《计算机控制技术》课件-项目三 差分方程与Z变换

3.1差分方程差分的定义差分方程的概念线性常系数差分方程的迭代求解010203差分的定义连续函数

，采样后为简写一阶向前差分：二阶向前差分：n阶向前差分：一阶向后差分：二阶向后差分：n阶向后差分：时域中描述用微分方程在平衡点附近用线性常系数差分方程来描述差分方程差分的定义差分方程的概念线性常系数差分方程的迭代求解010203差分方程的概念差分方程是确定时间序列的方程

连续系统微分用差分代替一般离散系统的差分方程：代替代替n:差分方程的阶次m:输入阶次向前差分向后差分写出对应时域表达式差分方程差分的定义差分方程的概念线性常系数差分方程的迭代求解010203线性常系数差分方程的迭代求解例题

已知差分方程试求解：采用递推迭代法，有：通常C（k）没有闭合形式的解。差分方程的解差分方程的解也分为通解与特解。通解是与方程初始状态有关的解。特解与外部输入有关，它描述系统在外部输入作用下的强迫运动。线性常系数差分方程的迭代求解例题

已知差分方程试求解：采用matlab程序求解：123456n=10;%定义计算的点数c(1:n)=0;r(1:n)=1;k(1)=0；%定义输入输出和点数的初值fori=2:nc(i)=r(i)+0.5*c(i-1);k(i)=k(i-1)+1;endplot(k,c,′k:o′)%绘输出响应图,每一点上用o表示解序列为：k=0，1，…，9时，c=0，1.0000，1.5000，

1.7500，1.8750，

1.9375，1.9688，

1.9844，1.9922，

1.9961，……差分方程的解序列表示说明：另一个求解方法是利用z变换求解。3.2Z变换的定义Z变换的定义采样信号采样信号的z变换注意：z变换中，z-1代表信号滞后一个采样周期，称为单位延迟因子。时间序列的强度时间序列出现的时刻时域S域Z域1.Z变换的定义Z变换的定义z的有理分式：z-1的有理分式:零、极点形式：2.采样脉冲序列进行z变换的写法3.实际应用中z变换的表现形式Z变换所表示的无穷级数是收敛的，并可写成闭和形式。Z变换的定义4.Z变换的典型应用案例工程师利用Z变换，可以把传感器采集的离散的采样信号转化为数学模型，进而分析汽车控制系统的稳定性、响应速度等性能指标。01自动驾驶对接收端的离散信号进行Z变换，可以分析信号的频谱特性，判断哪些频率成分受到了干扰，然后采取相应的滤波等措施来恢复信号。02数字通信对图像进行存储、传输和处理时，把图像看作是由一个个像素点组成的离散信号，利用Z变换可以对图像数据进行压缩和特征提取03数字图像处理3.3Z变换的基本定理——线性定理Z变换的基本定理——线性定理z变换的线性定理拉氏变换的线性定理如果那么如果那么Z变换的基本定理——线性定理z变换线性定理的典型应用场景在数字音频处理系统中，想要调整音频的效果，让低音更醇厚、高音更清脆时，就可以对这两个信号进行线性组合01高低音信号组合调音对机器人水平位置和垂直位置两个信号进行线性组合后再Z变换，可以让机器人准确地沿着预定轨迹运动，完成各种复杂的任务。02机器人轨迹控制设置合适的k1和k2，对电压和电流信号进行线性组合并计算其Z变换，能更清晰地分析电网的运行状况，及时发现潜在问题，保障电力系统稳定运行。03电网运行状况分析3.4Z变换的基本定理——时移定理Z变换的基本定理——时移定理右位移（延迟）定理左位移（超前）定理f(k-n)相对时间起点延迟n个采样周期F(z)经过一个z-n的纯滞后环节，时间特性向后移动n步表示f(k+n)相对时间起点超前n个采样周期F(z)经过一个zn的纯超前环节，时间特性向左移动n步如果

