专题09字母表示数和代数式的概念

专题09字母表示数和代数式的概念预习目标……………………………..1新课轻松学…………………………..2新知速通……………………………..3题型探究……………………………..4TOC\o"13"\h\z\u题型1、用字母表示数 4题型2、代数式的概念 5题型3、代数式的书写规范 6题型4、代数式的实际意义 7题型5、列代数式 8题型6、用代数式表示探究图形规律 10题型7、代数式求值（已知字母和式子的数值） 13题型8、程序框图与代数式求值 14题型9、代数式求值（整体思想） 16题型10、代数式求值（整体思想之赋值法） 17题型11、代数式求值（实际应用） 18基础通关 21拓展提优 261.会利用字母表示数表示简单的数量关系，体会字母表示数的优越性；2.掌握字母与数一起参与运算时的正确书写；3.了解代数式的概念；会用代数式表示简单的数量关系和数学规律、解决简单的实际问题；4.理解代数式的值的概念；会求代数式的值；5.培养学生养成良好的习惯，适当地渗透特殊与一般的辩证关系的思想；初步体会对应思想和整体思想。【思考1】港珠澳大桥建成通车，极大缩短香港、珠海和澳门三地间的时空距离；作为中国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作，该桥被业界誉为桥梁界的“珠穆朗玛峰”，被英国《卫报》称为“现代世界七大奇迹”之一。（1）如果一辆汽车在港珠澳大桥上以90千米/小时（1.5千米/分钟）的速度行驶，那么2分钟行驶多少千米？3分钟行驶多少千米？t分钟行驶多少千米？（2）如果用字母t表示时间，用v表示速度，那么汽车行驶的路程是多少呢？【思考2】椐某报纸报道，父母身高预测子女成年后的身高公式是：儿子身高是父母身高的和的一半；再乘以1.08；女儿的身高是父亲身高的0.923倍加上母亲身高的和再除以2。（该公式是根据遗传原理和欧洲人身高增长速度推算出来的）（1）已知父亲身高是a米，母亲身高是b米，请你用代数式表示儿子和女儿的身高；（2）女生索菲亚的父亲身高是1.84米，母亲身高是1.66米；男生乔治的父亲身高是1.82米，母亲身高是1.64米，试预测索菲亚和乔治成年后的身高。（结果保留两位小数）【代数式的发展历史】在古代，当算术里积累了大量的关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，古老的算术就必须进行改进和发展，未知数x等符号的引人，使算术学科变成了代数学科。有了符号体系，数学的书写比在算术阶段更紧凑、更有效、更抽象，也更能反映一般规律，于是，也就有了更广泛的应用。从算术到代数，经历了漫长的历史时代，许多国家、许多民族都做出过贡献。代数式概念的形式与发展经历了一个漫长的历史发展过程，13世纪，斐波那契（Fibonacci,L.）就开始采用字母表示运算对象，但尚未使用运算符号，韦达（Viete,F.）于15841589年间，引入数学符号系统，使代数成为关于方程的理论，因而人们普遍认为他是代数式的创始人，笛卡儿（Descartes,R.）对韦达的字母用法作了改进，用拉丁字母表中前面的字母a,b,c表示已知数，用末尾的一些字母x，y，z...表示未知数，莱布尼茨（Leibniz,G,W.）对各种符号记法进行了系统研究，发展并完善了代数式的表示方法。【代数式求值的中国元素】秦九韶是我国古代数学家的杰出代表之一，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就。由他提出的一种多项式求值的简化算法称为秦九韶算法：它是一种将n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法．即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法。用字母表示数，字母可以像数一样参与运算，使问题中的数量关系和运算表示得更简明，更具有一般性。例：加法交换律可用字母表示为：a＋b＝b＋a．乘法交换律可以用字母表示为：ab＝ba．代数式：用运算符号把数和字母连接而成的式子就叫代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。列代数式：在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性。代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“·”或省略不写；（2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写。代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫作代数式的值。整体思想是一种重要的数学思想，它抓住了数学问题的本质，是直接思维和逻辑思维的和谐统一。有些数学问题在解题过程中，如果按照常规解法运算较繁，而且容易出错；如果我们从整体的高度观察、分析问题的整体形式、整体结构、整体与局部之间的关系、联想相关的知识，就能寻求捷径，从而准确、合理地解题。题型1、用字母表示数【解题技巧】用字母表示数，可以使问题中的数量关系表示得更简明，更具有一般性。核心作用‌：简化复杂数量关系，为实际问题建立数学模型。例1．（2024七年级上·山东青岛·专题练习）用字母表示：(1)加法结合律：；(2)乘法结合律：；(3)乘法对加法的分配律：；(4)一个长方形的长为，宽是长的一半，它的周长是，面积是；(5)若，，分别表示梯形的上底、下底和高，则这个梯形的面积为；(6)一个平行四边形的一边长为，该边上的高是其长的，这个平行四边形的面积是．例2．（2425七年级上·河北唐山·开学考试）如果用表示自然数，那么偶数可以表示为（

