第16讲对数（八大题型思维导图知识梳理课后作业）（人教A版2019）

第16讲对数【人教A版2019】模块一模块一对数的概念1．对数的定义、性质与对数恒等式(2)对数的性质：(3)对数与指数的关系：用图表示为：2．常用对数与自然对数名称定义符号常用对数以10为底的对数叫做常用对数自然对数以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e≈2.71828【题型1对数的概念的理解】【例1】（2425高一上·全国·随堂练习）对数loga+35−a中实数a的取值范围是（

A．−∞,5 B．−3,5 C．−3,−2∪【解题思路】根据对数真数和底数的性质进行求解即可.【解答过程】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数，所以有5−a>0a+3>0故选：C.【变式1.1】（2425高一上·全国·课后作业）有下列说法：①以10为底的对数叫作常用对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以e为底的对数叫作自然对数；④零和负数没有对数.其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据对数的相关概念和性质，一一判断每个选项，可得答案.【解答过程】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确，只有当a>0且a≠1时，指数式ax故选：C.【变式1.2】（2425高一上·贵州贵阳·阶段练习）使式子log(3x−1)(2−x)有意义的x的取值范围是（A．x>2 B．13<x<2 C．13<x<2且x≠【解题思路】根据题意，结合对数式的定义，列出不等式组，即可求解.【解答过程】由式子log(3x−1)(2−x)有意义，则满足3x−1>03x−1≠12−x>0，解得故选：C.【变式1.3】（2425高一上·江苏南通·阶段练习）已知对数式loga+124−a有意义，则aA．−1,4 B．−1,0C．−4,0∪0,1 【解题思路】由对数式的意义列不等式组求解可得.【解答过程】由loga+124−a有意义可知a+1>0a+1≠12所以a的取值范围为−1,0∪故选：B.【题型2指数式与对数式的互化】【例2】（2425高一上·江苏·单元测试）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（

）A．e0=1与ln1=0 B．C．log39=2与912=3【解题思路】结合指数式与对数式互化的知识确定正确答案.【解答过程】根据指数式与对数式互化可知：对于选项A：e0=1等价于对于选项B：8−13对于选项C：log39=2等价于对于选项D：log77=1等价于故选：C.【变式2.1】（2425高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将log30.81=x化成指数式可表示为（A．3x=0.81 B．x0.81=3 C．【解题思路】根据对数式的含义，将对数式转化为指数式.【解答过程】把对数式log30.81=x化成指数式，为故选：A．【变式2.2】（2425高一上·全国·课后作业）将下列指数式化为对数式：(1)12(2)103(3)e2【解题思路】直接利用指数和对数的关系实现指对互化.【解答过程】（1）由12−5=32（2）由103=1000，得（3）由e2=x，得【变式2.3】（2425高一下·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换：(1)34(2)5−(3)log1(4)log2【解题思路】根据指数式与对数式的互化可依次将其转化.【解答过程】（1）根据指数式与对数式的互化，可知34=81可化为（2）根据指数式与对数式的互化，可知5−12（3）根据指数式和对数式的关系，log1327=−3（4）根据指数式和对数式的关系，log218模块二模块二对数的运算1．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有：运算数学表达式自然语言描述积的对数正因数积的对数等于同一底数的各因数的对数的和商的对数两个正数的商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数幂的对数正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂的底数的对数2．对数的换底公式及其推论(2)换底公式的推论：3．对数运算的常用技巧(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.【题型3对数的运算性质的应用】【例3】（2425高三上·湖南邵阳·期中）已知ab≠1,logam=2,logbm=5A．110 B．17 C．710【解题思路】应用对数运算律结合已知计算求解.【解答过程】因为ab≠1,logam=2,则logm则logab故选：D.【变式3.1】（2425高一上·上海·期中）设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（

