在一条直线上的点可以确定一个圆，故原说法错误，不符合题意；B、三角形的外心是这个三角形三边垂直平分线的交点，故原说法错误，不符合题意；C、长度相等的两条弧不一定是等弧，故原说法错误，不符合题意；D、圆中最长的弦是直径，故原说法正确，符合题意；故选：D．【举一反三】1．（2324九年级上·浙江绍兴·期中）下列命题不正确的是（

）A．过一点有无数个圆B．过三点能作一个圆C．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点D．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边【答案】B【知识点】三角形外接圆的概念辨析、判断命题真假【分析】考查确定圆的条件以及三角形外接圆的知识，根据圆的性质定理逐项排查即可．掌握三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点是解题的关键．【详解】解：A、过一点有无数个圆，正确，不符合题意；B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，选项错误，符合题意；C、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，正确，不符合题意；D、直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边，正确，不符合题意；故选：B．【答案】圆上【知识点】三角形外接圆的概念辨析、判断点与圆的位置关系、斜边的中线等于斜边的一半【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的外接圆，以及点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外．求出点C到圆心的距离，然后根据点与圆的位置关系判断即可．【详解】解：如图，∵斜边为直径，∴圆心O是斜边的中点，∴点C在圆上．故答案为：圆上．3．（2425九年级上·浙江杭州·期中）如图，以已知线段为弦作⊙O，使其经过已知点C．利用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不必写出作法）．【答案】见详解【知识点】三角形外接圆的概念辨析、判断三角形外接圆的圆心位置【分析】本题考查了三角形的外心，连接，分别作、的垂直平分线，交于，连接，以为圆心，长为半径画圆，即可求解；能根据三角形的外心的性质找出圆心的位置是解题的关键．【详解】解：如图，【题型七】求三角形外心坐标【例7】（九年级上·浙江金华·阶段练习）下列四个命题中，正确的有（

）A．圆的对称轴是直径 B．半径相等的两个半圆是等弧C．三角形的外心到三角形各边的距离相等 D．经过三个点一定可以作圆【答案】B【知识点】求三角形外心坐标、判断确定圆的条件【分析】直接运用对称轴的定义、确定圆的条件、三角形外心的性质、等弧的定义逐项判定即可．【详解】解：A.圆的对称轴是直径所在的直线，所以A错误；B.半径相等的两个半圆是等弧，所以B正确；C.三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以C错误；D.经过不共线的三个点一定可以作圆，所以D错误；故答案为B．【点睛】本题主要考查了对称轴的定义、确定圆的条件、三角形外心的性质、等弧的定义等知识点，考查知识点较多，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．【举一反三】【答案】C【知识点】判断点与圆的位置关系、用勾股定理解三角形、求特殊三角形外接圆的半径、求三角形外心坐标【详解】解：如图：故选：C．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理的应用，确定圆心的位置是解题的关键．2．（九年级上·浙江衢州·期中）在直角坐标系中，抛物线y=ax2－4ax＋2(a>0)交y轴于点A，点B是点A关于对称轴的对称点，点C是抛物线的顶点，若△ABC的外接圆经过原点O，则a的值为．【知识点】根据二次函数的定义求参数、求三角形外心坐标【分析】想办法求出抛物线顶点坐标，利用待定系数法即可解决问题；【详解】连接OB交对称轴于点O′．∵抛物线的对称轴x=2，A（0，2），A，B关于对称轴对称，∴B（4，2），∵△ABC的外接圆经过原点O，∴外接圆的圆心是线段OB的中点O′，∴O′（2，1），∴O′C=，∴点C坐标为（2，1），∴1=4a8a+2，【点睛】此题考查三角形的外接圆与外心，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、已知抛物线上对称的两点求对称轴、求三角形外心坐标【题型八】求特殊三角形外接圆的半径【答案】A【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，根据直角三角形斜边上的中线长等于三角形外接圆的半径求解即可．即此直角三角形外接圆半径为5，故选：A．【举一反三】【答案】C【知识点】用勾股定理解三角形、求特殊三角形外接圆的半径、等腰三角形的性质和判定故选：C．2．（2324九年级上·浙江温州·阶段练习）已知直角三角形的斜边长为，则该三角形的外接圆半径为．【答案】【知识点】求特殊三角形外接圆的半径【分析】根据直角三角形的斜边为直角三角形的外接圆的直径求解即可．【详解】解：∵直角三角形的斜边长为，∴直角三角形的外接圆半径为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，掌握直角三角形的斜边为直角三角形的外接圆的直径成为解答本题的关键．(2)．【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置、用勾股定理解三角形、求特殊三角形外接圆的半径、无刻度直尺作图（2）连接，∴一个网格的长为1，【点睛】本题考查的是作图——复杂作图及三角形的外接圆圆心，解题的关键是利用网格的特点作图．【题型九】判断三角形外接圆的圆心位置【例9】（2024·浙江台州·二模）下列命题正确的是（

