（江苏专用）高三数学一轮总复习 第六章 数列、推理与证明课时跟踪检测 理-人教高三数学试题

第六章数列、推理与证明

第一节数列的概念与简单表示法

9司KEQIANSHUANGJ1LU0SHI@—©2盼C园一例°会同图郎

••＞必过教材关

1.数列的有关概念

概念含义

数列按照一定次序排列的一列数

数列的项数列中的每个数

数列的通项数列｛&｝的第〃项为

如果数列｛品｝的第〃项与庄号上之间的关系可以用一个式子来表示，那么这

通项公式

个公式叫做这个数列的通项公式

前〃项和数歹必a,｝中，£=&+&■!---1■&叫做数列的前n项和

2.数列的表示方法

列表法列表格表示〃与2的对应关系

图象法把点（〃，a）画在平面直角坐标系中

通项

公把数列的通项使用公式表示的方法

公式

式

递推

法使用初始值的和%+产八即）或劭，m和小+1=八诙，4-1）等表示数列的方怙

公式

3.a与S的关系

若数列｛&｝的前〃项和为S,

n=\,

则a„=

S“一S,-i,〃22.

4.数列的分类

递增数列

递减数列V〃WN",4+1<4

单调性常数列Vanw=an

从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于

摆动数列

它的前一项的数列

周期性周期数列V〃£N-，存在正整数常数匕an

［小题体验］

1.已知数列｛a｝的前4项为1,3,7,15,则数列｛a｝的一个通项公式为_______.

答案：&=2"-1（〃£『）

'y

2.已知数列｛8）｝中，3\=19<3/74-1—QIr>>则ck=______♦

^3t）\o

公分1

口案：而

3.（教材习题改编）已知数列｛&｝的通项公式为a=./+数列｛4｝仅在〃=3时取得

最小的项，则实数A的取值范围是.

解析：法一：因为品=〃2+4〃=（〃+J2一手，由于数列｛4｝仅在〃=3时取得最小

R〃7

的项，所以5<一5<5,从而得一7<〃<一5.

法二：因为区一品-1=//+/!〃一［（〃-11+4=2〃-1+1,由于数列｛aj仅在

〃=3时取得最小的项.所以您》以且国〉加即5+且7+4〉0,故一7。1<一5.

答案：（-7,-5）

4.（教材习题改编）数列｛4｝中，已知&=（一1）"・〃+爪&为常数），且国+a=3&,则

an=.

解析：由题意得一l+a+4+a=3（2+a）,所以a=—3,则&=（一1尸・〃一3.

答案：（一1）〃•〃一3

••>必过易错关

1.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且

还与这些“数”的排列顺序有关.

2.易混项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指

数列的项对应的位置序号.

3.在利用数列的前〃项和求通项时，往往容易忽略先求出囱，而是直接把数列的通项

公式写成&=S,-57的形式，但它只适用于〃22的情形.

［小题纠偏］

1.已知S是数列｛d｝的前〃项和，且则数列｛&｝的通项公式是.

2,〃=1,

答案：劭:C.j

2/7—1,〃22

2.数列｛&｝的通项公式为&=一//+9〃，则该数列第______项最大.

答案：4或5

自。身直翼顾0KETANGKAODIANTUPO囱11跖金做3“经固皿

考点一由数列的前几项求数列的通项公式基础送分型考点一一自主练透

［题组练透］

o4£o1

1.数列*7?演'归'而,…的一个通项公式是------------------------------------.

解析：通过观察各项，可得分母为(2〃一＞：2〃+1),分子为2/2,则a=

2n____

2//—12〃+1.

答案：an=2/7-12/?+1

2.根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：

(1)4,6,8,10,­••；

(2)(易错题)一白，色,一/，占，…；

1XZZX33X44X3

(3)(i,b,a,b,a,仇…(其中a,6为实数)；

(4)9,99,999,9999,

解:(1)各数都是偶数，且最小为4,所以它的一个通项公式4=2(〃+1),

(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶

数项为正，所以它的一个通项公式&=(­1)"X〃「］,

(3)这是一个摆动数列，奇数项是a,偶数项是b,所以此数列的一个通项公式&=

&〃为奇数，

、儿〃为偶数.

