第07讲中位线位似图形图形与坐标

思维导图第07讲中位线位似图形图形与坐标思维导图一、三角形的中位线定义连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。二、三角形的中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。这个定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：一是位置关系，可以用来证明两直线平行；二是数量关系，可以用来证明线段的倍分关系。三、三角形的中位线的应用1.利用中位线的位置关系，可以证明相关线段平行。2.利用中位线的数量关系，可以证明相关线段之间的倍分关系。3.中位线具有平移角、倍分转化线段的功能，因此当遇到中点或中线时，应考虑构造中位线。四、三角形中位线与中线的区别三角形的中线是连结一顶点和它的对边中点的线段，而三角形的中位线则是连结两边中点的线段。五、三角形的重心三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心。重心与一边中点的连线的长是对应中线长的三分之一。经过三角形顶点和重心的直线必然平分这个顶点的对边。一、位似图形的概念如果两个相似图形的对应顶点的连线相交于一点，那么这样的相似叫做位似，这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。二、位似图形的性质1.位似图形一定相似，位似比等于相似比。2.位似图形对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。3.位似图形对应线段平行或者在一条直线上，对应角相等，对应边的比相等。三、位似图形的画法画位似图形的一般步骤：1.确定位似中心。2.分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点。3.根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点。4.顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形。四、位似与相似的联系和区别1.联系：位似图形是特殊的相似图形，位似图形一定相似。2.区别：相似图形不一定是位似图形，只有当相似图形的对应点连线交于同一点（该点是位似中心）时，才是位似图形。一、用坐标确定位置1.平面直角坐标系：选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系。根据具体问题确定单位长度，在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和对应地点的名称。建立平面直角坐标系的方法不是唯一的，应本着方便、简单、美观的原则。2.方位角及距离表示法：确定平面内一个点的位置，可以选择一个参照点，然后用方位角和距离来表示点的位置。这种表示物体位置的方法称为方位角距离定位法。用方位角和距离表示平面内点的位置时，必须有两个数据，缺一不可，即该点相对于参照点的方位角，以及该点与参照点之间的实际距离。二、图形的变换与坐标1.平移变换与坐标变化：在同一平面直角坐标系中，图形的平移一般都沿着x轴方向或y轴方向进行。平移前后图形对应顶点的坐标的变化规律为：若沿x轴向右（或向左）平移，则对应顶点的纵坐标不变，而横坐标平移几个单位就增加（或减少）几个单位；若沿y轴向上（或向下）平移，则对应顶点的横坐标不变，而纵坐标平移几个单位就增加（或减少）几个单位。2.轴对称变换与坐标变化：在同一平面直角坐标系中，图形一般以x轴或y轴为对称轴进行轴对称变换。变换前后图形对应顶点的坐标的变化规律为：关于x轴对称的两个图形，对应顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个图形，对应顶点的横坐标互为相反数，纵坐标相等。教材习题01∴与互相平分．教材习题02三角形的重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心．三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．下面是小亮证明此性质的过程：证明：连接．性质应用：教材习题03教材习题04(1)根据以上信息，请在示意图中画出欣欣建立的平面直角坐标系．(3)若欣欣在标点（图中已标注）“壶关秧歌剧团”的位置时，横、纵坐标看反了，则正确的点应在第______象限．（1）解：如图所示，（2）解：如图所示，横、纵坐标看反了，故答案为：四．教材习题05教材习题06解：如图，考点一、位似图形1．方框中的两个图形不是位似图形的是（

）【答案】D【分析】本题考查了位似变换，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相较于一点．【详解】解：对应点的连线相较于一点的两个相似多边形叫位似图形．据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；而D的对应点的连线不能相较于一点，故不是位似图形，故选：D．2．下列图形变化属于位似的是（

）【答案】A【分析】本题考查的是位似图形，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可．【详解】解：选项A的图形属于位似图形，符合题意；选项B、C、D的图形都不属于位似图形，不符合题意；故选：A．A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解决此题的关键．根据位似与相似的关系得出相似比，再由相似三角形的性质解答即可．故选：．考点二、位似中心1．如图的方格中，点，，，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（

