高中数学必修二 81 基本立体图形（精练）(含答案)

8.1基本立体图形（精练）

【题组一多面体】

1.（2021•福建三明•高一期中）下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱锥的为（）

【答案】B

【解析】对于A选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱柱，故A选项不正确；

对于B选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱锥，故B选项正确；

对于C选项，图形沿着折线翻折起来是一个三棱台，故C选项不正确；

对于D选项，图形沿着折线翻折起来是一个四棱柱，故D选项不正确；

故选：B.

2.（2021•全国•高一课时练习）下列说法中正确的是（）

A.棱锥的侧面不一定是三角形

B.楂锥的各侧校长一定相等

C.棱台的各侧棱的延长线交于一点

I）.用一平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是凌台

【答案】C

【解析】棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱长不•定相等，故A,B不正确；棱台是由平行于

棱锥底面的平面截棱锥得到的，故各条侧棱的延长线一定交于一点，C正确；只有用一个平行干底面的平面

去截楂锥，得到的两个几何体才能一个是楂锥，一个是棱台，故D不正确.

故选；C.

3.（2021•全国•高一课时练习）下面图形中，为棱锥的是（）

①③④

A.①③B.©©④C.①②④D.①②

【答案】C

【解析】一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所隹成的多面体

叫做棱锥，显然①②©满足棱锥定义，③不满足棱锥定义，所以①②④是棱锥，③不是棱锥.故选：C

4.（2021•全国-高一课时练习）一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是（）

A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥I）.六棱锥

【答案】D

【解析】正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6个等边三角形构成，设每个等边三角形的边长为，

正六棱锥的高为肌正六棱锥的侧棱长为I，由正六棱锥的高力、底面的半径〃、侧棱长/构成直角三角形

得，h2+r2=l2,故侧棱长/和底面正六边形的边长「不可能相等.故选：D.

5.（2021•安徽•六安一中高一月考）给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台

③棱台的侧棱延长后交于一点，且侧面是等腰梯形，

其中正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】因为棱柱的侧面不一定全等，所以①错，

用不平行与棱锥底面的平面解棱锥时，截面与底面之间的部分不是棱台，②错，

棱台的侧面不一定是等腰梯形，③错，所以正确的命题个数为0,故选：A.

6.（2021•山西柳林•高一期中）下列关于棱台的说法中错误的是（）

A.所有的侧棱所在直线交于一点

B.只有两个面互相平行

C.上下两个底面全等

I）.所有的侧面不存在两个面互相平行

【答案】C

【解析】由棱台的定义可知：

A.所有的侧棱所在直线交于一点，正确：

B.只有两个面互相平行，就是上、下底面平行，正确；

C.棱台的上下两个底面不全等，故C不正确；

D.所有的侧面不存在两个面互相立行，正确.

故选：C.

7.（2021•山西高平•高一期中）《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,

若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点、以正八棱柱的侧棱为垂直于四棱锥底面的侧棱，则这样的阳马的个数

C.24I).8

【答案】A

【解析］在正八棱柱的下底面中，根据正八边形的性质，其内接矩形共有6个，

分别为矩形AHBG,ADBC,AFBE,HDGC、HFGE,DFCE.

而每个矩形可以形成4个不同的阳马，所以这样的阳马个数是24,同理，以上底面中的矩形为底面的也有

24个阳马，因此共48个不同的阳马.

故选:A

8.（2021•山西高平•高一期中）有以下命题：

①以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台

②棱台的两个底面一定是相似多边形

③连接圆柱的上、下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线

④用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台

其中的正确命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】对于①：以直角梯形较长的腰为轴旋转所得的几何体不是圆台，所以①错误;

对干②：棱台的两个底面一定是杓似多边形，所以②正确；

对卜③：圆柱的轴截面与其侧面的交线才是圆柱的母线，所以③错误；

对于④：根据圆台的定义，可得④是正确的.