(4)这个数列的前4项可以写成10—1,100—1,1000—1,10000—1,所以它的一个通

项公式g=10"-1,

［谨记通法］

由数列的前几项求数列通项公式的策略

(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征,

并对此进行归纳、联想，具体如下：

①分式中分子、分母的特征;

②相邻项的变化特征；

③拆项后的特征；

④各项符号特征等.

(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特

殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号

变化，可用(一或(一1严来调整.如“题组练透”第2(2)题.

考点二由&与S,的关系求通项重点保分型考点一一师生共研

［典例引领］

已知下面数列｛&｝的前77项和Sn,求｛劭｝的通项公式：

(1)S=2〃,一3〃；

(2)S,=3”+6.

解：⑴a=S=2—3=—1,

当时，&=S­S1

=(2/?2—3/?)—［2(/?—I)2—3(/?—1)］=4/?—5,

山于4也适合此等式，

••当=4〃­5.

(2)ai=S=3+b,

当时，an=Sn—Sn-\

=(3"+6)一(3"T+A)=2・

当b=-1时，句适合此等式.

当加6―1时，句不适合此等式.

・•・当6=—1时，&=2-3'一；

3+6,??=1,

an=

当6工.1时，\9>9

Iz,3>2.

［由题悟法］

已知S求义的3个步骤

(1)先利用a尸S求出di；

(2)用〃一1替换S中的〃得到一个新的关系，利用a=$一$■］(〃22)便可求出当〃22

时区的表达式；

(3)对〃=1时的结果进行检验，看是否符合〃22时&的表达式，如果符合，则可以把

数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分〃=1与刀22两段来写.

［即时应用］

已知数列｛&｝的前〃项和为S.

(1)若S=(-1)"7•〃，求曲+曲及4；

(2)若S=3"+2〃+L求&.

解：(1)会+徐=&-&二(一6)—(-4)二-2,

当/7=1时，fl|=5i=l；

当〃22时，a尸ST1

=(-1)”7.IL(-1)'',(//-1)

=(-1产・[〃+(〃—D]

=(-1严・(2/7-1),

乂a也适合此式，

所以a=(-1)田・(2/7-1).

(2)因为当〃=1时，ai=5i=6；

当时，

a=SLSn-i=(3"+2〃+1)—[3n-l+2(/7—1)+1]

=2・3"f+2,

由于a不适合此式，

6,〃=1,

所以a=

n2・3'i+2,〃22.

考点三由递推关系式求数列的通项公式常考常新型考点一一多角探明

［命题分析］

递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是

由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接.

常见的命题角度有：

(1)形如=&F(n),求&；

⑵形如加i=d+/'(〃),求必；

(3)形如/+1=/1&+方(力W0且一#1),求国；

Jo

(4)形如a+1=贰力(4B,C为常数)，求外

［题点全练］

角度一：形如区+1=anf\n),求an

/7—1

1.在数列｛4｝中，1,&=-^―氏-1(〃22),求数列｛&｝的通项公式.

n—1

解：Va„=—^-an-\(/?>2),

〃一21

・・an-i=7aL2,&=773.

/?—12

以上(〃一1)个式子相乘得

12n—1a\1

当〃=1时，51=1,上式也成立.:.&、=7

角度一：形如&+1=&>+f（〃）9求3（）

2.若数列｛4｝满足：a=l,ae=a”+2",求数列｛4｝的通项公式.

解：由题意知&八一&=2",

cln=(4—4-1)十(&-1-a-2)+…十(cfe-3))十国

1一2"

=2"7+2"T+...+2+l==2-1.

1-2

角度三：形如&+】=Ha”+8（4H0且力W1）,求必

3.已知数列｛a｝满足a=l,a,+i=3a”+2,求数列｛a｝的通项公式.

解：•:&+1=3&+2,/.cif,+l+1=3(c?n+1)»

•••丹?=3,・••数列｛4+1｝为等比数列，公比q=3,

品十1

又a1+l=2,，a”+l=2♦3"一1.*.a„=2,S'7-1—1.

