2.1直线的倾斜角与斜率-1

【2.1直线的倾斜角与斜率】总览总览题型梳理【知识点总览】1．直线的倾斜角【知识点的认识】1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．2．范围：[0，π）（特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°）3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度．4．斜率与倾斜角的区别和联系（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．（2）联系：①当a≠π2时，k＝tanα；当α②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，π2）时，k＞0且tanα随α的增大而增大，当α∈（π2，π）时，k＜0且tanα随2．直线的斜率【知识点的认识】1．定义：当直线倾斜角α≠π2时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝tan2．斜率的求法（1）定义：k＝tanα（α≠π（2）斜率公式：k=y3．斜率与倾斜角的区别和联系（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．（2）联系：①当α≠π2时，k＝tanα；当α②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，π2）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（π2，π）时，k＜0且随3．直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【知识点的认识】直线的倾斜角、斜率对直线的图象的影响：（1）直线在y轴上的截距大于0时：若倾斜角为锐角，则斜率大于0，这时直线的图象过第一二三象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大；若倾斜角为钝角，则斜率小于0，这时直线的图象过第一二四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大；（2）直线在y轴上的截距小于0时：若倾斜角为锐角，则斜率大于0，这时直线的图象过第一三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大；若倾斜角为钝角，则斜率小于0，这时直线的图象过第二三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大；（3）当直线的倾斜角为直角时，斜率不存在，直线的图线与x轴垂直；（4）当直线的倾斜角为0度时，斜率为0，直线的图线与x轴平行或重合．4．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【知识点的认识】两直线平行与倾斜角、斜率的关系：①如果两条直线的斜率存在，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则有：两直线平行⇔倾斜角α1＝α2⇔斜率k1＝k2②如果两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线的倾斜角都为90°，这两条直线平行．5．两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【知识点的认识】在同一个平面中，直线的关系可能是相交、平行、重合；这个知识点中我们探讨的是相交直线的一个特例，直线垂直．顾名思义，直线垂直就是两条直线的夹角为90°．两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系：①当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，这两条直线互相垂直；②当两条直线的斜率都存在时，设斜率分别为k1，k2，若两条直线互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，若两条直线的斜率互为负倒数，则它们互相垂直．l1⊥l2⇔k2=−1k1⇔k1•题型题型分类知识讲解与常考题型【题型1：直线倾斜角与斜率的关系】例题精选例题精选【例题1】（2425高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（

）【答案】A【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可.故选：A.A． B． C． D．【答案】C【分析】由倾斜角与斜率关系可得答案.故选：C.【答案】C【分析】利用斜率的定义得到直线倾斜角的正切值的范围，再利用正切函数的性质即可得解.故选：C.相似练习相似练习【答案】B【分析】设直线的倾斜角为，根据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的取值范围计算可得.故选：B.A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用倾斜角与斜率的关系，利用赋值法可得结论.【详解】因为直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，故选：D.【答案】【分析】根据两点求直线的斜率，再由斜率求倾斜角.故答案为：【题型2：直线的斜率】例题精选例题精选A．3 B． C．2 D．1【答案】B【分析】根据斜率公式结合已知斜率可求实数.故选：B．A．2 B．1 C．3 D．4【答案】B【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解即可.故选：B.A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两点求解斜率，即可根据二倍角公式求解.故直线的斜率为，故选：A相似练习相似练习【答案】D【分析】根据两点求概率即可求参；故选：D.【答案】或故答案为：或.【答案】/【分析】根据两点求得直线的斜率，根据二倍角的正切公式求得直线的斜率.故直线的斜率为.故答案为：.【题型3：斜率的范围问题】例题精选例题精选【答案】A如图所示：故选：A【答案】D【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围．故选：D．【答案】A故选：A.相似练习相似练习【答案】C【分析】根据直线斜率的取值范围求倾斜角的范围.故选：C.【答案】C故选：C.【答案】A故直线的倾斜角为：；设直线的倾斜角为，故选：A【题型4：两直线平行与斜率关系】例题精选例题精选A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得.故选：CA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据两直线平行的条件及充分条件、必要条件判断即可.故选：CA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A故选：A.相似练习相似练习A．3 B．3 C．3或3 D．1或1【答案】B【分析】由直线平行的判定，列出等式求解并验证即可；故选：BA．或0 B． C．或2 D．2【答案】D故选：DA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据平行得到直线方程的系数关系，从而可求参数的值，故可得两者之间的条件关系.此时，故选：C【题型5：两直线垂直与斜率的关系】例题精选例题精选A． B． C． D．【答案】B故选：B【答案】C故选：C.A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率，进而求出倾斜角即可计算作答.故选：C.相似练习相似练习【答案】或【分析】根据直线垂直的系数要求求解即可.故答案为：或.【答案】【分析】利用两直线的垂直条件求解参数，再计算代数式即可.故答案为：(1)试判断直线和直线的位置关系；【题型6：平行与垂直在几何中的应用已经倾斜角斜率的综合题型】例题精选例题精选【例题1】多选题（2324高二上·福建福州·阶段练习）下列说法正确的是（）【答案】AD【分析】由斜率与倾斜角的关系可得A正确；由两直线斜率关系可得B错误；由斜率的定义和两直线垂直斜率关系可得C错误；由斜率与倾斜角关系可得D正确；对于B，直线与斜率相等时，或与重合，故B错误；故选：AD.【例题2】多选题（2425高二上·四川成都·期中）下列说法正确的是（

）【答案】BCD【分析】利用两直线垂直求出参数的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用两直线平行求出参数的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；求出直线斜率的取值范围，利用倾斜角与斜率的关系可判断C选项；数形结合求出直线斜率的取值范围，可判断D选项.对于D选项，如下图所示：设线段交轴于点，直线交线段于点，当点在从点往点（不包括点）运动时，此时，直线的倾斜角为锐角，当点从点（不包括点）往点运动时，此时，直线的倾斜角为钝角，故选：BCD.【例题3】多选题（2425高二上·河南南阳·期中）以下四个命题为真命题的是（

）【答案】BCD【分析】对于A，由点的坐标写出向量，根据题意可得向量共线，建立方程，可得答案；对于B，由直线方程可得直线斜率，根据余弦函数的值域，利用正切函数的性质，可得答案；对于C，由题意作图，利用两点斜率公式求得边界直线斜率，可得答案；对于D，由直线平行建立方程，验根，可得答案.故选：BCD.相似练习相似练习【相似题1】多选题（2425高二上·河北衡水·期中）下列叙述正确的是（

）B．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或【答案】ACD【分析】根据倾斜角和斜率的定义逐一判断即可求解.对于选项，由直线斜率的定义可知选项正确；对于选项