）【答案】B【详解】解：表示自然数，则偶数可以表示为，故选B变式1．（2425七年级上·辽宁葫芦岛·期中）一支铅笔的价格是a元，一块橡皮的价格是b元，买2支铅笔和7块橡皮应付元．【详解】解：一支铅笔的价钱是元，一块橡皮的价钱是元，变式3．（2425七年级上·安徽芜湖·期中）某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若四月份增长率为，五月份增长率为，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（

）【答案】B题型2、代数式的概念【解题技巧】代数式：由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式。这里的运算是指加、减、乘、除、乘方和开方。单独的一个数或一个字母也是代数式。A．3 B．5 C．6 D．7【答案】B变式1．（2425七年级上·江苏宿迁·期中）下列各式中，是代数式的是．（填序号）【答案】①④⑤A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】B是由数与字母通过除法运算得到的式子，是代数式．∴代数式共5个，故选：B．题型3、代数式的书写规范【解题技巧】代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式；（4）在代数式前系数为1时，系数可省略不写，当“1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“－”；（5）后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来。例1．（2425七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列式子，符合书写规范的是（）【答案】A【详解】解：A.，符合代数式书写格式，故选项符合题意；变式1．（2425七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列各式符合代数式书写规范的是（

）【答案】A【详解】解：．符合代数式书写规范，故该选项符合题意；．中没有省略，应写为，故该选项不符合题意；变式2．（2425七年级上·河南商丘·期中）下列各式符合代数式书写规范的是（

）【答案】C【详解】解：A.正确的书写格式为，故此选项不符合题意；

B.正确的书写格式为，故此选项不符合题意；

C.书写正确，故此选项符合题意；

题型4、代数式的实际意义【解题技巧】代数式的实际意义需通过语言表述，将字母和运算符号转化为具体情境中的对象与逻辑。用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题的数量或数量关系。A．与的差的平方B．与的2倍的差C．的平方与的差 D．与的平方的差【答案】DA．第一天比第二天多的游客人数 B．第二天比第一天多的游客人数C．这两天所有游客人数 D．第二天游客人数【答案】B变式1．（2425七年级上·福建福州·期末）用字母表示的代数式是具有一定意义的，下列赋予实际意义的例子中错误的是（

）A．若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长B．若工程队平均每天铺设管道长度a千米，则表示这工程队4天完成的工作量C．若一个两位数的十位数字是4，个位数字a，则表示这个两位数D．若汽车行驶速度是a千米/小时，则表示这辆汽车行驶4小时的路程【答案】C【详解】解：A、若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长，正确，故此选项不符合题意；B、若工程队平均每天铺设管道长度a千米，则表示这工程队4天完成的工作量，正确，故此选项不符合题意；D、若汽车行驶速度是a千米/小时，则表示这辆汽车行驶4小时的路程，故此选项不符合题意．故选：C．变式2．（2425七年级上·江苏南通·期末）下列代数式的意义叙述错误的是（

）【答案】CB．的意义是a与b的积的5倍，故本选项说法正确，不符合题意；题型5、列代数式【解题技巧】列代数式：在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式。代数式可以简明地、具有普遍意义地表示实际问题中的量，给数量关系的研究带来方便。特别注意代数式的书写要规范。例1．（2425七年级上·江苏南京·期中）某电厂有煤吨，计划每天用煤吨，实际每天用煤节约了吨，节约后可多用（