故选：B

9.（2021•山西高平•高一期中）下面四个几何体中，是棱台的是（）

【答案】B

【解析】A是圆台，〃是棱锥，。侧棱延长没有交于一点，故不是四棱台，8是三棱台.故选：B

10.（2021•全国-高一课时练习）（多选题）对如图中的组合体的结构特征有以卜几种说法，其中说法正确

的是（）

A.由一个长方体割去一个四棱柱所构成的

B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成的

C.由一个长方体挖去一个四棱台所构成的

I）.由一个长方体与两个四棱台组合而成的

【答案】AB

【解析】如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合

而成，如下图所示：

夕寻

补上四棱柱

故选:AB.

【题组二旋转体】

1.（2021•全国•高一课时练习）下列命题中正确的有（）

①圆柱的轴截面是过母线的截面口面积最大的截面；

②圆柱不是旋转体；

③半圆围绕直径旋转半周得到一个球；

④圆台的轴横面是等腰梯形.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

【答案】B

【解析】①圆柱的纵截面是矩形，矩形的长是圆柱的高，矩形的宽是圆内的弦，轴截面的宽是过圆心的直

径，故圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面，故①正确；

②根据旋转体的概念可知圆柱是旋转体，故②错误；

③半圆围绕直径旋转半周得到半个球，故③错误；

④圆台的上下底面是平行且不相等的圆，且母线等长，所以其羯截面是等腰梯形，④正确.

综上所述：正确的为①④

故选：B

2.（2021•全国•高一课时练习）下列命题中错误的是（）

A.圆柱的母线与轴平行

B.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个

C.圆锥的所有轴截面是全等的等腰三角形

D.圆柱的所有平行于底面的截面都是圆面

【答案】B

【解析】A：圆柱的母线即为圆柱的高线，与轴平行，即A正确：

B：因为轴截面的顶角为。时，截面面积为S=gFsina,当a&900时，S为最大的；当a>90e时，S不是

最大的，因为存在不过定点的截面。等于90°,sin〃>sina,B错误；

C：圆锥所有截面的顶角相等且两腰长均为母线，C正确；

D：根据圆柱的性质可判断D正确.

故选：B

3.（2021•全国-高一课时练习）如图是由哪个平面图形旋转得到的（）

【解析】A中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱，不合题意；

B中图形旋转得到两个相同底面的圆锥，不合题意；

C中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥，不合题意；

D中图形旋转得到一个圆台与一个圆锥，合题意.

故选：D.

4.（2021•全国•高一课时练习）如图所示的阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（）

A.一个球体B.一个球体中间挖去一个圆柱

C.一个圆柱D.一个球体中间挖去一个棱柱

【答案】B

【解析】由题意，根据球的定义，可得圆面旋转形成一个球，

根据圆柱的概念，可得里面的长方形旋转形成一个圆柱，

所以绕中间轴旋转一周，形成的几何体为一个球中间挖去一个圆柱，

故选:B.

5.（2021•广西百色•高一期末）将一个等腰梯形绕对称轴所在的直线旋转180',所得的几何体为（）

A.一个圆锥B.两个圆锥C.一个圆台D.一个圆柱

【答案】C

【解析】由题意根据旋转体的定义，可得将一个等腰梯形绕对称轴所在的直线

旋转180得到一个圆台.

故选：C.

6.（2021•安徽-高一月考）有以下命题：

①以半圆直径所在的直线为旋转轴旋转一周，其形成的面围成的旋转体是球；

②用任意平面去截圆锥，所得的截面图形为圆；

③若某圆锥的底面半径为人母线长为/,则它的表面积为勿卜+/）：

④以直角三角形的任意一边所在直线为旋转轴旋转一周，其余两边形成的面围成的旋转体是圆锥.

其中真命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由基本概念可知，①正确；用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得的截面图形不是圆，②错误;

根据圆锥的表面积公式可知③正确；以斜边所在直线为旋转轴旋转一周得到的旋转体不是圆锥，④错误，

故选B.