角度四：形如既十尸产7（4B,。为常数），求品

DclffXC

2an

4.已知数列｛a｝中，d=1,&+尸E，求数列｛&｝的通项公式.

解:*：a<*i=8=1,:.8H0,

4+2'

1111之，又国=1,则卜,

i即

13,<)乙&+i

1是以i为首项，）为公差的等差数列.

11.、1/7112

-=-+(/z;-1)X-=-+-,(/?€N*).

〃+1

［方法归纳］

典型的递推数列及处理方法

递推式方法示例

a肝i=an+f(,7)叠加法ci]=\9&+1=2/7

cin+\=clrrf(n)叠乘法&=1,上=2”

a„

Un-¥1=4&1+B

化为等比数列<31=1,%+i=2a+l

C4W0,1,屏0)

Aan

3-%+°（儿B,C34

化为等差数列a-1-2a+3

为常数）

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1.（2016•徐州调研）设数歹Ma｝的前〃项和S=〃2+〃，则国的值为

解析：国=£一$=20-12=8.

答藕8

数234

列4

--

2.nT7?…的一个通项公式4=

解析：由已知得,数列可写成;,?5,…，故通项为备

n

答案:

2/7-1

n—1

3.在数列｛a｝中，a)=1,a=--&一i(〃22),则a=________.

nnn

金刀品€?/?-!ch改

解析：&=---•....•一•8

a-1Srr-2企3｛

/7-2211

-n~\•----••一•一•1----

nn~132n

1

答案：-

4.已知数列｛a｝的前〃项和为5=〃2-2〃+2,则数列｛&｝的通项公式为

解析：当〃=1时，a=S=1,

当时，an=Sn—N-i=2〃-3,

1,〃=1,

由于〃=1时向的值穴适合〃22的解析式，故&=」.

2〃一3,〃22,nGN.

1,〃=1,

答案：a<,=

2〃一3,〃22,/?EN*

5.（2016・泰州调研）数列｛aj定义如下：ai=1当〃22时，an=

1+4〃为偶数,

若&="，则〃=.

〃为奇数,

解析：因为3\=i9所以a=1+<3]=2,&=-=77»国=1+a=3,法>=-=丁，a=l+

a2乙ci\3

31211

&=小a；=-=丁，&=1+a=4,4=—=:，所以〃=9.

2a338A

答案：9

二保高考，全练题型做到高考达标

1.设品=-3//十15〃-18,则数列｛晶｝中的最大项的值是.

解析：因为a=-3(〃一2+1>且〃£Z,所以当〃=2或〃=3时，a取得最大值，

即最大值为R=&=0.

答案：0

2.数歹U｛&｝满足a+&+i=J(〃£N*),忿=2,W是数列｛a｝的前〃项和，则£i为______.

乙

解析：

乙&=2,

一*〃为奇数，

2

.2,〃为偶数.

.•.£1=11义卜习+10X2=：.

Ai7

答案：5

3.(2015•无锡调研：)在数列｛&｝中,已知a=2,52=7,a+2等于&&+】(〃gN4)的个位

数，则殳016=.

解析：由题意得：ch=4,由=8,cft=2»=6>a=2,曲=2,曲=4,c/io=8；所以数

列中的项从第3项开始呈周期性出现,周期为6,故31016=3335X6+6=S6=6.

答案：6

4.已知数列｛a｝对任意的。Q£N*满足且柩=6,那么向。=.

解析：&=续+桀=12,a=国+/=18,a(i=&；+a=30.

答案:30

5.若数列｛&｝满足：团=19,%+尸见一3(〃£“)，则数列｛品｝的前〃项和数值最大时，

〃的值为________.

解析：V-ai=19,4+1—4=-3,

・•・数列｛&｝是以19为首项，―3为公差的等差数列，

・・・&=19+(〃-1)X(-3)=22-3/7.

设｛a，｝的前4项和数值最大,

0,22—3420,

则有AeN*,：.\

1W022-3k+1WO,

•・琳£N*,・・・4=7.・♦.满足条件的n的值为7.

答案：7

6.在数列一1,0,"…，口，…中，0.08是它的第____________项.

yon

解析：令勺苫=0.08,得2万一25〃+50=0,

即(2/7-5)(/7-10)=0.