）A．logaa=1 C．logaMc【解题思路】对于ABC：根据对数的定义和运算性质分析判断即可；对于D：举反例说明即可.【解答过程】因为a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，对于选项A：loga对于选项B：loga对于选项C：loga对于选项D：例如a=M=N=2，则loga此时loga故选：D.【变式3.2】（2425高一上·江苏扬州·阶段练习）若log2m+log4n=2A．3 B．4 C．9 D．16【解题思路】根据对数的运算性质即可求解.【解答过程】由log2m+log故log4m2故选：D.【变式3.3】（2425高一上·全国·课后作业）若a>0且a≠1，b>0，c>0，n、m∈N+，n>1，给出下列等式：①logab2−c2=2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】利用对数的运算性质判断①②③④即可.【解答过程】因为a>0且a≠1，b>0，c>0，n、m∈N+，对于①，2log对于②，loga对于③，loga对于④，−log故正确的个数为2.故选：B.【题型4运用换底公式化简计算】【例4】（2425高一上·甘肃武威·阶段练习）已知lg2=a，lg3=b，则log3018=A．a+2bb−1 B．a+2bb+1 C．a−2bb−1【解题思路】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解.【解答过程】由题意，log30故选：B．【变式4.1】（2425高一上·安徽·阶段练习）已知a>0,b>0且ab≠1，若logax=3,logbx=4A．112 B．17 C．127【解题思路】先根据指数式对数式互化求出ab，再根据换底公式转化logabx=1【解答过程】由logax=3,logbx=4所以ab=x13故选:C.【变式4.2】（2425高二下·天津河东·期末）若2x=6，y=log44A．3 B．log23 C．8 【解题思路】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系及对数换底公式及运算法则计算即得.【解答过程】由2x=6，得x=log所以x+2y=log故选：A.【变式4.3】（2425高一上·山东·阶段练习）已知m>0，n>0，log33m+log3A．−1或0 B．1 C．−1 D．1或0【解题思路】由题设等式，利用对数运算性质化简得4m2=n【解答过程】因为log=log39所以由log3得9m2n=即4m2−nm2−又log2故当4m2=n时，log当m2=n时，综上，log2m−log故选：A.【题型5指、对数方程的求解】【例5】（2425高一上·上海·随堂练习）设方程lgx2−lgx2−3=0的两实根是a和A．1 B．－2C．−103【解题思路】解方程得出lga=3，lg【解答过程】方程lgx2−lgx解得lgx=3或lgx=−1，不妨设lgloga故选：C.【变式5.1】（2425高一上·北京大兴·期末）方程log2x2A．{  1  C．{  2  【解题思路】先根据真数大于零解得x<0或x>0，再将1转化为log22，即可解得【解答过程】由题意，x2>0，解得x<0或由log2x2=1，得log2x2=log故选：D.【变式5.2】（2425高三上·浙江·开学考试）方程log3x=logA．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解题思路】由换底公式变形解对数方程即可.【解答过程】log3x=lnxln所以x=1或x=36，所以方程log3故选：C.【变式5.3】（2425高一·山东枣庄·课后作业）若方程lgx2+lg7+lg5lgx+A．lg7⋅lg5 B．lg35 【解题思路】运用一元二次方程根的求法，结合对数性质可解.【解答过程】lgx2+则lgx+lg7=0,解得x=17或x=1故选：D.【题型6带附加条件的指、对数问题】【例6】（2425高一上·贵州·期中）已知5x=2，5y=3，则5A．223 B．324 C．【解题思路】先利用对数与指数的互化求出x,y，再利用对数的运算法则求解即可.【解答过程】因为5x=2，5y=3，所以所以3x−2y2所以53x−2y故选：A.【变式6.1】（2425高一上·黑龙江·期中）若2x=3，y=log84A．