7.（2021•广东•西樵高中高一月考）（多选）下列关于圆柱的说法中正确的是（）

A.圆柱的所有母线长都相等

B.用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面

C.用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面

D,一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180。所形成的几何体是圆柱

【答案】ABD

【解析】对于A,圆柱的所有母线长都等于圆柱的高，且都相等，所以A正确，

对于B,用平行于圆柱底面的平面截圆柱，由圆柱的性质可知截面是与底面全等的圆面，所以B正确,

对干C,用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是椭圆面或椭圆面的一部分，所以C错误，

对卜D,一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱，所以D正确，

故选：ABD

【题组三简单的组合体】

1.（2021•全国•高一课时练习）如图的组合体是由（）组合而成.

A.两个棱柱B.棱柱和圆柱

C.圆柱和棱台D.圆锥和棱柱

【答案】B

【解析】由图可知该组合体由圆柱和六棱柱组合而成，故选：B

2（2021•全国-高一课时练习）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是

由（）

A.一个圆台、两个圆锥构成B.两个圆台、一个圆锥构成

C.两个圆柱、一个圆锥构成I）.一个圆柱、两个圆锥构成

【答案】D

【解析】旋转体如图，中间是一个圆柱，两端是相同的圆锥构成，故选D.

3.（2021•全国•高一课时练习）如图所示的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是

A.一个棱柱中挖去一个棱柱B.一个棱柱中挖去一个圆柱

C.一个圆柱中挖去一个棱锥D.一个棱台中挖去一个圆柱

【答案】B

【解析】螺栓是圆柱，螺母的横裁面是六边形内有一个圆，所以螺母可以看成一个棱柱中挖去一个圆柱.故

选B.

【题组四立体图形的截面】

1.（2021•山西灵丘•高一期中）如图，几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心

为顶点的圆锥而得的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（）

【答案】A

【解析】当截面不过旋转轴时，极面图形如选项A所示.故选：A.

2.（2021-全国-高一课时练习）如图所示是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（）

【答案】A

【解析】由原正方体的特征可知，含有4,6,8的数字的三个面一定相交于一点，而选项B,C,D中,经过折

叠后与含有4,6,8的数字的三个面一定相交于一点不符.

故选:A

3.（2021•全国•高一课时练习）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右

面”表示，如图是一个正方体的平面展开图（图中数字写在正方体的外表面上），若图中的“2”在正方体的

上面，则这个正方体的下面是（）

【答案】B

【解析】根据一个正方体的表面展开图以及图中“2”在正方体的上面，把该正方体还原，其直观图为:

由直观图可得这个正方体的下面是9

故选：B

4.（2021•全国•高一课时练习）纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,

现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，里面朝上展平得到如图所示平面图形，则标“△”的面的方位是

C.西I).下

由题意，正方体的表面展开图，相对面之间一定相隔一个正方形，

再由展开图是里面朝上展平得到的，根据“上北下南，左西右东”,

因此标的面的方位是南.

故选：A

5.（2021•贵州黔西•高一期末）在正方体ABC。-ABC。］,中，例，N分别为正方形AA。。和人冏GQ的

中心，4?=3,则平面CMN截正方体所得截面的周长是（)

A.10B.40c.MD.4师

【答案】【）

【解析】如图所示，延长CM,44交于点儿连接PN并延长，分别交AA，BC于E,F,连接。尸,

连接并延长，交A。于点G,连接CG,则四边形CGM为所求截面,

因为M是正方形的中心，所以ME=gEG,

由题意易证四边形CG所为菱形，所以EG//CF,EG=CF,所认ME//CF,ME=；CF,则E•为尸尸的中

点，则其七=。7=1,

从而（7/=«^-如，故所求截面的周长为4M.

