沪科版第06讲比例线段（知识清单7大题型好题必刷）

第06讲比例线段（知识清单+7大题型+好题必刷）题型梳理题型梳理题型一成比例线段题型二比例的性质题型三比例线段题型四由平行判断成比例的线段题型五由平行截线求相关线段的长或比值题型六分割题型七相似多边形的性质知识清单知识清单知识点1．比例的性质（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．（2）常用的性质有：①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc．②合比性质．若＝，则＝．③分比性质．若＝，则＝．④合分比性质．若＝，则＝．⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝．知识点2．比例线段（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．知识点3．分割（1）分割的定义：如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB分割，点C叫做线段AB的分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的分割点有两个．（2）三角形：三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为比值．三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为比：．（3）矩形：矩形的宽与长之比确切值为．知识点4．平行线分线段成比例（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．知识点5．相似图形（1）相似图形我们把形状相同的图形称为相似图形．（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．（3）相似三角形对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．题型方法题型方法【题型一】成比例线段【例1】（2425九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（

）【答案】A【知识点】成比例线段【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段的定义逐项分析即可得解．故选：A．【举一反三】【答案】A【知识点】成比例线段根据比例中项的定义解答即可．【详解】解：∵b是a，c的比例中项，故选：A．【答案】【知识点】成比例线段【详解】解：设两地的实际距离是，故答案为：．3．（2425九年级上·安徽六安·期中）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题．【知识点】成比例线段【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质求解即可．【详解】（1）解：∵c是a，b的比例中项线段，∴（负值舍去）即c的长为；【题型二】比例的性质【例2】（2425九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知两个数2、8，则2和8的比例中项为（

）A．2 B． C． D．4【答案】C【知识点】比例的性质【分析】本题考查比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式进行求解即可．【详解】解：设2和8的比例中项为，故选C．【举一反三】A． B． C． D．【答案】B【知识点】成比例线段、比例的性质【分析】本题考查了比例中项，成比例线段，熟练掌握相关知识点是解题的关键．是线段，故选：B．【答案】/2【知识点】比例的性质【分析】此题考查了比例的基本性质，解题的关键是根据基本性质灵活进行变形，从而求解．故答案为：．【答案】33【知识点】比例的性质【分析】本题考查了比例性质，解题的关键是求出比值，从而求出、、的值．【题型三】比例线段A．2400米 B．24000米 C．米 D．米【答案】C【知识点】比例线段【分析】本题考查了比例尺．根据比例尺图上距离实际距离进行计算．淮北到合肥的实际距离是米，故选：C．【举一反三】1．（2324九年级上·安徽合肥·阶段练习）一种精密零件长毫米，把它画在图纸上，图上零件长厘米，这张图纸的比例尺是（

）【答案】D【知识点】比例线段【分析】本题考查比例尺，关键是掌握比例尺的定义．比例尺图上距离与实际距离的比，由此即可计算．这张图纸的比例尺是：．故选：D．【答案】60【知识点】比例线段【分析】本题主要考查了比例尺，根据比例尺及图上距离可得实际距离．故答案为：60．【知识点】比例线段、一次函数与反比例函数的交点问题【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、比例的性质，根据比例式求出点的坐标是解题关键．【题型四】由平行判断成比例的线段【答案】D【知识点】由平行判断成比例的线段【分析】本题考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例对各选项判断作答即可．故选：D．【举一反三】【答案】B【知识点】由平行判断成比例的线段【分析】本题考查了由平行线判断成比例的线段，根据由平行线判断成比例的线段进行解答即可，解题的关键是掌握知识点的应用．故选：．（1）的长为；（2）的值为．【知识点】用勾股定理解三角形、由平行判断成比例的线段【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质．故答案为：．

【答案】【知识点】由平行判断成比例的线段【题型五】由平行截线求相关线段的长或比值A．2 B．3 C． D．【答案】D【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值故选：D．【举一反三】A．4 B．6 C．7 D．8【答案】B【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值故选B．

【答案】【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值故答案为：．【答案】(1)6(2)5【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用所学知识是解题的关键．（1）根据平行线分线段成比例定理求解即可；∴的长为5．【题型六】分割【答案】D【知识点】分割【分析】根据分割点的定义即点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，这个点就是线段的分割点，列式判断即可．本题考查了分割点的定义，熟练掌握分割是解题的关键．故选：D．【举一反三】【答案】C【知识点】分割故选：C．【答案】【知识点】分割故答案为：．【知识点】分割、分式方程的其它实际问题【题型七】相似多边形的性质【答案】B【知识点】相似多边形的性质故选：B．【举一反三】【答案】C【知识点】相似多边形的性质【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键．根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得．故选：C．【答案】【知识点】相似多边形的性质故答案为：．【点睛】本题考查了相似图形，熟练掌握相似图形的性质是解题关键．【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据矩形的性质求线段长、根据正方形的性质求线段长、相似多边形的性质【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质和相似多边形的性质等知识点，能熟记知识点是解此题的关键．好题必刷好题必刷一、单选题1．下列说法正确的是（