拉氏变换后得z变换的时移定理拉式变换的延迟定理f(t)延迟τ时间得f(t-τ)Z变换的基本定理——时移定理z变换时移定理的典型应用场景数字通信系统中，信号在传输过程中经常会遇到延迟。z变换的时移定理帮助工程师们在接收端对延迟后的信号进行处理，还原出原始信号的特征。01数字通信系统接收端补偿传输延迟假设每隔T时间记录一次车辆的速度，想要预测车辆未来nT时间的行驶状态，就可以利用左位移定理计算出延迟后的z变换，交通工程师就能提前了解车辆的行驶趋势，做好交通流量调控等工作02智能交通的车辆的行驶趋势分析工业自动化生产线中，有很多传感器每隔T时间采集数据，当生产工艺需要提前对未来几个采样周期的温度数据进行处理时，可用左位移定理，帮助工程师提前发现设备可能出现的过热等问题，及时调整生产参数，保证生产的顺利进行03工业自动化生产线中故障预警3.5Z变换的基本定理——终值定理Z变换的基本定理——终值定理sF(s)的全部极点除坐标原点外应全部分部在s平面的左半平面假定函数F(Z)全部极点均在z平面的单位圆内或最多有一个极点在z=1处，则：z变换的终值定理拉式变换的终值定理如果那么已知：Z变换的基本定理——终值定理z变换终值定理的应用场景智能家居的室内温度调控系统中，温度传感器每隔一段时间采集一次室内温度，这些温度数据构成离散信号

。经过数据处理和分析得到这个温度信号的Z变换，通过z变换的终值定理，可以计算出经过很长时间后，室内温度最终会稳定在什么值。01温度预测金融领域的股票价格分析中，把某只股票在每个交易日的收盘价看作离散信号

。经过对历史数据的分析和模型计算，得到股票价格信号的Z变换

。通过z变换的终值定理，可以计算这只股票的价格会稳定在什么水平。02股票价格分析在工业自动化生产线的产品质量监测中，每隔一定时间检测生产线上产品的某项质量指标，这些指标数据构成离散信号

。经过对质量数据的处理，得到该质量信号的Z变换

。通过z变换的终值定理，可以计算出随着生产过程持续进行，产品质量指标最终会稳定在什么数值。03产品质量分析3.6求Z变换的方法求Z变换的方法根据定义(级数求和)线性定理；时移定理；复位移定理；初值定理；终值定理根据z变换定理求Z变换的方法已知F(s)的z变换L反变换

z变换采样

利用s域中的部分分式展开A(s)=0无重根情况A(s)=0有重根情况部分分式展开求Z变换的方法查表法

部分分式查表求和

部分分式查表求和F(s)f(t)F(z)常用的几个Z变换和拉氏变换公式求Z变换的方法应用场景分析工程师们利用求Z变换的方法，对接收端的离散信号进行处理。通过部分分式法分解复杂信号函数，结合Z变换定理分析信号特性，从而设计出更高效的信号解调算法，提高通信质量，保障数据的快速、准确传输。01处理数据通信中的干扰语音信号是离散的，而且包含了很多复杂的频率成分。通过求Z变换，可以把语音信号从时域转换到复频域进行分析。利用线性定理和部分分式法等方法，提取语音信号的关键特征，为后续的语音识别模型训练提供有力支持，02处理语音识别系统中离散的图像、语音数据通过查表法快速求出多种传感器的信号形式的Z变换，再结合Z变换定理对不同传感器信号进行综合处理，实现对家居设备的智能调控。03多种传感器的智能控制3.7求Z反变换的方法求Z反变换的方法查表法F(s)f(t)F(z)常用的几个Z变换和拉氏变换公式如已知z变换函数F(z)，可依F(z)直接从给定的表格中求得它的原函数f*(t)。求Z反变换的方法部分分式法

部分分式

查表求和

查表求Z反变换的方法幂级数展开法长除法求Z反变换的方法应用场景分析已知机械臂在某个运动规划下的位置信号的Z变换F(z)。运用部分分式法，将F(z)分解为多个简单分式之和，通过查表法找到每个简单分式对应的原函数fi(kT)，再将这些原函数相加得到总的原函数f(kT)，就是机械臂在各个采样时刻的位置信息，工程师就能规划出机械臂的精确运动轨迹。01机器人运动轨迹规划电力系统出现故障时，这些电气量的变化规律会通过Z变换反映在F(z)函数中。采用幂级数展开法将F(z)展开。从展开式的系数f(kT)中，可以获取到故障时刻前后电流在各个采样时刻的具体数值变化。结