2024～2025学年下册高一下册数册末模拟试题含解析

/2024-2025学年下学期期末模拟高一数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）测试范围：人教A版（2019）必修第二册.第I卷（选择题58分）一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已知，则（）A. B. C. D.已知为一条直线，为两个不重合的平面，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件已知向量满足，且，则（）A. B.2 C. D.甲、乙、丙3人独立参加一项挑战，已知甲、乙、丙能完成挑战的概率分别为、、，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率为（）A. B. C. D.将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（）A. B. C. D.如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知飞机在点时，测得，在点时，测得，千米，则（）（提示：）千米 B.千米 C.千米 D.千米如图，已知正三角形ABC的边长为，其中心为，以为圆心作半径为的圆，点M为圆上任意一点，则的取值范围为（）A. B.C.D.已知三棱锥内接于半径的球，平面ABC，，，，则三棱锥的体积为（）A. B. C. D.二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．已知为虚数单位，则下列说法正确的是（）若复数，则B.若复数，则C.若复数，则实数或D.若复数满足，则一个袋子中有大小相同，标号分别为1，2，3，4的4个小球．采用不放回方式从中任意摸球两次，一次摸一个小球．设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，事件C=“两次摸出球的标号都是偶数”，则（）A. B.C. D.如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（）A.B.若点在线段上，则四面体的体积为定值C.若，则点轨迹的长度为D.若点在直线上，则的最小值为第II卷（选择题92分）填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．若，，，的方差为2，则，，，的方差为________.已知平面向量满足，则_______．如图，圆形纸片的圆心为，半径为cm，该纸片上的正方形的中心为，而为圆上的点，分别为以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，四棱锥的外接球的体积为_______.解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．某农业基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示：（1）求的值，并通过上述频率分布直方图估计该种观赏花卉的平均高度；（2）若从高度在和的花卉中按分层随机抽样抽取6株花卉，再在这6株花卉中随机抽取2株，求抽取的2株花卉的高度在和内各一株的概率．如图，在菱形中，.（1）若，求的值；（2）若，，求.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）求A的大小；（2）已知，若A为钝角，求面积的取值范围．如图，在四棱锥中，，，，为中点，平面.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若二面角的大小为，求点到平面的距离.如图，在矩形中，是线段上的一动点，将沿着折起，使点A到达点的位置，满足点平面，且点在平面内的射影落在线段上．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积的最大值；（3）设二面角的平面角为，为虚数单位，为复数，当三棱锥的体积取得最大值时，求的大小参考答案选择题题号1234567891011答案ABDCDAACADABDABD一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已知，则（）A. B. C. D.【解析】A因为，由可得，所以.已知为一条直线，为两个不重合的平面，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】B若，则或与相交；若，则α内必存在一条直线m平行于l，则，则，所以当，“”是“”的必要不充分条件.已知向量满足，且，则（）A. B.2 C. D.【解析】D由，两边平方可得，整理得.甲、乙、丙3人独立参加一项挑战，已知甲、乙、丙能完成挑战的概率分别为、、，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率为（）A. B. C. D.【解析】C由题意，甲、乙、丙三人都没完成挑战的概率，再由对立事件关系，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率.将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（）A. B. C. D.【解析】D翻折后所得图形如下图所示，易知BD的中点O为球心，故该四面体的外接球体积，又，平面AOC，，所以平面AOC，二面角的大小为，，,故所求体积之比为.如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知飞机在点时，测得，在点时，测得，千米，则（）（提示：）千米 B.千米 C.千米 D.千米【解析】A因为，可得是等边三角形，千米.记直线与直线的交点为，所以为的中点，所以为等腰三角形，，又，所以千米.如图，已知正三角形ABC的边长为，其中心为，以为圆心作半径为的圆，点M为圆上任意一点，则的取值范围为（）A. B.C.D.