专题02圆中的重要模型之四点共圆模型（几何模型讲义）数学人教版九年级上册

专题02圆中的重要模型之四点共圆模型四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。TOC\o"14"\h\z\u 1模型来源 1真题现模型 2提炼模型 4模型运用 6模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 6模型2.定边对双直角共圆模型 8模型3.定边对定角共圆模型 11模型4.对角互补共圆模型 14TOC\o"14"\h\z\u 16汉代数学家张丘建在《九章算术》中首次提出四点共圆的理论雏形，宋代数学家基于《九章算术》进一步研究，明确“对角互补的四边形必共圆”的判定条件，与阿拉伯研究形成互补。托勒密在《天文学大成》中提出‌托勒密定理‌：若凸四边形内接于圆，则两对角线乘积等于两组对边乘积之和，并给出严谨证明。该定理首次将四点共圆与定量关系结合，成为后世判定核心依据之一。四点共圆模型从东西方独立的定性认知起步，历经托勒密的定量跨越，最终在近现代整合为系统化工具，成为解决圆相关几何问题的通用模型。其发展体现了数学思想从经验到逻辑、从孤立到互联的演进本质。初中几何体系将四点共圆判定归纳为四大核心模型。

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【详解】解：①连接、，如图所示：

∴点A，C，E，B在以点O为圆心，以为圆心的圆上，∴点A，C，E，B四点共圆，故②正确；（2425九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）∴点，都在点，，所确定的上（依据）；∴点，，，四点在同一个圆上；【反思归纳】圆内接四边形对角互补；对角互补的四边形四个顶点共圆；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；同圆中，同弧所对的圆周角相等；（）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据：；依据：．（从框内选一个选项，直接填序号）∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）∴点，在点，，所确定的上（过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆）∴点，，，四点在同一个圆上，故答案为：，；1.定点定长共圆模型（圆的定义）若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。证明：∵OA=OB=OC=OD∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。图1图2（同侧型）图3（异侧型）2.定边对双直角共圆模型定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。1）定边对双直角模型（同侧型）结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。2）定边对双直角模型（异侧型）结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。3.定边对定角共圆模型定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。图1图2图3图44.对角互补共圆模型模型1.定点定长共圆模型（圆的定义）例2（2425·江西赣州·九年级校联考期中）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（

）A．∠ACB=90°B．∠BDC=∠BACC．AC平分∠BADD．∠BCD+∠BAD=180°【答案】C【详解】如图，以点O为圆心，OA长为半径作圆．由题意可知：OA=OB=OC=OD．即点A、B、C、D都在圆O上．拓展延伸：①证明：如图3中，连接，模型2.定边对双直角共圆模型【答案】B

【答案】A

模型3.定边对定角共圆模型例1（2324九年级·福建福州·期中）如图，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上．（1）求∠BAD的度数；（2）求证：A、D、B、E四点共圆．【答案】（1）10°；（2）见解析【详解】解：（1）∵在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，∴∠C＝50°，∵将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠C＝50°，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝50°，∴∠BAD＝50°－40°＝10°证明（2）∵将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，∴∠ABC＝∠AED，∴A、D、B、E四点共圆．

例3（2024·湖南·模拟预测）综合与实践：“乐思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．∴点A，B，C，E四点在同一个圆上．（对角互补的四边形四个顶点共圆）∴点B，D在点A，C，E所确定的上．（依据2）∴点A，B，C，D四点在同一个圆上．反思归纳：(1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？依据1：________________．依据2：________________．【答案】(1)圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆(2)(3)见解析【详解】（1）解：依题意，结合上下证明过程得：依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；模型4.对角互补共圆模型【答案】见解析【答案】/例3（2425九年级上·云南·期中）综合与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．

探究展示：如图2所示，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），点，，，四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆）点，在点，，所确定的上，（依据点，，，四点在同一个圆上；反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：______；（从右边框内选一个选项，直接填序号）依据2：______．（从右边框内选一个选项，直接填序号）①圆内接四边形对角互补；②对角互补的四边形四个顶点共圆；③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上；【答案】（1）①，③（2）点，在点，，所确定的上的依据是：③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；故答案为：①，③；（2）作过，，的，在劣弧上取点，连接，，如图：