）A．菱形都是相似图形 B．各边对应成比例的多边形是相似多边形C．等边三角形都是相似三角形 D．矩形都是相似图形【答案】C【分析】根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断即可．【详解】解：A、菱形的对应边成比例，对应角不一定相等，所以不一定是相似图形，故本选项错误；B、各边对应成比例的多边形对应角不一定相等（如菱形），所以不一定是相似多边形，故本选项错误；C、等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项正确；D、矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了相似图形的定义，熟记定义是解题的关键，要注意从边和角两个方面考虑．A．10 B．15 C．16 D．18【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理，即可求．∴EC=10∴AC=AE+EC=16．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的基础—平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟悉平行线分线段成比例定理．A．2000cm² B．cm²C．4000cm² D．cm²【答案】B求出即可．【详解】解：设一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是Scm2，解得：S＝，故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，注意：相似多边形的面积比等于相似比的平方．【答案】C【详解】设AB为整体1，BC的长为x，则AC=1x，所以B选项正确，不符合题意；所以A、D选项正确，不符合题意；所以C选项错误，符合题意；故选C【点睛】本题考查了分割，掌握分割的定义是解题关键．【答案】D故选：D．【答案】C【分析】根据平行线的性质逐项判断即可．故选：C．【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟悉平行线的性质．【答案】B∴A＜B＜C．故选：B．【点睛】本题考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x，y，z的值进而求出是解题的关键．A．甲、乙不相似 B．甲、丁不相似 C．丙、乙相似 D．丙、丁相似【答案】A【分析】根据矩形的性质以及已知条件AP：PC=AD：AB=4：3，求得结果，采用排除法，得出正确答案．【详解】如图，∵AP：PC=AD：AB=4：3，AD∥BC，∴甲与丁相似，故选项B错误，AM=EP，∴甲与丙一定不相似，∴丙和丁不相似，故选项D错误，∴甲与乙一定不相似，故选项A正确，无法确定丙、乙是否相似，故选项C错误，故选A．【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．9．如图，已知AB∥CD∥EF，AC＝6，CE＝2，BD＝4，则DF的值为（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：∵直线AB∥CD∥EF，AC=6，CE=2，BD=4，故选：B．【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为（

）

【答案】C【分析】过点F作FH⊥AC于H，则△AFH∽△AEC，设FH为x，由已知条件可证明△CHF是等腰直角三角形，用x分别表示出FH、CH，利用FH=CH列方程即可求出x的值，利用DF=CDCF即可求解．【详解】如图，过点F作FH⊥AC于H．

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=BC=4，∵CD⊥AB，∵FH∥EC，∵EC=EB=2，∴设FH=，则AH=，CH=4，∵∠FCH=45°∴CH=FH故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是做垂直，构造相似三角形．二、填空题11．勾股定理与分割是几何中的双宝，前者好比，后者堪称珠玉，生活中到处可见分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于分割，已知AB=10cm，AC＞BC，那么AC的长约为cm（结果精确到0.1cm）．【答案】6.2【分析】分割又称率，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1：0.618或1.618：1，即长段为全段的0.618，0.618被公认为最具有审美意义的比例数字．上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为分割．【详解】由题意知AC:AB=BC:AC，∴AC:AB≈0.618，∴AC=0.618×10cm≈6.2(结果精确到0.1cm)故答案为6.2.【点睛】本题考查分割，解题关键是掌握分割定理.【分析】根据分割的定义进行计算即可解答．【详解】解：∵点P是AB的分割点（AP＞BP），线段AB的长为6cm，【点睛】本题考查了分割，熟练掌握分割的定义是解题的关键．【答案】【分析】根据比例性质可得7b=3（3a+5b），8b=9a,可得.所以，8b=9a,故答案为.【点睛】本题考核知识点：比例性质.解题关键点：熟记比例性质.14．已知点P在线段AB上，且AP：PB=2：5，则AB：PB=，AP：AB=．【答案】7：5；2：7．【分析】根据直接求解即可．【详解】解：由题意AP：PB=2：5，AB：PB=（AP+PB）：PB=（2+5）：5=7：5；AP：AB=AP：（AP+PB）=2：（2+5）=2：7．

故答案为7：5；2：7．【点睛】本题考查比例的合比性质和反比性质，解题关键是能够根据已知条件得到线段之间的关系．三、解答题【答案】【详解】解：已知a，b，c，d是成比例线段，16．已知C、D是线段AB上的点，CD＝(﹣2)AB，AC＝BD，则C、D是分割点吗？为什么？【答案】C、D是分割点.【分析】根据题意求出AC与AB的关系，计算出AD与AB的关系，根据比值进行判断即可．【详解】解：C、D是分割点，∵AC+CD+BD＝AB，CD＝(﹣2)AB，AC＝BD，∴D是AB的分割点，同理C也是AB的分割点．【点睛】本题考查分割，关键是掌握分割的概念和比.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】(1)根据a与b的比值，设a=2k，b=3k，再将a，b的值代入代数式化简可求解.(2)由(1)中的a=2k，b=3k，分别代入等式的左右两边，即可