6.（2021•山西•高一月考）如图，在正方体48。。一48©。1中，A&=2,£为棱形的中点，尸为梭AD上

的一动点，过点用其尸作该正方体的截面，则该截面不可能是（）

A.平行四边形B.等腰梯形

C.五边形D.六边形

【答案】I）

【解析】当4/=0,即尸与A重合时，如图1,取BC的中点，截面为矩形AEGA

当0<AK,l时，如图2,截面为平行四边形1%厂：

当1<A不<2时,如图3,截面为五边形力灰沙;

当3b=2,即尸与4重合时，如图4,截面为等腰梯形力及次

故选:D

7.（2021•河北•高一期中）如图，在棱长为2的正方休A8CZ）-A4GR中，E,F,G分别为A。，4片，

的中点，过七，F,G三点的平而截正方休人5。。-人田6口所得的截面面积为（)

3G

A.4B.4及D.3yli

F

【答案】I）

【解析】如图，分别取的中点”,8的中点/,DA的中点K,连接GH,HI」K,KE,

因为该几何体为正方体，所以EF〃川,FG//IK,GH//KE,EF=HI=FG=IK=GH=KE=42

所以以F,G三点的平面截正方体ABCQ-A/CQ所得的截面为正六边形EFGHK,

所以该正六边形的面积为6x^x（血了=36.

故选：I）

8.（2021•全国•高一课时练习）用一个平面去截直三棱柱A4C-A4G，交4G，SC*CAC分别于点

ERG”.若AA>AG,则截面的形状可以为.（把你认为可能的结果的序号填在横线上）

B

①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形.

【答案】②⑤

【解析】由面ABC〃面/WCH.ABC-ABC为直三棱柱，易知截面中所//"G,

当尸G//B出时，此时£”//FG,四边形EFG”为矩形；

当产G不与8/平行时，四边形EFG”为梯形.

故答案为：②⑤

9.（2021•全国-高一课时练习）用一个平面去截一个三棱锥，载面形状可能是.（填序号）

①三角形；②四边形；③五边形.

【答案】①②

【解析】如图：按图1所示用一个平面去截三棱锥，截面形状为三角形；

按图2所示用一个平面去截三棱隹，截面形状为四边形；

截面形状不可能为五边形，

所以①②正确，

故答案为：①②

图1图2

10.（2021•福建•高一期中）如图,在棱长为2的正方体相8-A4G"中，尺。分别为CG鸿G的中点,

则过〃P,0三点的平面截正方体ABC。-44GA所得截面的面积为

【解析】如图所示:

过。，P,0三点的平面截正方体八8。。-4田£口所得的搬面为等腰梯形&2夕。,

因为AQ=PD=后,PQ=O,A1D=2sfi,

所以ADPQ之间的距离为〃=标-产卢f=卜—图=孚，

所以梯形AQPO的面积为S=；x（AO+PQ）x〃=；x（2夜+夜卜孚=2,

9

故答案为；—.

11（2021•全国•高一课时练习）一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为

.（只填写序号）

①②③④

【答案】①②③

【解析】当截面与正方体的一个面平行时，截面图形如①，当截面不与正方体的一面平行时，截面图形可

以为②③，对于④，四个顶点在球面上，且通过球心的截面只能为矩形，由于④中四边形为正方形，故④

错误；

故答案为：①②③

【题组五两点距离最短】

1.（2021•河北张家口•高一期末）如图所示，在直三棱柱ABC-A4G中，AA=1,AB=BC=6.

则AP+PG的最小值为（)

C.1+6D.3

【答案】B

【解析】连接8G，得V4IG，以A8所在直线为轴，将VA8G所在平面旋转到平面A84A，

设点C1的新位置为c,连接AC,则有八P+PC?人C.

当A、P、C三点共线时,则47即为”+尸G的最小值.

在三角形,4%中，AB=BC=5COSZ^BC=1,由余弦定理得：

AC=JA52+3C2—2A8・8CCOS3=j3+3-2x3x；=2,所以AK=2,g|JAtC=2

在三角形A48中，AA=1,AB=6由勾股定理可得：43=必用京=>/币=2,且乙见8=60。.

同理可求：C,B=2

因为AB=BG=AG=2,所以VABG为等边三角形，所以/研G=60。，

所以在三角形明。'中，NA41c'=//V\B+NBAC=120。，例=1,吊仁=2,

由余弦定理得：AC'=Jl+4_2xlx2x[-g）=J7.