，，，共圆，即在过，，的上，在过，，的上，，，，，共圆，1．（2425·广西·模拟预测）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（）【答案】B【详解】解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．∵AB=AC=AD=2，∴D，C在圆A上，∵DC∥AB，∴弧DF=弧BC，∴DF=CB=1，BF=AB+AF=2AB=4，【答案】BA．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①④【答案】C

【答案】②③④【详解】解∶如图1，设AC、BD交于点F，连接OC、OD，∴点A、C、D到点O的距离相等，故④正确；∵OD=OC=OA=OB=AB，∴∠BAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC，∠OCB=∠ABC，∴∠BAD+∠OCD+∠OCB=∠ODA+∠ODC+∠ABC，∵∠AFD=∠BFC，∴∠DAC=∠DBC，故②正确；但是△ODC与△BOC不全等，∴DC≠BC，故①不一定成立，∴正确的是②③④，故答案为∶②③④．【答案】130【详解】解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∵∠ABC＝50°，∴∠ADC＝130°，故答案为：130．7．（2425·山东烟台·九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则的值是．【答案】【详解】∵BA⊥AD，BC⊥CD∴∠BAD=∠BCD=90°∴A、B、C、D四点共圆∴∠BDA=∠BCA∵∠BDA+∠DBA=∠BCA+∠CBO=90°∴∠DBA=∠CBO∴∠DBA∠CBA=∠CBO∠CBA即∠DBC=∠ABO又∠DBC+∠BDC=∠ABO+∠BAO=90°∴∠BDC=∠BAO∵点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），8．（2425·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝．【答案】17【详解】∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；延长FE至点G，使得FG=FA，连AG，AT，∵∠AFE=60°，∴△AFG是等边三角形，∴AG=AF=FG=50，∠AGF=∠FAG=60°，∵∠BAF+∠EAF=∠CAG+∠EAF=60°，∴∠BAF=∠CAG，∵DT=CE，∴∠DBT=∠BTD，∵∠BAD=∠CBE，∴∠BAD=∠BTD，∴A、B、D、T四点共圆，∴∠BAD=∠DAT，∴∠FAT=∠GAE，∵FG=50，TE=16，∴FT=(FGTE)=17．故答案为：17．

【详解】解：连接并延长，如图，

(2)【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由；

11．（2425九年级上·内蒙古通辽·期末）请阅读下列材料，完成相应任务．我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．如图③，若点在内，……任务：(1)上述证明过程中的“依据”“依据”分别指什么？依据：______；

依据：______．【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和(2)证明见解析(3)【详解】（1）解：依据：同弧所对的圆周角相等；依据：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；12．（2425九年级上·湖北鄂州·期末）请仔细阅读以下材料：定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分．【答案】(1)证明过程见详解(2)，(3)证明过程见详解14．（2425九年级上·内蒙古赤峰·期末）实践与探究探究课题：四点共圆的条件课题背景：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆【答案】(1)这个结论正确，理由见解析；(2)没有上述关系，理由见解析；(3)这个四边形相对的两个内角互补．【详解】（1）解：这个结论正确，理由如下：∵如图1，经过四边形的四个顶点A、B、C、D，∴如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角互补．∴如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间不具备上述关系．∴如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间不具备上述关系．（3）解：根据（1）（2）可得：如图2：判定过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件是这个四边形相对的两个内角互补．【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接、，∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上．16．（2425九年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证．证明：过点A、B、D作，假设点C不在上，则点C在外或内若点C在圆内，……（1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明；【深入探究】得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究：【结论应用】应用以上结论，解决下列问题：∴点C在圆上，∴点A、B、C、E四点在同一个圆上；（2）如图，作经过点A、B、D的，点A、B、C、E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆）点C在点A、B、E所确定的上，也就是在点A、B、D所确定的上，点A