解得/7=10或〃=次舍去).

答案，1()

7.(2016•南京四校联考)已知数列｛&｝满足：加7=1,国i=0,瓯=/，〃£“，则

92013=»<32(116=.

解析：由题意可得会013=&X504-3=1,息016=句88=丽」=，52=326=国3=&X16-1=0.

答案：1()

8.在一个数列中,如果都有a&*&+2=k(A为常数)，那么这个数列叫做等

积数列，4叫做这个数列的公积.已知数列｛a｝是等积数列，且2=1,生=2,公积为8,则

团十色十a、H\-a\2=.

解析•：依题意得数列｛&｝是周期为3的数列，且句=1,改=2,53=4,因此句+生+麴

----F&2=4(a+&+&)=4X(1+2+4)=28.

答案：28

9.已知S为正项数列｛4｝的前〃项和，且满足S,/.

乙乙

(1)求团，选，生,国的值；

(2)求数列｛a｝的通项公式.

解.：(1)由S,=J双+2功(〃£“)，可得

ci[，解得；

乙+乙.2a=1

£=a+%=J/+J&2,解得a2=2；

同理，&=3,d=4.

⑵①

当〃22时，②

乙乙

①一②得（&-/_］-1）（a+8—）=0.

由于a+a-i#0,

所以a一d一1=1,

又由（1）知独=1,

故数列（为｝是首项为1,公差为1的等差数列，故&=〃.

10.己知数列｛a｝的通项公式是a=/广+4〃+4.

（1）若4=-5,则数列中有多少项是负数？〃为何值时，&有最小值？并求出最小值；

（2）对于〃£N.，都有求实数衣的取值范围.

解：（1）由〃2—5〃+4<0,

解得K/X4.

因为〃£N",所以〃=2,3,

所以数列中有两项是负数，即为良，外

因为&=〃2_5〃+4=（〃―习2_：,

由二次函数性质，得当〃=2或〃=3时，为有最小值，其最小值为我=公=-2.

（2）由&知该数列是一个递增数列，又因为通项公式&=//+如7+4,可以看作是关

kQ

于〃的二次函数，考虑到〃所以一5〈5,即得攵>一3.

乙乙

所以实数A的取值范围为（一3,+8）.

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1.已知｛&｝满足&+1=&+2n,且d=33,则/的最小值为________.

解析：由己知条件可知，当〃22时，

a„=a\+（a>~a\）+（&—左）H---b（4一91）

-33+2+4+…+2（。-1）

=/?'—〃+33,又〃=1时，句=33满足此式.

所以包=〃+竺一1.

nn

人,、a”,33

令/"（/?）=—=〃+---1,

nn

则f（〃）在［1,5］上为减函数，

在［6,+8）上为增函数，

又/•⑸卷,F⑹卷,

则f(5)〉F(6),故F5)=色的最小值嵋.

nZ

21

答案：3

乙

2.若单调递增数列｛a｝满足a+4小+4+2=3〃-6,且色£&,则a的取值范围是

乙

解析：由&+&+]+&+2=3〃-6,a2旬得，33=—3—,所以d=何+3,由｛%｝是

31193

单调递增数列知，&0会＞所＞国，即句+3＞—3—解得一丁〈水一

乙L3/

123、

答案:T*~2

3.(2016•扬州模拟)已知数列｛8｝中，幽=1,且由+色十尸2".求数列｛飙｝的通项公式.

解：・・・&+&+尸2",①

.,・&k1+品+2=2"1②

②一①，得g+2-2=2",由句=1,句+及=2,得的=1.

当/?为奇数时，

为=(品一d-2)+(a-2-a“-4)H----F(8-a)+a

=2^+21+…+2+l=：X2"+J：

JJ

当n为偶数时，an—(%-&-2)+(&-2-劭-i)+…+(国一所)+团=2"-'+2"'+…+2'+1

<2-.

I；X2"+「〃为奇数，

|oJ

WX20-a〃为偶数.

JJ

第二节等差数列及其前〃项和

EQIANSHUANGJ1LUOSHIQjTSJc0一0'避。圜£)

必过教材关

1.等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那

么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母且表示.