）A．同位角相等 B．平方根等于它本身的数是0C．对角线相等的四边形是矩形 D．三角形的外心在三角形内部【答案】B【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置、平方根概念理解、同位角、内错角、同旁内角、矩形的判定定理理解【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角；矩形的判定；命题与定理；三角形的外接圆与外心；平方根，根据平行线的性质、平方根的定义、矩形的判定和三角形的外心性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；B、平方根等于它本身的数是0，是真命题；C、对角线平分且相等的四边形不一定是矩形，原命题是假命题；D、三角形的外心可能在三角形内部，也可能在三角形的外部，原命题是假命题；故选：B．【举一反三】A． B． C． D．【答案】D【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置、三线合一【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆心是解题关键．∴是的垂直平分线，故选：D．【答案】或【知识点】三线合一、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、判断三角形外接圆的圆心位置圆心点O在直线AD上综上，AB的长为或故答案为：或．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形外接圆的性质、勾股定理等知识点，利用三角形外接圆的性质得出圆心点O的位置是解题关键．【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置、画旋转图形【分析】本题主要考查了旋转作图，确定三角形外接圆圆心位置：（1）根据旋转的性质作图即可．（2）根据三角形的外心的定义，连接，分别作线段，的垂直平分线，交于点，则点即为所求．（2）解：如图，连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点，则点即为所求．【题型十】判断确定圆的条件【答案】C【知识点】求一次函数解析式、判断确定圆的条件故选：C．【举一反三】1．（2425九年级上·浙江宁波·期中）下列事件中必然发生的事件是（

）A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数C．100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品D．经过任意三点一定可以画一个圆【答案】C【知识点】事件的分类、判断确定圆的条件【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念；关键是理解必然事件指在一定条件下一定发生的事件．根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断正确答案．【详解】解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故本选项不符合题意；B、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故本选项不符合题意；C、100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品，是必然事件，故本选项符合题意；D、只有不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，如果三点在同一条直线上，则无法画出一个圆，是随机事件，故本选项不符合题意．故选：C．2．（2223九年级上·浙江·单元测试）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定个不同的圆．【答案】5【知识点】判断确定圆的条件【分析】根据不在同一条直线上的三点可以确定一个圆分析得出．【详解】解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆．故答案为5．【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟记不在同一条直线上的三点可以确定一个圆．(1)在图1中作出∠AHG＝∠C．(2)在图2中作出∠AGH＝∠C．【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】判断确定圆的条件、图形的平移【分析】（1）将BC向上平移，使点B，点C均在格点上即可；【详解】（1）如图，线段EF，∠AHG即为所作，【点睛】本题主要考查了作图应用与设计作图，熟练掌握平移是解答本题的关键．【题型十一】点与圆上一点的最值问题【答案】C【知识点】点与圆上一点的最值问题【分析】点P可能在圆内，也可能在圆外；当点P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和；当点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差；再分别计算半径．【详解】解：若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b，故选C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点P到圆上最大距离、最小距离的认识．【举一反三】

【答案】B【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、点与圆上一点的最值问题、利用平行四边形的性质求解【详解】解：如图，连接，