3 B．log34 C．2 【解题思路】根据指数与对数运算法则计算可得结果.【解答过程】由2x=3，得x=log所以x+3y=log故选：C.【变式6.2】（2425高一上·上海·期中）（1）已知lg2=a，lg3=b，试用a、b表示（2）已知3x=6【解题思路】（1）利用换底公式和对数的运算性质可得结果；（2）由指数式和对数式的互化得出x=log32【解答过程】（1）log2（2）因为3x=6y=2，则x=log3所以，2x【变式6.3】（2425高一上·山东淄博·期中）（1）若x12+（2）已知10a=2, 10b【解题思路】（1）根据指数运算即可得到答案；（2）根据对数运算性质和换底公式即可.【解答过程】已知x12+根据完全平方公式(x则x+x−1=8−2=6.再将x+所以x2+2+x−2（2）因为log5而lg12=已知10a=2,10b=3，所以lg又lg5=所以log5【题型7运用换底公式证明恒等式】【例7】（2425高一上·陕西渭南·阶段练习）已知：2x=3y【解题思路】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明.【解答过程】设2x=3则x=log2a,y=所以2x【变式7.1】（2425高一上·全国·课后作业）设xa=yb=zc，其中x，y，z均大于0【解题思路】令xa=yb=zc=k，k>0且k≠1，即可表示出【解答过程】依题意a、b、c均不为0，令xa=yb=则a=logxk，b=因为1a+1即logk所以logkxy=【变式7.2】（2425高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式logaN=b⇔a（2）利用（1）中的换底公式求值：log2（3）利用（1）中的换底公式证明：loga【解题思路】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可；（2）利用换底公式证明即可；（3）利用换底公式证明即可.【解答过程】解答：（1）证明：设ab=N，则logm又b=logaN（2）解：log2（3）证明：loga所以loga【变式7.3】（2425高一下·上海·课后作业）已知在△ABC中，∠C=90°，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：【解题思路】利用直角三角形的勾股定理、对数的运算性质以及对数的运算法则可以证明等式成立.【解答过程】证明：在△ABC中，因为∠C=90°，所以因为log(b+c)a+log(c−b)=loga[(c−b)(c+b)]=所以log(b+c)模块三模块三对数的实际应用1．对数的实际应用在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解.对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；(2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.【题型8对数的实际应用】【例8】（2425高一上·贵州六盘水·期末）星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值m1，m2和它们对应的亮度E1，E2满足关系式mA．2等星的亮度是7等星亮度的100倍B．7等星的亮度是2等星亮度的100倍C．2等星的亮度是7等星亮度的10倍D．7等星的亮度是2等星亮度的10倍【解题思路】设2等星的亮度是x，7等星亮度是y，由题中所给信息结合对数运算性质可得答案.【解答过程】设2等星的亮度是x，7等星亮度是y，则7−2=−2.5lg故选：A.【变式8.1】（2425高一上·湖南·阶段练习）8月15日是全国生态日，2024年全国生态日的主题是加快经济社会发展全面绿色转型.2005年8月15日，习近平同志在浙江安吉首次提出“绿水青山就是金山银山”，这一科学论断是习近平生态文明思想的核心理念，已经成为全党全社会的共识，在祖国大地上生根、开花.党的十八大以来，我国经济发展与生态环境保护更加协调，绿色发展空间进一步拓展.在生态环境质量明显好转的同时，经济总量从2012年53.9万亿元升至2023年126万亿元，则我国经济总量从2012年至2023年的年平均增长率约为（