(2)等差中项：数列&A,。成等差数列的充要条件是二方=,其中力叫做a,b的笠

差中项.

2.等差数列的有关公式

(1)通项公式：-=d+(〃-1)d.

(2)前〃项和公式：$=〃&+"==!==d—==.

乙乙

3.等差数列的常用性质

⑴通项公式的推广：&=&+通-m)d5,mE,N*).

⑵若｛a,｝为等差数列，&k+l=M~n(k,7,/n,/?GN*),则a+&=&+a.

(3)若｛4｝是等差数列，公差为a则｛统｝也是等差数列，公差为客

⑷若｛&｝,｛4｝是等差数列,则｛0&+。力)也是等差数列.

(5)若｛4｝是等差数列，公差为&则&,&+*,a+2,,…(上加END是公差为㈣的等差

数列.

［小题体验］

1.(教材习题改编)在等差数列｛4｝中，a+品=12,金=17,则&=.

解析：由国十a=12,敌=17,

得2@+5d=12且句+8d=17,

解得a1=l,d=2,所以国=7.

答案：7

2.(教材习题改编)等差数列｛&｝的前〃项和为S,已知4=15,&T=59,5；=999,

则d=_______.

15=@+2d,

&=11,

59=a+/7—3d,

解析：法一：由题意得，解得•〃=27,

,nn—1

999=〃d+-------9=2.

、上n&+a“n2+&-274/?，，一

法一：因为Sn=7=n==999,所以〃=27,从而初5=59,因

乙乙乙

此生5—技=44=224所以t/=2.

答案：2

3.(教材习题改编)己知等差数列｛a｝中,S=2,S=6,则%=_

'2=4@+64

解析：法一：因为S=2,4=6,所以1_o.oo.

6=8a+284,

5i

由此得$2=12X^+66X6=12.

Ioo

法二：因为数列｛&｝为等差数歹Ij,

所以S,4-S,S2—&也成等差数列,

故8=2+$2—6,解得Sz=12.

答案：12

必过易错关

1.要注意概念中的“从第2项起”.如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或

第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列.

2.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别.

3.求等差数列的前〃项和S的最值时，需要注意“刍变量〃为正整数”这一隐含条件.

4.要注意公差的取值对项的正负的影响，特别注意正负的临界项.

［小题纠偏］

1.已知等差数列｛a｝满足，臼>0,5疝=8加,则前〃项和S取最大值时,〃的值为.

3

解析：设数列｛4｝的公差为%由5&=8a”，得5(右］+74=8(句+12M,解得"=一行

01

品，由a=&+(〃-1)"=&+(〃-1)(一白可得〃wS=21J,所以数列｛a｝的前21

\ol/33

项都是正数，以后各项都是负数，故S,取最大值时，〃的值为21.

答案:21

2.已知数列｛&｝的前〃项和S=/?2—6〃，则｛|a|｝的前6项和A=.

解析：由S,=〃2—6〃得储〃｝是等差数歹ij,且首项为一5,公差为2.所以a=—5+(〃-1)X2

=2/7—7,当〃W3时，aXO；当〃>3时，4>0；所以£=一演+(一史)+(-&)+&+&+%

=5+3+1+1+3+5=18.

答案：18

S

考点一等差数列的基本运算基础送分型考点一一自主练透

［题组练透］

1.(2015•全国卷I改编)已知｛a｝是公差为1的等差数列，S为｛&｝的前〃项和，若

S=4S,贝ij3io=_______.

解析：•••公差为1,

8xg—[

：•&=8&+；X1=8d+28,Si=4a1+6.

,.,5=45,，8国+28=4(4国+6),解得a=；,

乙

119

:.am=国+9d=-+9=~

乙乙

不皿19

答案：丁

乙

2.(2015•南通调研)设S”为等差数列(,｝的前〃项和，若独=1,公差d=2,S+—S,

=36,则n=.

解析：法一：由题知S=〃a】+^—77——4=〃+〃(〃-1)=〃。$+2=(〃+2尸，由$+2一

乙

S=36得，(〃+2)2—〃2=4〃+4=36,所以〃=8.

法二：S,+2—5=&+1+&+2=28+(2〃+1)d=2+2(2〃+1)=36,解得〃=8.