∵点P为中点，∴随着点E的运动，点P的运动轨迹是以O为圆心、2为半径的圆，故选：B．【知识点】点与圆上一点的最值问题、最短路径问题、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解【详解】解：作点E关于的对称点H，设的中点为O，连接，交于点F，交圆O于点G，如图：∵点G是以为直径的半圆上的一个动点，(1)求点D的横坐标（用含b的代数式表示）(3)在（2）的条件下，如图2，P为OC的中点，在直线AC上取一点M，连接PM，作点C关于PM的对称点N，①连接AN，求AN的最小值．②当点N落在抛物线的对称轴上，求直线MN的函数表达式．【答案】(1)2b；【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、y=ax²+bx+c的最值、点与圆上一点的最值问题、求一次函数解析式（3）①点N在以P为圆心，以2为半径的圆上运动，当P、N、A同侧且共线时，AN最小，用勾股定理计算即可．②分点M在对称轴的左侧和右侧，两种情形求解．解得x=0或x=2b，∵b＞0，∴x=0舍去，∴点D的横坐标为2b．∵点D的横坐标为2b，A（4，m），∴OD=2b，BD=42b，=2b(42b)∵4＜0，∴当b=1时，w有最大值，最大值为4，∴OC=4，∵P为OC的中点，∴OP=PC=2，∵点C关于PM的对称点N，∴OP=PC=PN=2，∴点N在以P为圆心，以2为半径的圆上运动，如图所示，当P、N、A同侧且共线时，AN最小，∵AC=4，PC=2，②当点N落在抛物线的对称轴上，且M在对称轴的左侧，如图所示，设对称轴与AC交于点H，交x轴于点Q，过点P作PG⊥HN，垂足为G，则QG=2，∵PC=PN=2，PG=1，∴NG=，∴HN=2，点N（1，2+），设CM=a，则MN=a，MH=1a，解得a=42，∴点M（42，4），设直线MN的解析式为y=kx+b，当点N落在抛物线的对称轴上，且M在对称轴的右侧，如图所示，设对称轴与AC交于点T，交x轴于点R，过点P作PK⊥TN，垂足为K，则KT=KR=2，∵PC=PN=2，PK=1，∴KR=，∴NR=2，点N（1，2），TN=2+设CM=b，则MN=b，MT=a1，解得b=4+2，∴点M（4+2，4），设直线MN的解析式为y=mx+q，【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，圆的基本性质，待定系数法确定一次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握圆的性质，抛物线的性质，灵活运用对称的思想和勾股定理是解题的关键．好题必刷好题必刷一、单选题1．有下列四个命题，其中正确的有()①圆的对称轴是直径；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】解：①圆的对称轴是直径所在的直线；故此选项错误；②当三点共线的时候，不能作圆，故此选项错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故此选项正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故此选项正确．故选：C．【详解】此题考查了圆中的有关概念：弦、直径、等弧．注意：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．2．三角形的外心是（

）．A．各内角的平分线的交点B．各边中线的交点C．各边垂线的交点D．各边垂直平分线的交点【答案】D【详解】解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．故选D．3．如图，圆环中内圆的半径为米，外圈半径比内圆半径长1米，那么外圆周长比内圆周长长（

）【答案】A【分析】根据圆的周长公式可以得到解答．【详解】解：由题意可得：故选A．【点睛】本题考查圆的应用，熟练掌握圆周长的计算公式是解题关键．A．在内 B．在上 C．在外 D．以上都有可能【答案】A【详解】解：如图，连接，∵的半径为，∴A在内，故选A．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，无理数的估算，点与圆的位置关系，掌握“点与圆心的距离小于半径，则点在圆内”是解本题的关键．【答案】A【详解】解：设点B的坐标为（x，y），∵AB是⊙M的直径，∴M点为AB的中点，∵A（a，b），M（1，0），，解得：x＝2−a，y＝−b，∴B点坐标为（2−a，−b）．故选：A．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，灵活运用线段的中点坐标公式是解决问题的关键．6．已知⊙P的半径为5，圆心P的坐标为(1，2)，点Q的坐标为(0，5)，则点Q(