故选B.

2.（2021•上海中学高一期末）在四面体A8CO中，AB=BC=CA=\,DA与直线AB,CA均垂直，且D4=8，

一只蚂蚁从AA5c的中心沿表面爬至点。，则其爬过的路程最小值为（）

A739R715^73n>/37

A・---D・-------卜C・\）・----

32633

【答案】A

【解析】因为D4，A8,D4JLAC,ABr>AC=A,所以A4_L平面ABC,所以平面D4CJ_平面ABC,将底

面A8C旋转，以八C为轴，旋转至平面OAC与平面A8C共面，如图，此时0D的直线距离即为最短距禽，

设。到直线AC的距离为d,则d=；xJ12_©邛,所以O0=J（gJ+'石+*'=与.

故选：A

D

3.（2021•河北•博野县实验中学高一期中）两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为25万和1444,

则这两个平面间的距离是（）

A.7B.17

C.5或12D.7或17

【答案】D

【解析】球的半径为R=I3,设两个截面圆的半径别为心弓,球心到截面的距离分别为4,4；

球的半径为R,由*=25%,得％=5；

由开片=144乃，得万=12；

如图①所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时，

这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差；

即句-4=_JRj2=7i32-52-Vl32-I22=12-5=7；

如图②所示，当球的球心在两个平行平面的之间时，

这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和.

即《+4=J"l+旧一咛=V132-52+X/132-122=12+5=17；

所以这两个平面间的距离为7或17.

故选：D.

4.（2021•贵州师大附中高一月考）在四棱锥尸-48CO中，底面A8co是边长为后-正的正方形，且

PA=PB=PC=PD=2.若点E、F、G分别为棱心、PC、P。上的动点（不包含端点P）,则

AE+£F+/G+G4的最小值为（）

B.2及C.26

【答案】C

【解析】把四棱锥P-ABCO沿用展开，得到如图所示图形:

八£+所+代；+6人的最小时，点£尸,6与4,4'共线时，所以求人E+EF+FG+GA的最小值即求A4'的长

度，

因为B4=P8=2,八6="-夜，

所以在"BP中，结合余弦定理得cosAPB=A"+8产一=昱,所以=因为

2x2x226

△ABP^BCP二△COP二△DAP，所以NAPA'=—,

3

在中，AA*=VPA1+PA,2-IPAPA'-cosZAPA

=:22+22-2X2X2X（--

25

故选：C.

5.（2021•湖北黄冈•高一期末）如图，正三棱锥A-8co中，/.BAD=20,侧棱长为2,过点C的平面与

侧棱人区人。相交于,则△。隹2的周长的最小值为（）

A.2&B.2GC.4I）.2

【答案】D

【解析】将正三棱锥A-8a）沿4c剪开可得如下图形，

VZBAD=20,即/C4C'=（,又△的周长为CR+R用+科仁，

・•・要使△CBQ的周长的最小，贝!C,。,与U共线，即CR+R4+3C=CC,

又正三棱锥A-8CO侧棱长为2，是等边三角形，

•••3+砧+4C焉=2.

故选：D

6.（2021•湖南•高一期末）已知，如图，正方体ABCO-ABCNI棱长为1,P为AB上的动点，则4P+PR

的最小值为

【答案］亚］百

【解析】如图，将△析AP沿AP翻转,使点A转到的对应点2在平面4期内.则

ZD2AI^=ZD,A1/?=90°.

故ZAA,D,=ZAA,B+NB/\D.=45°+90°=135°.

从而，AP+D1P=AP+D2P>AD:=Jp+--2cosl35。=也+&.

当且仅当P为与的交点时，上式等号成立.

故答案为：也+力

7（2021•全国•高一课时练习）如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面圆的直径构成边长为6m的正三角形

ABC,粮堆母线AC的中点〃处有一只老鼠正在偷吃粮食.此时，小猫正在8处，它要沿圆隹侧面到达尸

处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程.（结果不取近似值