答案：8

3.(2016•衡水中学模拟)已知S,是数列｛&｝的前〃项和，句=1,怂=2,信=3,数列

｛&+&+1+a+｝是公差为2的等差数列，则.

解析：由题可得a=3,所以史+鼻+&=8,

:.£5=囱+(我+信+…+/3)+(左+a+…+cfei)+(a+a?+…+cka)=1+

8X7、(8X7、(8X7

2X8+-^-X21+l3X8-|-y-X21+13X8+-^-X2=233.

答案：233

4.(易错题)设S,为等差数列｛a｝的前〃项和,a】2=—8,S=—9,则SG=

解析：设等差数列｛4｝的首项为公差为，

a2=a+ll"=-8,

a=3,

由己知，得，9f/X8解得

$=9a+---=—9d=—\.

乙

16X15,、

・・・S6=】6X3+—;—X(-l)=-72.

答案:-72

［谨记通法］

等差数列运算的解题思路及答题步骤

(1)解题思路

由等差数列的前〃项和公式及通项公式可知若已知a,d,n,a,S中三个便可求出其

余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解.

⑵答题步骤

步骤一：结合所求结论，寻找已知与未知的关系;

步骤二：根据已知条件列方程求出未知量；

步骤一：利用前〃项和公式求得结果.

考点二等差数列的判断与证明题点多变型考点一一纵引横联

［典型母题］

已知数列｛&｝的前〃项和为S且满足&+2sA-SLI=0(〃22),句=；.

,■1

(1)求证:s是等差数列;

(2)求国的表达式.

［解］(1)证明：=S—ST(〃22),

又品=—,\SrT-i—S„=2Sn*S„-itS#0.

11

因此•-=2(〃22).

I

故由等差数列的定义知位是以"=5=2为首项,2为公差的等差数歹U.

(2)由(1)知［=［+(//—1)d=2+(/?—1)X2=2〃,

Of)dl

=

即SriT~.

411

由于当心2时'有&=_2S,・SL尸一彳乐

又不适合上式.

1

产佞〃=1,oJ>422.

2/7n—1

［类题通法］

等差数列的判定与证明方法

方法解读适合题型

对于〃22的任意自然数，a-a-i(〃22,为同一常数0

定义法

｛&｝是等差数列解答题中证

等差中项明问题

2a-1=&+(〃23,〃£N*)成立=｛品｝是等差数列

法

通项公式a产pn+q（p：g为常数）对任意的正整数〃都成立=｛4｝是等差

法数列填空题中的

前〃项和公验证S产Z+BMA,8是常数）对任意的正整数〃都成立。｛&｝判定问题

式法是等差数列

母;不变条件延伸设问题中有题:——:变式1:

题

衍........,「凌式2：

变

:变换条件不变设问难度加大L二二二二

J变式距

［越变越明］

［变式1］试说明母题中数列｛4｝是不是等差数列.

解：当杉2时，所==7r

_________1_______

n〃-1〃+1•

・•・当〃22时，&+La的值不是一个与〃无关的常数，故数列｛&｝不是等差数列.

［破译玄机］

本题在求解时，可以举出反例，也可以用反证法.

~~［变式2］若将母题条件变为“数列｛a｝的前〃项和为5为£心，2S—〃&=〃，”求证:

｛&｝为等差数列.

证明：••'ZS—〃&=〃，①

・••当〃22时，2sl一（〃一1）4-1=〃-1,②

；・①一②得：（2—〃）&+（〃-l）a-i=l,（1—+/周=1,.,.2a=4-1+&+1（〃22）,

・••数列｛2｝为等差数列.

［变式3］若母题变为：已知数列｛a｝中，句=2,a=2一一匚（〃22,〃£N・），设以=17

an~1

（〃£N"）.求证：数列｛〃,｝是等差数列.

证明：Va„=2—^―,.\a„+）=2——.

Qn—Ia?

bz।-bn=r-r

d+L1cin~1

1

1a—1a„—1

2----1n

Qti

••・⑻是首项为"=占=1,

公差为1的等差数列.