)A．在⊙P外 B．在⊙P上 C．在⊙P内 D．不能确定【答案】C【详解】试题解析：∵点P的坐标为（1，2），点Q的坐标为（0，5），∴点Q在⊙P内．故选C．7．已知点A的坐标为A（3，4），⊙A的半径为5，则原点O与⊙A的位置关系是（）A．点O在⊙A内 B．点O在⊙A上 C．点O在⊙A外 D．不能确定【答案】B【详解】试题分析：本题可先由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，即当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；点在圆外；当d＜r时，点在圆内；来确定点与圆的位置关系．解：∵点A的坐标为A（3，4），∴OA==5，∴根据点到圆心的距离等于半径，则知点在圆上．故选B．点评：本题考查了点与圆的位置关系及坐标与图形性质，能够根据勾股定理求得点到圆心的距离，根据数量关系判断点和圆的位置关系．A． B． C． D．【答案】B故选B．【点睛】本题考查圆的认识，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质．熟练掌握圆内半径均相等，得到等腰三角形，是解题的关键．9．投掷飞镖是大众喜爱的一项游戏，如图所示的标靶由一个中心圆和九个等宽的圆环组成，中心圆的半径为1，每个圆环的宽度也为1（标靶的半径为10）．则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆环面积等于大圆面积减小圆面积即可求解．=．故选C．【点睛】本题考查了圆环的面积，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键．【答案】D【详解】如图，∵A（1，0），B（3，0），∴AB=2，∵∠APB=30°，∴点P的轨迹是以M为圆心，半径r=2的圆弧；故选【点睛】本题考查了线段最短问题，确定点P的位置是解本题的难点．二、填空题11．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为．【答案】1个或3个或4个【分析】不在同一条直线上的三个点确定一个圆．由于点的位置不同，导致确定的圆的个数不同，所以本题分三种不同情况考虑．【详解】解：（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆；（2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆；（3）当四个点共圆时，只能确定一个圆．故答案为：1个或3个或4个．【点睛】本题考查的是圆的确定，由于点的位置不确定，因此用分类讨论的思想方法进行解答．12．叫做直径.【答案】经过圆心的弦【详解】直径的概念.答案为:经过圆心的弦.13．三角形的外接圆与外心（1）的三个点确定一个圆；（2）三角形的外接圆：经过三角形的三个的圆；（3）三角形的外心：三角形的圆心．它是三角形三边的交点，到三角形三个的距离相等．【答案】不在同一直线上顶点外接圆垂直平分线顶点【分析】不在同一条直线上的三个点确定一个圆；经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．外心到三角形任意一顶点的距离即为外接圆的半径．据此填空即可．【详解】解：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆；（2）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆；（3）三角形的外心：三角形外接圆的圆心．它是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等．故答案为：不在同一直线上；顶点；外接圆；垂直平分线；顶点．【点睛】本题考查三角形的外接圆和内心的确定等，熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点是解题的关键．【答案】【分析】根据直角三角形两锐角和是90°，可以求出∠A的度数，在△ACD中由三内角和为180°，可以求出∠ACD的度数，由∠ACB＝90°，求出∠BCD．【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝65°．在△ACD中，∵CD＝CA，∴∠A＝∠CDA＝65°∴∠ACD＝180°−65°−65°＝50°．∴∠DCB＝90°−50°＝40°．故答案是：40°．【点睛】本题考查的是对圆的认识，由圆中半径都相等和直角三角形两锐角互余，以及三角形三内角和为180°，可以求出圆心角∠DCE的度数．15．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=74°，则∠E=．【分析】连接OD,则OD=OB=OC，由DE=OB,得OD=OB=OC=DE，所以，∠E=∠DOE,∠C=∠CDO，再证∠CDO=2∠E,∠C=2∠E,可得∠AOC=∠C+∠E=3∠E=74°.【详解】连接OD,则OD=OB=OC因为，DE=OB,所以，OD=OB=OC=DE所以，∠E=∠DOE,∠C=∠CDO所以，∠CDO=2∠E,所以，∠C=2∠E,所以，∠AOC=∠C+∠E=3∠E=74°，【点睛】本题考核知识点：圆半径的性质，等腰三角形性质,三角形外角性质.解题关键点：利用三角形的外角和等腰三角形性质得到角的关系.16．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是．考点：勾股定理；点和圆的位置关系.三、解答题17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°；以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，求∠ACD的度数．【答案】10°．【分析】先求得∠B，再由等腰三角形的性质求出∠BCD，则∠ACD与∠BCD互余，从而求得∠ACD的度数．【详解】解：连接CD，∵∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠B=50°，∵CD=CB，∴∠BCD=180°2×50°=80°，∴∠ACD=90°80°=10°．故答案为10°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，同圆的半径相等的性质，是基础知识比较简单，求出∠BCD的度数是解题的关键．18．如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点