）【答案】C【详解】解：某电厂有煤吨，计划每天用煤吨，节约前可用天，【答案】B变式2．（2425七年级上·江苏南京·期末）从1～9这九个数字中选择三个不同的数字，由这三个数字可以组成六个两位数．先把这六个两位数相加，然后再用所得的和除以所选三个数字之和．【答案】(1)见解析(2)见解析（2）解：若选择的三个数字分别为a，b，c三个不同的数字，∴从1～9这九个数字中选择三个不同的数字，由这三个数字可以组成六个两位数．先把这六个两位数相加，然后再用所得的和除以所选三个数字之和．最后得到的结果都是．题型6、用代数式表示探究图形规律【解题技巧】规探索律型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力。例1．（2425七年级上·江苏徐州·期中）下列图形都是有几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有1个白色正方形，图②中有4个白色正方形，图③中有7个白色正方形，图④中有10个白色正方形，…，按此规律，图⑩中白色正方形的个数是（

）A．32 B．29 C．28 D．26【答案】C例2．（2425七年级上·江苏盐城·期中）如图，用形状和大小一样的四边形图案摆出下列一组图形：

(1)摆出第1个图形要用4个四边形图案，摆出第2个图形要用______个四边形图案，摆出第3个图形要用________个四边形图案．(2)按照这种方式摆下去，第n个图形要用_____________（用含n的代数式表示）个四边形图案组成．(3)摆出第2024个图形要用多少个四边形图案？【详解】（1）解：根据图形可得：第1个图形要用个四边形图案，第2个图形要用个四边形图案，第3个图形要用个四边形图案；变式1．（2425七年级上·江苏盐城·期中）观察下列一组图形中点的个数，其中第①个图形中共有4个点，第②个图形中共有12个点，第③个图形中共有24个点，按此规律，第⑩个图形有个点．【答案】∵第n个图形中白色正方形的个数记为，题型7、代数式求值（已知字母和式子的数值）【解题技巧】代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫作代数式的值。例如：当x=20时，代数式x7的值是13。注意：求代数式的值的步骤：（1）代入数值；

（2）计算结果。A． B．3 C．10 D．11【答案】D【答案】【答案】0…012……135…【答案】【答案】题型8、程序框图与代数式求值【解题技巧】解题思路:‌1）‌确定运算顺序与规则‌：根据程序框图的符号（如处理框、判断框）明确运算优先级和条件分支；2）‌周期性规律的快速定位‌：若输出值出现重复序列，可直接通过余数确定第

n

次结果。通过结合程序框图的逻辑分析与代数式化简技巧，可高效解决动态运算问题，提升计算准确性与速度。例1．（2425七年级上·江苏扬州·期末）如图，按照程序图计算，当输入正整数x时，输出的结果为215，则输入的x值可能是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B如果输入的数字经过五次运算才能输出结果，则第1次计算后的结果是1，此时不是正整数，综上所述，输入的的值可能是7，23，71，故选：B．【答案】B【答案】19题型9、代数式求值（整体思想）【解题技巧】整体思想是一种重要的数学思想，它抓住了数学问题的本质，是直接思维和逻辑思维的和谐统一。有些数学问题在解题过程中，如果按照常规解法运算较繁，而且容易出错；如果我们从整体的高度观察、分析问题的整体形式、整体结构、整体与局部之间的关系、联想相关的知识，就能寻求捷径，从而准确、合理地解题。将已知代数式或所求代数式变形，整体替换成已知值。当代数式中‌奇次项的系数互为相反数‌时（如

x与

−x、x3

与

−x3），可利用变量替换或配对法简化求值，步骤如下：‌识别对称性‌：观察代数式中奇次项是否成对出现且符号相反；‌整体代入‌：将已知条件转化后整体代入求值即可。通过灵活运用奇次项特性，可大幅简化复杂代数式的求值过程。【答案】【答案】20【答案】22【答案】A．0 B． C．1 D．【答案】A题型10、代数式求值（整体思想之赋值法）【解题技巧】赋值法与整体思想结合，可高效解决复杂代数式求值问题，关键在于灵活选择赋值点并合理简化表达式。【答案】（1）4；（2）8；（3）0．【答案】392变式1．（2425邗江区期中）若（3x+1）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+c+e=．【答案】528【解析】∵（3x+1）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，令x=﹣1，有﹣32=﹣a+b﹣c+d﹣e+f①令x=1，有1024=a+b+c+d+e+f②由②﹣①有：1056=2a+2c+2e，即：528=a+c+e．【答案】1题型11、代数式求值（实际应用）【解题技巧】赋值法与整体思想结合，可高效解决复杂代数式求值问题，关键在于灵活选择赋值点并合理简化表达式。A．上海高 B．纽约高 C．一样高 D．无法比较【答案】C又上海的最高气温是，两地的气温一样高，故选：C．例2．（2425七年级上·江苏南通·期中）鲁班锁是我国古代传统建筑的固定接合器，也是一种广泛流传的益智玩具（图1），其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图2所示．(1)用含字母的式子表示图2所示的面积（用含有a，b，c，d的式子表示）；【答案】220变式2．（2425七年级上·陕西渭南·期中）冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上融化的冰糖液制作而成．(1)若用200个山楂穿冰糖葫芦，且每串的山楂个数相等，每串冰糖葫芦的山楂个数与冰糖葫芦的总串数成______比例关系；（填“正”或“反”）【详解】（1）解：∵每串冰糖葫芦的山楂个数与冰糖葫芦的总串数的乘积为，是定值，∴每串冰糖葫芦的山楂个数与冰糖葫芦的总串数成反比例关系．1．（2324七年级上·河北秦皇岛·开学考试）小明比小强大2岁，比小华小4岁．如果小强y岁．则小华（