考点三等差数列的性质及最值重点保分型考点一一师生共研

［典例引领］

1.(2016•金陵中学检测)在等差数列｛a｝中，既+的=27—a,S表示数列｛4｝的前〃

项和，则Si=_______.

解析：因为国+4=27—a.2,=&+徐，所以3曲=27,所以曲=9,所以Si=?(ai+

c?n)=1l<fc=99.

答案：99

2.已知｛a｝为等差数列，若a+a?+a=5,田+a+a=10,则aig+&o+&i=.

解析：法一：设数列｛&｝的公差为"，则&+a+&=&+64+&2+6d+a+64=5+18"

=10,所以18d=5,故49+瞅+初=a：+12d+a+12d+4+12M10+36d=20.

法二：由等差数列的性质，可知W,4一£,S—4,…，8一$8成等差数列，设此数

列公差为d.

所以5+2d=10,

5

所以d=-

乙

所以<319+的)+&21=$1—$8=5+64=5+15=20.

答案：20

3.等差数列｛&｝中，设S。为其前〃项和，且4>0,S=S»则当〃为多少时，S取得

最大值.

3X2HX102

解：法一：由£=Si,可得3a十七54=11"+—;—d,即d=一大田.

/Lio

„d(4a/f2I49

从而S,=/2+t的-5〃=一/(〃-7)+-<ii,

因为ai>0,所以一亮〈0.

1o

故当〃=7时，S最大.

2

法二：由法一可知，d=

a,20,

要使S,最大，则有一八

1W09

解得6.5＜/7＜7.5,故当〃=7时，S最大.

法三：由$=$”可得2a+134=0,

即（国+6/+（d+7&=O

故4+a=0,又由a＞0,W=Si可知（7^0,

所以会＞0,分＜0,所以当〃=7时，S：最大.

［由题悟法］

1.等差数列的性质

（1）项的性质：在等差数列｛a｝中，&一&=（m一〃）仁心二生=45大〃），其几何意义是

m-n

点（〃，a）,5,a）所在直线的斜率等于等差数列的公差.

（2）和的性质：在等差数列｛&｝中，S为其前〃项和，则

①&〃=〃（国+/）=••,=〃（&+&+［）；

②£”-i=（2/?—1）^

2.求等差数列前〃项和S最值的2种方法

（1）函数法：利用等差数列前〃项和的函数表达式S=a/+加，通过配方或借助图象求

二次函数最值的方法求解.

（2）邻项变号法：

①当向＞0,水0时，满足八的项数m使得S,取得最大值为S或

.a+1W0

&W0,

②当副＜0,漆0时，满足j的项数0使得S,取得最小值为义

&共120

［即时应用］

L（如6.南通中学检测）设S是等差数列｛&｝的前〃项和,琮号,则江——

11a+a”

S”_______2______11a119

解析:工=9a+0=W=1"X77

2

答案：1

2.一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32：

27,则该数列的公差4_____.

解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为SM，等差数列的公差

为〃由已知条件，得

[S?+S*=354,（品=192,

解得

[%：S有=32：27,1^=162.

Iqo——]62

又5飞-5%=6/所以d==5.

oJ

答案：5

3.设等差数列列。｝的前n项和为S”,已知前6项和为36,最后6项的和为180,3=324（/?

>6），求数列｛a｝的项数及加+a】o.

解：由题意知ai+a>H---1■柒=36,①

4+81+&-2~1---1-^-5=180,②

①+②得（a+a0）+（加+&-1）+…+（金+4-5）

=6（句+&）=216,a\+a„=36,又S=~=324,

n乙

.*.18/7=324,A/7=18.

,.•8+a=36,〃=18,/.51+^18=36,

从而国+向0=4+枷=36.

小翱局。目畲窗

・抓基础，多练小题做到眼疾手快

1.若等差数列｛为｝的前5项之和£=25,且,=3,则ai=_______.

解析：由&=・乜25=：什；・5=国=7,所以7=3+2-占2,所以

例=&+3d=7+3X2=13.

答案：13

2.（2016•苏州名校我考）在等差数列｛a｝中，a=0,公差炉0,若&=a+包+…+

描，则/〃的值为________.

9X8

解析：&,=a+a2H--1•