四川省眉山市仁寿第一中学校北校区2024-2025学年高二下学期6月期末数学试卷（含答案）

2026届高二下期期末考试数学试题本试卷满分150分,考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．1．已知等差数列满足,则等于A． B． C． D．2．记为等比数列的前项和．若,,则A．7 B．8 C．9 D．103．已知函数（是自然对数的底数）在区间上单调递增,则的最小值为A． B．e C． D．4．现有3名同学站成一排,再将甲、乙2名同学加入排列,保持原来3名同学顺序不变,不同的方法共有A．12种 B．20种 C．6种 D．8种5．设数列的前项和为,若,且,则A． B． C． D．6．已知函数（是自然对数的底数）．若,则实数的取值范围是A． B． C． D．7．已知函数（是自然对数的底数）与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点,则实数的取值范围为A． B． C． D．8．记数列的前项和为,若,则的值不可能为A．96 B．98 C．100 D．102二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分．9．已知无穷等差数列的前项和为,且,则A．在数列中,最大 B．在数列中,最大C． D．当时,10．下列求导结果正确的是A． B．C． D．11．设函数,则A．当时,有三个零点B．当时,是的极大值点C．存在,使得为曲线的对称轴D．存在,使得点为曲线的对称中心三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分．12．若,则________．13．记为数列的前项和,若,则________．14．在风水学中,单数被视为阳数,象征着积极向上和吉祥,而双数被视为阴数,寓意不佳．在实际应用中,家庭中常见的楼梯台数通常是9级,而公共建筑中则多为11级．今李白在教学楼一二楼之间的楼梯（共11个台阶）上行走,他每次迈步有两种方式：每步登上1个台阶或2个台阶．那么李白从楼梯底部登上第11个台阶的迈步方法有______种．四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数在时取得极大值4．（1）求实数的值；（2）若存在使得,求实数的取值范围．16．（15分）记,其中,数列满足．（1）证明：数列是等差数列,并求;（2）求数列的前项和．17．（15分）已知数列的前项和为,其中为常数,且．（1）求的值,并求；（2）,数列的前项和为,若,都有恒成立,求实数的最小值．18．（17分）已知函数．（1）当时,求曲线在处的切线方程；（2）若,求的值；（3）设为整数,且对于任意正整数,,求的最小值．19．（17分）已知函数．（1）当时,求函数的最小值；（2）试讨论函数的单调性；（3）当时,不等式恒成立,求整数的最大值．

2026届高二下期期末考试数学参考答案一、选择题：（每小题5分,共40分）1．B; 2．A; 3．C; 4．B; 5．C; 6．C; 7．A; 8．D．二、选择题：（每小题6分,共18分）9．AD; 10．ACD; 11．AD．三、填空题：（每小题5分,共15分）12．3或8; 13．; 14．144．1．解：因为,解得.2．解：∵为等比数列的前项和,,∴,,成等比数列∴,,∴,∴.3．解：依题可知,在上恒成立,显然,所以,设,所以,所以在上单调递增,,故,即,即的最小值为．4．解：原来名同学站成一排,有个空位可以插入甲同学,所以甲同学有种不同的排法.当甲同学插入后,此时包括原来名同学和甲同学一共有个人,这个人形成了个空位,所以乙同学有种不同的排法.故完成将甲、乙名同学加入排列这件事,分两步：第一步甲同学有种排法,第二步乙同学有种排法,那么根据分步乘法计数原理,不同的方法共有（种）.5．解：数列中,由,得,整理得,则,数列是以为首项,1为公差的等差数列,于是,即,而满足上式,因此,,,ABD错误,C正确.6．解：,在上单调递增.令,在上单调递增,因为,所以为奇函数,则化为所以,解得,.7．解：函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点,所以,即有两解,则有两解,令,则,所以当时,；当时,；所以函数在上单调递减,在上单调递增；所以在处取得极小值,所以,所以,的取值范围为.8．解：当时,,设,当时,,则,即,所以,时取等,故D错误；若,,且,,,此时；若,,且,,,此时.9．解：由题知,无穷等差数列的前项和为,且,所以,所以等差数列为递减数列,所以在数列中,最大；当时,.10．解：,A正确；,B错误；,C正确；,D正确.11．解：A选项,,由于,故时,故在上单调递增,时,,单调递减,则在处取到极大值,在处取到极小值,由,,则,根据零点存在定理在上有一个零点,又,,则,则在上各有一个零点,于是时,有三个零点,A选项正确；B选项,,时,,单调递减,时,单调递增,此时在处取到极小值,B选项错误；C选项,假设存在这样的,使得为的对称轴,即存在这样的使得,即,等式右边展开式含有的项为,于是等式左右两边的系数都不相等,原等式不可能恒成立,于是不存在这样的,使得为的对称轴,C选项错误；D选项,方法一：利用对称中心的表达式化简,若存在这样的,使得为的对称中心,则,事实上,,于是,即,解得,即存在使得是的对称中心,D选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心,对称中心的横坐标是二阶导数的零点,,,由,于是该三次函数的对称中心为,由题意也是对称中心,故,即存在使得是的对称中心,D选项正确.12．解：因为,所以或,解得或,经检验符合题意.13．解：根据,可得,两式相减得,即,当时,,解得,所以数列是以-1为首项,以2为公比的等比数列,所以,故答案是.14．解：按李白的迈步方式,记从楼梯底部登上第个台阶的迈步方法数为,显然,,当时,要登上第个台阶,可以分两类：第一类,从第个台阶一步迈上,有种；第二类,从第个台阶一步迈上,有种．根据分类加法计数原理,．易得,,,,,,,,．四、解答题：（共77分）15．解：（1）,由题意得,解得.此时,,当时,,所以在单调递增,当时,,所以在单调递减,当时,,所以在单调递增,所以在时取得极大值.所以.（2）即求函数在区间上的值域.由（1）可知,在单调递增,在单调递减,在单调递增.又因为,,,,所以函数在区间上的最大值为4,最小值为0.所以,实数的取值范围是.16．解：（1）证明：因为,所以,则,所以,．因为,,所以,当时,,所以,,代入,得,两边同时除以并整理得,（）,所以,数列是首项为,公差为1的等差数列,所以,,即,所以,,即．（2）由（1）得,,所以,,所以,,即．17．解：（1）由已知,,,所以,则,所以,,（）,且也成立,所以．（2）由（1）可知,,则,则,,两式作差得,,则,由知,数列为递增数列,因,则,即,又,都有恒成立,则,则实数的最小值为.18．解：（1）当时,,,所以,所以切线的斜率为,又因为,所以曲线在处的切线方程为,即.（2）因为,当时,,所以在上单调递增,又因为,与不符；当时,由得,所以在上单调递减,在上单调递增.所以,所以,设,则,由,可得,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,所以有唯一解,且.（3）由（2）知当时,,当且仅当时,.所以当且时,,则.取（）,所以,所以,,,所以.所以,所以,于是对于任意正整数,,只需,又因为,所以,则的最小值为.19．解：（1）当时,则,可知的定义域为,且,令,解得；令,解得；可知的单调递减区间是,单调递增区间是；所以函数的最小值为.（2）由题意可知的定义域为,且,当时,恒成立,所以的单调递减区间是,无单调递增区间；当时,令解得,令,解得；令,解得；所以的单调递减区间是,单调递增区间是；综上所述：当时,的单