）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】B【分析】本题考查了找位似中心，连接、并延长，则交点即为它们的位似中心，结合图形即可得解．【详解】解：如图：连接、并延长，则交点即为它们的位似中心，∴它们的位似中心为，故选：B．【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，分两种情况：一种是当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.（1）当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是EC与AG的交点.（2）A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是AE与CG的交点【点睛】本题主要考查位似图形，涉及了待定系数法求函数解析，求位似中心，正确分情况讨论是解题的关键.(1)在图中画出位似中心，（保留作图痕迹）【答案】(1)图见解析【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．（1）根据位似图形对应点连线交于一点，这个交点就是位似中心，则连接，，交于点即为所求；（2）利用位似比得出对应边的比，由此即可得．【详解】（1）解：如图，位似中心即为所求．考点三、用坐标确定位置【答案】C【详解】解：根据小刚家的位置坐标建立平面直角坐标系，故选：C．【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据崇文门站和北海北站的坐标可确定原点位置和坐标轴位置，据此建立坐标系即可得到答案．(1)分别写出路桥区政府，街心公园的坐标；(2)连接，平移线段，使点和点重合，在图2中画出平移后的线段，并写出点的坐标．【分析】本题考查了坐标与图形，平移等知识，解题的关键是.（1）直接利用点A坐标得出原点位置，进而得出各点的坐标．（2）利用平移的性质描出点D，然后连接即可．（2）解：如图，点D即为所求，考点四、三角形中位线求解A． B． C． D．【答案】B【详解】∵、分别为、上的中点故选：B．【答案】故答案为：．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，三角形中位线定理，勾股定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．【详解】（1）证明：点、分别是、的中点，考点五、画位似图形【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查作图轴对称变换、位似变换等知识，解题的关键是：（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再顺次连接各对应点即可；（3）解：如图，点P即为所求，【答案】(1)作图见解析(3)作图见解析【分析】本题主要考查了作位似图形，旋转中心的确定，相似三角形的性质和判定，【答案】(1)见解析(3)见解析【分析】本题考查平移作图、由平移方式确定点的坐标、在坐标系中画位似图形，正确作出图形是解答的关键．（1）根据平移性质得到对应点的位置，再顺次连接即可得到平移后的图形；（2）根据点的平移方式“左减右加，上加下减”确定点的坐标即可；（3）根据位似图形的性质得到对应点的位置，再顺次连接即可．考点六、三角形中位线的证明(1)老师说小明的剪拼是正确的，请你证明老师的说法；(2)把图2的三角形剪两刀，剪拼成一个矩形，并在答题纸相应位置画出剪拼示意图．【答案】(1)证明见解析(2)见解析【详解】（1）证明：∵点D，E为，的中点，（2）∵点，分别为，的中点2．【知识回顾】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．【答案】（1）见解析；②见解析【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的判定是解题的关键．【详解】（1）证明：如图②，连接、，，分别是，的中点，故答案为：②．(2)如图2，点G为中点，点F为中点，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明；【详解】（1）解：∵由旋转可得，∵旋转∵点是的中点∴在过点且垂直于的直线上运动，【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．知识导图记忆A． B． C． D．【答案】C故选：C．A．南偏东，60km B．南偏东，60kmC．北偏西，60km D．北偏东，60km【答案】A【分析】本题考查了用方向与距离描述物体的位置，位置表示是先说方向再说距离，以南或北的方向作为方向角的始边；据此即可表示出处相对于处的位置．即处相对于处的位置为南偏东，60km；故选：A．A．3 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本题考查了三角形的中位线，熟知三角形的中位线定理是解题的关键．根据三角形的中位线等于第三边的一半解答即可．故选：B．【答案】D故选：D．A．1.5 B．2.5 C．3 D．4【答案】B本题考查了等腰三角形的三线合一性质，三角形中位线定理，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．∵为的中点，故选：B．【答案】50【分析】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的周长比等于相似比（位似比）可直接进行求解．故答案为．【分析】本题主要考查了在实际问题中用坐标表示位置，根据点A和点B的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立坐标系即可得到答案．8．如果两个相似三角形的对应边上的高之比为，那么它们的对应中线之比为．【答案】【分析】本题考查的知识点是相似三角形的性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质．根据相似三角形的性质即可得解．【详解】解：根据相似三角形的性质可得：两个相似三角形的对应边上的高之比它们的对应中线之比，它们的对应中线之比是．故答案为：．【答案】30【分析】本题考查的是三角形中位线定理．根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：∵点D、E分别是和的中点，故答案为：30．【详解】解：连接，交于点．【答案】见解析【详解】证明：方法一：、分别是、的中点，方法二：、分别是、的中点，【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案．（2）根据位似的性质作图，即可得出答案．本题考查作图位似变换、作图旋转变换，熟练掌握位似的性质、旋转的性质是解答本题的关键．(2)在（1）的条件下，分别写出点、、的坐标．【答案】(1)见解析【分析】本题考查作图——位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．（1）根据位似的性质画图即可；（2）由图可得答案．【答案】(1)；【分析】此题主要考