【解析】A连接交于点，连接，在正三角形ABC中，由于O为三角形ABC的中心，且三角形ABC的边长为，则为中点，且，，，以为原点，平行于的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则，由于，设，，则，，所以，由于，则.已知三棱锥内接于半径的球，平面ABC，，，，则三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【解析】C设球心为，取线段的中点记为.因为，，，所以在中，由余弦定理可得，即.则有，即是以线段为斜边的直角三角形.所以点是截面ABC的圆心，半径为则平面ABC.又因为平面ABC，且三棱锥内接于半径的球，所以球心在线段的垂直平分线上，所以，由，,解得.所以三棱锥的体积为.二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．已知为虚数单位，则下列说法正确的是（）若复数，则B.若复数，则C.若复数，则实数或D.若复数满足，则【解析】AD对于A选项，，则，故A正确；对于B选项，不妨设，故，但，故B错误；对于C选项，复数，则，解得，故C错误；对于D选项，复数满足，即，即，化简得，故D正确.一个袋子中有大小相同，标号分别为1，2，3，4的4个小球．采用不放回方式从中任意摸球两次，一次摸一个小球．设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，事件C=“两次摸出球的标号都是偶数”，则（）A. B.C. D.【解析】ABD由题意，摸球两次的样本空间，事件，事件，事件，所以，，，利用古典概型计算公式，，，，.如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（）A.B.若点在线段上，则四面体的体积为定值C.若，则点轨迹的长度为D.若点在直线上，则的最小值为【解析】ABD连接，由菱形可得，再由直棱柱，可得底面，又因为底面，所以，而，所以平面，又因为平面，所以，故A正确；取的中点为，连接，又由点为的中点，可得，而，所以，即四点共面，由平面，平面，所以平面，因为动点，所以动点到平面的距离不变，又因为三点固定，则四面体的体积为定值，故B正确；动点在侧面内（包含边界），过作，垂足为，由直棱柱，易证明平面，而侧面，即有，由菱形边长为2，，可得，再由勾股定理得：，则点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，则由侧面正方形，可知，，可得，所以点的轨迹的圆弧长为，故C错误；利用直棱柱的所有棱长为，可计算得：再把这三角形与三角形展开成一个平面图，如下图：先解三角形，由余弦定理得：，利用平方关系得：，所以，再由余弦定理得：，即，故的最小值为，故D正确.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．若，，，的方差为2，则，，，的方差为_____________.【解析】因为，，，的方差为2所以，，，的方差为.已知平面向量满足，则_______．【解析】由，则.又，则，结合，.则.如图，圆形纸片的圆心为，半径为cm，该纸片上的正方形的中心为，而为圆上的点，分别为以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，四棱锥的外接球的体积为_______.【解析】如图所示，连接交于点，设正方形的边长为，则，.因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以，解得或(舍)，所以.设重合于点，该四棱锥的外接球的球心为，半径，侧棱长等于折叠前的，则，，在中，可得，解得，外接球的体积.解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．某农业基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示：（1）求的值，并通过上述频率分布直方图估计该种观赏花卉的平均高度；（2）若从高度在和的花卉中按分层随机抽样抽取6株花卉，再在这6株花卉中随机抽取2株，求抽取的2株花卉的高度在和内各一株的概率．【解析】（1）因图中矩形所表示频率之和为1，则；平均高度为：；（2）由（1）可得对应频率为0.15，对应频率为0.3.则由分层抽样性质知6株花卉中，高度在的花卉抽两株，设为；高度在的花卉抽四株，设为.则抽取的总情况为：，共15种.则2株花卉的高度在和内各一株的情况有：共8种，则事件抽取的2株花卉的高度在和内各一株的概率.如图，在菱形中，.（1）若，求的值；（2）若，，求.【解析】（1）因为在菱形中，.故，故，所以.（2）显然，所以①，因为菱形，且，，故，.所以.故①式.故.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）求A的大小；（2）已知，若A为钝角，求面积的取值范围．【解析】（1）由正弦定理，，则有，因为在△ABC中，，所以化简得：，又，解得：或；（2）由得：，则，从而，因为A为钝角，所以由（1）知，，且，由余弦定理可得：，因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，又b，c可以无限接近0，所以，从而，故△ABD面积的取值范围为．如图，在四棱锥中，，，，为中点，平面.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若二面角的大小为，求点到平面的距离.【解析】（1）因为，，为的中点，所以，所以四边形平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）连接，因为，，为的中点，则，所以四边形为菱形，所以，又，所以，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；（3）因为平面，平面，所以，，，又，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以为二面角的平面角，即，所以为等腰直角三角形，所以，又，，，所以，又平面，平面，所以，所以，设点到平面的距离为，则，即，即，解得，即点到平面的距离为.如图，在矩形中，是线段上的一动点，将沿着折起，使点A到达点的位置，满足点平面，且点在平面内的