）（参考数据，lg2.338≈0.369，lg2.489≈0.396，100.034A．6% B．7% C．8% D．9%【解题思路】设年平均增长率为r，列式运算得解.【解答过程】设我国经济总量从2012年至2023年的年平均增长率为r，则由题意53.9(1+r)即(1+r)11≈2.338，即∴r≈10故选：C.【变式8.2】（2425高一上·云南昆明·阶段练习）声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级L来表示声强强度大小，规定声强级L=10lgII0（单位：分贝），其中I0为标准声强.若声强I1是声强I2的150倍，则声强A．14 B．21 C．22 D．23【解题思路】求出声强对应的声强级，再结合对数性质和公式运算即可.【解答过程】设声强I1的声强级为L1，声强I2则L1−L则L1故选：C.【变式8.3】（2425高一上·上海金山·期中）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明⋅《增广贤文》)是勉励人们专心学习的.

假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是1%，那么一年后是1+1%365=1.01365；如果每天的“退步率”都是1%，那么一年后是(1−1%)365=0.99365.

A．33 B．35 C．37 D．39【解题思路】列出方程1.010.99【解答过程】设经过n天后“进步者”是“退步者”的2倍，则1.010.99故n·log21.01所以n≈365故选：B.一、单选题1．（2425高一上·江苏南通·阶段练习）计算22+log2A．7 B．9 C．10 D．20【解题思路】利用指数运算及对数的定义计算得解.【解答过程】22+故选：D.2．（2425高一上·全国·课后作业）若代数式log8x2−2x−3有意义，则实数A．−∞,−1 C．3,+∞ D．【解题思路】由对数的真数大于0列式即可求.【解答过程】由题可得x2−2x−3>0，解得x<−1或故实数x的取值范围为−∞故选：D.3．（2425高一上·安徽蚌埠·阶段练习）若ab=2a>0,a≠1A．loga2=b C．2a=b 【解题思路】利用指数式与对数式的互化直接判断即可.【解答过程】当a>0,a≠1时，由ab=2及对数定义得故选：A.4．（2425高一上·山东菏泽·阶段练习）已知a=lg3,b=lg5，则用a,b表示A．a+2b B．2ab C．3ab D．3b−a【解题思路】根据对数的运算律，可得答案.【解答过程】因为a=lg3,b=lg故选：A.5．（2425高一上·广东佛山·阶段练习）计算：log23⋅logA．2 B．4 C．5 D．6【解题思路】由对数的运算公式及换底公式，计算即可.【解答过程】log2故选：D.6．（2425高一上·江苏南京·阶段练习）若a=log35，5b=6A．1 B．−1 C．2 D．−2【解题思路】指数式化为对数式，利用对数运算法则和换底公式进行求解.【解答过程】由5b故ab−=log故选：A.7．（2425高一上·江苏南通·期末）2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，582秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空.在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度V满足公式：v=wln1+Mm，其中M为火箭推进剂质量，m为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，w为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当M=3m时，v=5.544千米／秒.在保持w不变的情况下，若m=20吨，假设要使v达到8千米/秒，则M大约为（A．98吨 B．108吨 C．118吨 D．128吨【解题思路】根据所给条件先求出w，再由v=8千米/秒列方程求解即可.【解答过程】因为当M=3m时，v=5.544，所以w=5.544由y=wln得ln1+所以1+M解得M=127.78≈128（吨），即M至少约为128吨.故选：D.8．（2425高二上·天津·期中）已知x>0，y>0，lg4x+lg2A．3 B．94 C．4615【解题思路】先运用对数的运算性质化简已知式为2x+y=3，结合所求式的结构，将其化成(2x+1)+y=4，利用常值代换法将所求式凑成积为定值，借助于基本不等式求解即得.【解答过程】由lg4x+即2x+y=3,则(2x+1)+y=4则1=1当且仅当y2x+1由y2x+1=4(2x+1)即当x=16,y=83故选：B.二、多选题9．（2425高一上·四川南充·阶段练习）下列指数式与对数式互化正确的一组是（

）A．e0=1与ln1=0 B．C．log39=2与912=3【解题思路】利用指数式与对数式互化关系，逐项确定得答案.【解答过程】对于A，由e0=1，得对于B，由8−13对于C，由log39=2，得对于D，由log77=1，得故选：ABD.10．（2425高一上·全国·课后作业）下列命题正确的是（

）A．若log2x=3B．若logx1C．若xlog3D．若loga2【解题思路】对于ABC：根据对数的定义结合指数幂运算求解；对于D：举反例即可.【解答过程】对于选项A：若log2x=3，所有对于选项B：若logx116所以x=2对于选项C：因为log319可得x2=4，即对于选项D：例如a=2,b=−2，则a2=b符合题意，但a=−b，故D错误；故选：AB.11．（2425高一上·河北保定·阶段练习）若实数x>0，y>0，a>0，且a≠1，m≠0，n≠0，则下列各式中，恒成立的是（

）A．ax+y=aC．logamx【解题思路】根据指数幂的运算判断A；根据对数的运算性质判断BCD.【解答过程】对于A，ax+y对于B，loga对于C，loga对于D，lgx故选：BD.三、填空题12．（2425高一上·江苏无锡·阶段练习）已知2a=3，log45=b，则8【解题思路】利用指数式与对数式的互化关系，结合指数运算计算得解.【解答过程】由log45=b，得4b所以8a−2b故答案为：2712513．（2425高一上·安徽亳州·期末）计算lg2−lg1【解题思路】根据对数的运算法则即可计算．【解答过程】原式=lg故答案为：6．14．（2425高一上·河北保定·阶段练习）一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21个月（假设没有捕杀与其他损耗）、那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要23年（lg2≈0.3【解题思路】设经过x年后的一万只兔子有y只,依题可得y=104⋅【解答过程】设经过x年后的一万只兔子有y只，根据倍增期为21个月，可得y=10令y=108，则24x则x=7故答案为：23.四、