）【答案】D2．（2425七年级上·江苏宿迁·期中）下列式子，符合代数式书写规范的是（

）【答案】B3．（2425七年级上·江苏·期末）下列式子是代数式的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】B②是数5与字母t的乘积，符合代数式的定义，是代数式；综上可知，是代数式的有②，故选：B．4．（2425七年级上·山东济宁·期中）下列说法中，正确的是（

）【答案】DB、是代数式，1是代数式，故选项错误，不符合题意；A．1 B．2 C． D．【答案】C【答案】的倍与的差9．（2425七年级上·江苏扬州·期末）某商品原价每件a元，实际销售时先打8.5折，然后每件再降价10元，此时该商品的售价为每件元．（用含a的代数式表示）10．（2425七年级上·江苏扬州·期末）如图，在求两位数乘两位数时，可以用“列竖式”的方法进行速算，根据前3个“列竖式”的速算方法，则第4个的两位数的个位数字y用十位数字x可表示为．【答案】9【答案】1213．（2425七年级下·广东肇庆·期末）如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，写出第10个图案中小五角星有颗．【答案】3114．（2425七年级上·江苏徐州·期中）为鼓励节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：若每户每月用水不超过15立方米，按每立方米a元计费；若超过15立方米，则超过部分按每立方米b元计费．(3)在（2）的条件下，小华家上月用水x立方米，求应交水费．【详解】（1）解：因为10立方米立方米，所以应交水费为元；【答案】(1)1(2)9(1)设动力为，动力臂为，用式子表示与的关系，并说明与的比例关系：(2)当动力臂为时，则撬动这块石头至少需要的动力是多少N？A． B． C． D．【答案】B2．（2425七年级上·广东阳江·期中）“中国结”寓意美满团圆，中间的图案是由小正方形按一定规律组成的，其中第1个图形共有14个小正方形，第2个图形共有19个小正方形，第3个图形共有24个小正方形，……，依此规律，第7个图形中小正方形的总个数为（

）A．39 B．44 C．64 D．69【答案】B【答案】②③/③②∴是完全对称式的有②③，故答案为：②③．5．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数之和为x．(1)图中①﹣④的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数之和的对应关系如表：多边形的序号①②③④…多边形的面积S234…各边上格点的个数和x456…请完成表格并直接写出S与x之间的关系式；(2)如图⑤，图⑥的格点多边形内部都只有2个格点．①请你仿照图⑤，图⑥，在图⑦，图⑧的位置再画出两个不同的格点多边形，使这两个多边形内部都有且只有2个格点；②结合图⑤﹣⑧的格点多边形，直接猜想此时所画的各多边形的面积S与它各边上格点的个数之和x之间的关系式为：．（2）①如图，分别画出两个格点多边形⑦⑧，其内部都只有两个格点．6．（2425七年级上·江苏盐城·期中）【阅读理解】苏教版数学新教材七年级上册93页论述了一元多项式的恒等关系：如果一个多项式中只含一个字母，那么就称它为一元多项式．对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的．【答案】(1)243(2)1227．（2425七年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）【回归课本】下面图1中的（1）~（3）是课本中的一道习题：请根据下面的图示，用a的代数式分别表示图1中的①（1）~（3）中阴影部分的面积．图（1）中阴影部